Способы представления чисел плавающей запятой

Представление чисел с плавающей точкой

Содержание

Плавающая точка [ править ]

Такой метод является компромиссом между точностью и диапазоном представляемых значений. Представление чисел с плавающей точкой рассмотрим на примере чисел двойной точности (double precision). Такие числа занимают в памяти два машинных слова (8 байт на 32-битных системах). Наиболее распространенное представление описано в стандарте IEEE 754.

Кроме чисел двойной точности также используются следующие форматы чисел:

• половинной точности (half precision) (16 бит),
• одинарной точности (single precision) (32 бита),
• четверной точности (quadruple precision) (128 бит),
• расширенной точности (extended precision) (80 бит).

При выборе формата программисты идут на разумный компромисс между точностью вычислений и размером числа.

Нормальная и нормализованная формы [ править ]

Недостатком такой записи является тот факт, что числа нельзя записать однозначно: [math] 0.01 = 0.001 \times 10^1 [/math] .

Числа двойной точности [ править ]

Число с плавающей точкой хранится в нормализованной форме и состоит из трех частей (в скобках указано количество бит, отводимых на каждую секцию в формате double):

1. знак
2. экспонента (показатель степени) (в виде целого числа в коде со сдвигом)
3. мантисса (в нормализованной форме)

В качестве базы (основания степени) используется число [math] 2 [/math] . Экспонента хранится со сдвигом [math] -1023 [/math] .

Свойства чисел с плавающей точкой [ править ]

1. В нормализованном виде любое отличное от нуля число представимо в единственном виде. Недостатком такой записи является тот факт, что невозможно представить число 0.
2. Так как старший бит двоичного числа, записанного в нормализованной форме, всегда равен 1, его можно опустить. Это используется в стандарте IEEE 754.
3. В отличие от целочисленных стандартов (например, integer), имеющих равномерное распределение на всем множестве значений, числа с плавающей точкой (double, например) имеют квазиравномерное распределение.
4. Вследствие свойства 3, числа с плавающей точкой имеют постоянную относительную погрешность (в отличие от целочисленных, которые имеют постоянную абсолютную погрешность).
5. Очевидно, не все действительные числа возможно представить в виде числа с плавающей точкой.
6. Точно в таком формате представимы только числа, являющиеся суммой некоторых обратных степеней двойки (не ниже -53). Остальные числа попадают в некоторый диапазон и округляются до ближайшей его границы. Таким образом, абсолютная погрешность составляет половину величины младшего бита.
7. В формате double представимы числа в диапазоне [math] [2.3 \times 10^<-308>, 1.7 \times 10^<308>] [/math] .

Особые значения чисел с плавающей точкой [ править ]

Ноль (со знаком) [ править ]

В нормализованной форме невозможно представить ноль. Для его представления в стандарте зарезервированы специальные значения мантиссы и экспоненты.

Согласно стандарту выполняются следующие свойства:

Бесконечность (со знаком) [ править ]

Для приближения ответа к правильному при переполнении, в double можно записать бесконечное значение. Так же, как и в случае с нолем, для этого используются специальные значение мантиссы и экспоненты.

Бесконечное значение можно получить при переполнении или при делении ненулевого числа на ноль.

Неопределенность [ править ]

В математике встречается понятие неопределенности. В стандарте double предусмотрено псевдочисло, которое арифметическая операция может вернуть даже в случае ошибки.

Неопределенность можно получить в нескольких случаях. Приведем некоторые из них:

• [math] f(NaN) = NaN [/math] , где [math] f [/math] — любая арифметическая операция
• [math] \infty + (-\infty) = NaN [/math]
• [math] 0 \times \infty = NaN [/math]
• [math] \frac<\pm0><\pm0>= \frac<\pm \infty><\pm \infty>= NaN [/math]
• [math] \sqrt = NaN [/math] , где [math] x \lt 0 [/math]

Денормализованные числа [ править ]

Денормализованные (denormalized numbers) — способ увеличить количество представимых числе в окрестности нуля. Каждое такое число по модулю меньше самого маленького нормализованного. [math] (-1)^s \times 1.M \times 2^E [/math] , в нормализованном виде если [math] E_ \leq E \leq E_ [/math] ,

где [math] E_ [/math] — минимальное значение порядка, используемое для записи чисел (единичный сдвиг), [math] E_ — 1 [/math] — минимальное значение порядка, которое он может принимать — все биты нули, нулевой сдвиг.

