Геометрия. 7 класс
Конспект урока
Построение треугольника по трём элементам
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
- Задачи на построение циркулем и линейкой.
- Алгоритмы решения простейших задач на построение.
- Способы решения задач на построение треугольника по трём заданным элементам.
- Этапы решения задач на построение: анализ, построение, доказательство, исследование.
Задачей на построение называется предложение, указывающее, по каким данным, какую геометрическую фигуру требуется построить, чтобы эта фигура удовлетворяла определённым условиям.
Построение треугольника по трём элементам:
- по 2 сторонам и углу между ними;
- по стороне и двум прилежащим к нему углам;
- по трём сторонам.
Задачи на построение:
- позволяют моделировать те или иные практические ситуации
- устанавливают связь между геометрией и черчением, геометрией и рисованием.
1. Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.
- Атанасян Л. С. Геометрия: Методические рекомендации 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А. и др. – М.: Просвещение, 2019. – 95 с.
- Зив Б. Г. Геометрия: Дидактические материалы 7 класс. // Зив Б. Г., Мейлер В. М. – М.: Просвещение, 2019. – 127 с.
- Мищенко Т. М. Дидактические материалы и методические рекомендации для учителя по геометрии 7 класс. // Мищенко Т. М., – М.: Просвещение, 2019. – 160 с.
- Атанасян Л. С. Геометрия: Рабочая тетрадь 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А., Юдина И. И. – М.: Просвещение, 2019. – 158 с.
- Иченская М. А. Геометрия: Самостоятельные и контрольные работы 7–9 классы. // Иченская М. А. – М.: Просвещение, 2019. – 144 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Построение треугольника по трём элементам.
Чтобы построить треугольник, нужно уметь строить:
1. Отрезок, равный данному.
2. Угол, равный данному.
Любая задача на построение включает в себя четыре основных этапа.
Анализ: предположить, что задача решена, сделать чертеж от руки искомой фигуры, составить план решения задачи.
Построение: описать способ построения.
Доказательство: доказать, что построенная фигура или множество точек – искомые.
Исследование: выяснить, всегда ли построение возможно.
Построить треугольник по трём заданным сторонам.
Построить треугольник по двум сторонам и углу между ними.
Построить треугольник по стороне и двум прилежащим к ней углам.
Разбор решения заданий тренировочного модуля.
Задача 1. Найдите расстояние от вершины В до прямой АС.
Дано. В треугольнике АВС: АВ = ВС = 10 см, ∠АВС = 120°.
∆АВС – равнобедренный. ВН – расстояние от точки В до прямой АС, т. е. ВН ⊥ АС. В равнобедренном треугольнике высота является биссектрисой. ∠АВН = 120°: 2 =60°, значит, ∠А = 30°. Против угла 30° лежит катет ВН равный половине гипотенузы АВ. Значит, ВН = 10 : 2 = 5 см.
Ответ: 5 см расстояние от вершины В до прямой АС.
Задача 2. Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и острому углу.
Дано: отрезок р, угол α.
- Построим ∠В = α.
- Проведем окружность с центром В и радиусом р.
- С – точка пересечения окружности и угла.
- Построим перпендикуляр к другой стороне угла.
- ∆АВС – искомый.
Задача 3. Построить треугольник по стороне, прилежащему к ней углу и биссектрисе треугольника, проведенной из вершины этого угла.
Дано: отрезки р и q, угол α.
Требуется построить треугольник АВС, у которого одна из сторон, например АС = р, ∠А =α , а биссектриса АD = q.
Источник
Геометрия. 7 класс
Конспект урока
Построение треугольника по трём элементам
Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:
- Задачи на построение циркулем и линейкой.
- Алгоритмы решения простейших задач на построение.
- Способы решения задач на построение треугольника по трём заданным элементам.
- Этапы решения задач на построение: анализ, построение, доказательство, исследование.
Задачей на построение называется предложение, указывающее, по каким данным, какую геометрическую фигуру требуется построить, чтобы эта фигура удовлетворяла определённым условиям.
Построение треугольника по трём элементам:
- по 2 сторонам и углу между ними;
- по стороне и двум прилежащим к нему углам;
- по трём сторонам.
Задачи на построение:
- позволяют моделировать те или иные практические ситуации
- устанавливают связь между геометрией и черчением, геометрией и рисованием.
1. Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.
- Атанасян Л. С. Геометрия: Методические рекомендации 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А. и др. – М.: Просвещение, 2019. – 95 с.
- Зив Б. Г. Геометрия: Дидактические материалы 7 класс. // Зив Б. Г., Мейлер В. М. – М.: Просвещение, 2019. – 127 с.
- Мищенко Т. М. Дидактические материалы и методические рекомендации для учителя по геометрии 7 класс. // Мищенко Т. М., – М.: Просвещение, 2019. – 160 с.
- Атанасян Л. С. Геометрия: Рабочая тетрадь 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А., Юдина И. И. – М.: Просвещение, 2019. – 158 с.
- Иченская М. А. Геометрия: Самостоятельные и контрольные работы 7–9 классы. // Иченская М. А. – М.: Просвещение, 2019. – 144 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения
Построение треугольника по трём элементам.
Чтобы построить треугольник, нужно уметь строить:
1. Отрезок, равный данному.
2. Угол, равный данному.
Любая задача на построение включает в себя четыре основных этапа.
Анализ: предположить, что задача решена, сделать чертеж от руки искомой фигуры, составить план решения задачи.
Построение: описать способ построения.
Доказательство: доказать, что построенная фигура или множество точек – искомые.
Исследование: выяснить, всегда ли построение возможно.
Построить треугольник по трём заданным сторонам.
Построить треугольник по двум сторонам и углу между ними.