Ввиду сложности, денормализованные числа обычно реализуют на программном уровне, а не на аппаратном. Из-за этого резко возрастает время работы с ними. Это недопустимо в областях, где требуется большая скорость вычислений (например, видеокарты). Так как денормализованные числа представляют числа мало отличные от нуля и мало влияют на результат, зачастую они игнорируются (что резко повышает скорость). При этом используются две концепции:

1. Flush To Zero (FTZ) — в качестве результата возвращается нуль, как только становится понятно, что результат будет представляться в денормализованном виде.
2. Denormals Are Zero (DAZ) — денормализованные числа, поступающие на вход, рассматриваются как нули.

Начиная с версии стандарта IEEE 754 2008 года денормализованные числа называются «субнормальными» (subnormal numbers), то есть числа, меньшие «нормальных».

Машинная эпсилон [ править ]

Утверждение:

Unit in the last place (Unit of least precision) [ править ] Мера единичной точности используется для оценки точности вычислений. Определение: Пусть [math] a [/math] — число с плавающей точкой, мантисса которого имеет длину [math] m [/math] бит, а экспонента — [math] e [/math] бит. Тогда [math] ulp(a) = 2^ [/math] . Приведем пример кода на Python, который показывает, при каком значении числа [math] x [/math] компьютер не различает числа [math] x [/math] и [math] x + 1 [/math] . То есть [math] x = 2^ <53>[/math] , так как мантисса числа двойной точности содержит 53 бита (в памяти хранятся 52). В C++ для расчета расстояния между двумя числами двойной точности можно воспользоваться функцией [math] \mathrm [/math] . Погрешность предиката «левый поворот» [ править ] Определения [ править ] [math] \exists \tilde <\epsilon>\in D: [/math] [math] \tilde \gt \tilde <\epsilon>\Rightarrow (b — a) \times (c — a) \gt 0 [/math] [math] \tilde \lt -\tilde <\epsilon>\Rightarrow (b — a) \times (c — a) \lt 0 [/math] Расчет [math] \tilde <\epsilon>[/math] [ править ] Обозначим [math] v = (b — a) \times (c — a) = (b_x — a_x) (c_y — a_y) — (b_y — a_y) (c_x — a_x)[/math] . Теперь распишем это выражение в дабловой арифметике. [math]\tilde = (b_x \ominus a_x) \otimes (c_y \ominus a_y) \ominus (b_y \ominus a_y) \otimes (c_x \ominus a_x) = \\ = [ (b_x — a_x) (c_y — a_y) (1 + \delta_1) (1 + \delta_2) (1 + \delta_3) — \\ — (b_y — a_y) (c_x — a_x) (1 + \delta_4) (1 + \delta_5) (1 + \delta_6) ] (1 + \delta_7),[/math] [math] |\delta_i| \leq \varepsilon_m [/math] Заметим, что [math] v \approx \tilde [/math] Теперь оценим абсолютную погрешность [math] \epsilon = |v — \tilde|. [/math] [math] |v — \tilde| = |(b_x — a_x) (c_y — a_y) — (b_y — a_y) (c_x — a_x) — \\ — (b_x — a_x) (c_y — a_y) (1 + \delta_1) (1 + \delta_2) (1 + \delta_3) (1 + \delta_7) + \\ + (b_y — a_y) (c_x — a_x) (1 + \delta_4) (1 + \delta_5) (1 + \delta_6) (1 + \delta_7)| = \\ = |(b_x — a_x) (c_y — a_y) (1 — (1 + \delta_1) (1 + \delta_2) (1 + \delta_3) (1 + \delta_7)) — \\ — (b_y — a_y) (c_x — a_x) (1 — (1 + \delta_4) (1 + \delta_5) (1 + \delta_6) (1 + \delta_7))| \leq \\ \leq |(b_x — a_x) (c_y — a_y) (1 — (1 + \delta_1) (1 + \delta_2) (1 + \delta_3) (1 + \delta_7))| + \\ + |(b_y — a_y) (c_x — a_x) (1 — (1 + \delta_4) (1 + \delta_5) (1 + \delta_6) (1 + \delta_7))| = \\ = |(b_x — a_x) (c_y — a_y)| \cdot |((1 + \delta_1) (1 + \delta_2) (1 + \delta_3) (1 + \delta_7) — 1)| + \\ + |(b_y — a_y) (c_x — a_x)| \cdot |((1 + \delta_4) (1 + \delta_5) (1 + \delta_6) (1 + \delta_7) — 1)| = \\ = |(b_x — a_x) (c_y — a_y)| \cdot |\delta_1 + \delta_2 + \delta_3 + \delta_7 + \delta_1 \delta_2 \ldots| + \\ + |(b_y — a_y) (c_x — a_x)| \cdot |\delta_4 + \delta_5 + \delta_6 + \delta_7 + \delta_4 \delta_5 \ldots| \leq \\ \leq |(b_x — a_x) (c_y — a_y)| \cdot (|\delta_1| + |\delta_2| + |\delta_3| + |\delta_7| + |\delta_1 \delta_2| \ldots) + \\ + |(b_y — a_y) (c_x — a_x)| \cdot (|\delta_4| + |\delta_5| + |\delta_6| + |\delta_7| + |\delta_4 \delta_5| \ldots) \leq \\ \leq |(b_x — a_x) (c_y — a_y)| \cdot (4 \varepsilon_m + 6 \varepsilon_m^2 + 4 \varepsilon_m^3 + \varepsilon_m^4) + \\ + |(b_y — a_y) (c_x — a_x)| \cdot (4 \varepsilon_m + 6 \varepsilon_m^2 + 4 \varepsilon_m^3 + \varepsilon_m^4) = \\ = (|(b_x — a_x) (c_y — a_y)| + |(b_y — a_y) (c_x — a_x)|)(4 \varepsilon_m + 6 \varepsilon_m^2 + 4 \varepsilon_m^3 + \varepsilon_m^4)[/math] Пусть [math] t = (|(b_x — a_x) (c_y — a_y)| + |(b_y — a_y) (c_x — a_x)|).[/math] Получаем, что [math] \epsilon = |v — \tilde| \leq t \cdot (4 \varepsilon_m + 6 \varepsilon_m^2 + 4 \varepsilon_m^3 + \varepsilon_m^4). [/math] [math]\tilde = (|(b_x — a_x) (c_y — a_y) (1 + \delta_1) (1 + \delta_2) (1 + \delta_3)| + \\ + |(b_y — a_y) (c_x — a_x) (1 + \delta_4) (1 + \delta_5) (1 + \delta_6)|) (1 + \delta_7) \geq \\ \geq |(b_x — a_x) (c_y — a_y) (1 — \varepsilon_m)^3)|(1 — \varepsilon_m) + \\ + |(b_y — a_y) (c_x — a_x) (1 — \varepsilon_m)^3)|(1 — \varepsilon_m) = \\ = |(b_x — a_x) (c_y — a_y)| (1 — \varepsilon_m)^4 + |(b_y — a_y) (c_x — a_x)| (1 — \varepsilon_m)^4 = \\ = (|(b_x — a_x) (c_y — a_y)| + |(b_y — a_y) (c_x — a_x)|) (1 — \varepsilon_m)^4 = t \cdot (1 — \varepsilon_m)^4[/math] [math] t \leq \tilde \frac<1> <(1 - \varepsilon_m)^4>= \tilde (1 + 4 \varepsilon_m + 10 \varepsilon_m^2 + 20 \varepsilon_m^3 + \cdots) [/math] [math] \epsilon = |v — \tilde| \leq \tilde <\epsilon>\leq \tilde (1 + 4 \varepsilon_m + 10 \varepsilon_m^2 + 20 \varepsilon_m^3 + \cdots) (4 \varepsilon_m + 6 \varepsilon_m^2 + 4 \varepsilon_m^3 + \varepsilon_m^4) [/math] Ответ [ править ] [math] \tilde <\epsilon>\lt 8 \varepsilon_m \tilde [/math] Заметим, что это довольно грубая оценка. Вполне можно было бы написать [math] \tilde <\epsilon>\lt 4.25 \varepsilon_m \tilde [/math] или [math] \tilde <\epsilon>\lt 4.5 \varepsilon_m \tilde.[/math] Источник Читайте также:  Янтарная кислота способ применения при похмелье Оцените статью Вам также может понравиться Ясень семена способ распространения Ясень обыкновенный Fraxinus excelsior – так в ботанической Ярлыки способы создания ярлыков ос windows Создаем ярлыки на рабочем столе Windows Создаем ярлыки Японское удобрение фуджима способ применения Удобрения Фуджима Знаете потрясающее удобрение, палочка Японский чай способ заварки Технология заваривания японского чая Известно, что Правообладателям Политика конфиденциальности Контакты