Построить треугольник по стороне и двум прилежащим к ней углам.
Разбор решения заданий тренировочного модуля.
Задача 1. Найдите расстояние от вершины В до прямой АС.
Дано. В треугольнике АВС: АВ = ВС = 10 см, ∠АВС = 120°.
∆АВС – равнобедренный. ВН – расстояние от точки В до прямой АС, т. е. ВН ⊥ АС. В равнобедренном треугольнике высота является биссектрисой. ∠АВН = 120°: 2 =60°, значит, ∠А = 30°. Против угла 30° лежит катет ВН равный половине гипотенузы АВ. Значит, ВН = 10 : 2 = 5 см.
Ответ: 5 см расстояние от вершины В до прямой АС.
Задача 2. Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе и острому углу.
Дано: отрезок р, угол α.
- Построим ∠В = α.
- Проведем окружность с центром В и радиусом р.
- С – точка пересечения окружности и угла.
- Построим перпендикуляр к другой стороне угла.
- ∆АВС – искомый.
Задача 3. Построить треугольник по стороне, прилежащему к ней углу и биссектрисе треугольника, проведенной из вершины этого угла.
Дано: отрезки р и q, угол α.
Требуется построить треугольник АВС, у которого одна из сторон, например АС = р, ∠А =α , а биссектриса АD = q.
Источник
Построение треугольника по трем элементам
Вы будете перенаправлены на Автор24
Задачи на построение
В геометрии довольно распространены так называемые задачи на построение. Их суть заключается в том, чтобы построить какой-либо геометрический объект по какому-либо достаточному набору начальных условий имея под рукой только циркуль и линейку. Рассмотрим общую схему для выполнения таких задач:
Анализ задачи.
В эту часть входит установление связи между элементами, которые необходимо построить и начальными условиями задачи. После выполнения этого пункта у нас должен появиться план по решению нашей задачи.
Построение.
Здесь мы выполняем построения по плану, который был нами составлен выше.
Доказательство.
Здесь мы доказываем то, что построенная нами фигура действительно удовлетворяет начальным условиям задачи.
Исследование.
Здесь мы выясняем, при каких данных задача имеет одно решение, при каких несколько, а при каких ни одного.
Далее будем рассматривать задачи на построение треугольников по различным трем элементам. Здесь мы не будем рассматривать элементарные построения, таких как отрезок, угол и т.д. К этому моменту эти навыки уже у Вас должны иметься.
Построение треугольника по двум сторонами и углу между ними
Постройте треугольник, если нам даны две стороны и угол, который находится между этими сторонами.
Пусть нам даны отрезки $AB$ и $AC$ и угол $α$. Нам нужно построить треугольник $ABC$ с углом $C$ равным $α$.
Составим план построения:
- Проведем прямую $a$ и построим на ней отрезок $AB$.
- Принимая $AB$ за одну из сторон угла, отложим от нее угол $BAM$, равный углу $α$.
- На прямой $AM$ отложим отрезок $AC$.
- Соединим точки $B$ и $C$.
Построим рисунок по составленному выше плану (рис. 1).
Из построения видно, что все начальные условия выполнены.
Так как сумма углов треугольника равняется $180^\circ$. Значит, если угол α будет больше или равен $180^\circ$, то задача решений иметь не будет.
В другом случае решение есть. Так как прямая $a$ — произвольная прямая, то таких треугольников будет бесконечное количество. Но, так как они все равны между собой по первому признаку, то будем считать, что решение этой задачи единственно.
Готовые работы на аналогичную тему
Построение треугольника по трем сторонам
Постройте треугольник, если нам даны три его стороны.
Пусть нам даны отрезки $AB$ и $AC$ и $BC$. Нам нужно построить треугольник $ABC$.
Составим план построения:
- Проведем прямую $a$ и построим на ней отрезок $AB$.
- Построим $2$ окружности: первую с центром $A$ и радиусом $AC$, и вторую с центром $B$ и радиусом $BC$.
- Соединим одну из точек пересечения окружностей (которая будет точкой $C$) с точками $A$ и $B$.
Построим рисунок по составленному выше плану (рис. 2).
Из построения видно, что все начальные условия выполнены.
Из неравенства треугольника мы знаем, что любая сторона должна быть меньше суммы двух других. Следовательно, когда такое неравенство не выполняется для исходных трех отрезков, задача решения иметь не будет.
Так как окружности из построения имеют две точки пересечения, то мы можем построить два таких треугольника. Но, так как они равны между собой по третьему признаку, то будем считать, что решение этой задачи единственно.
Построение треугольника по стороне и двум прилежащим к ней углам
Постройте треугольник, если нам дана одна стороны и углы $α$ и $β$, прилегающие к ней.
Пусть нам дан отрезок $BC$ и углы $α$ и $β$. Нам нужно построить треугольник $ABC$, где $∠B=α$, а $∠C=β$.
Составим план построения:
- Проведем прямую $a$ и построим на ней отрезок $BC$.
- Построим в вершине $B$ к стороне $BC$ угол $∠ K=α$.
- Построим в вершине $C$ к стороне $BC$ угол $∠ M=β$.
- Соединим точку пересечения (это и будет точка $A$) лучей $∠ K$ и $∠ M$ с точками $C$ и $B$,
Построим рисунок по составленному выше плану (рис. 3).
Из построения видно, что все начальные условия выполнены.
Так как сумма углов треугольника равняется $180^\circ$, то, если $α+β≥180^\circ$ задача решений иметь не будет.
В другом случае решение есть. Так как углы можем строить с двух сторон, то мы можем построить два таких треугольника. Но, так как они равны между собой по второму признаку, то будем считать, что решение этой задачи единственно.
Источник
