Способы построения сечения параллелепипеда

Способы построения сечения параллелепипеда

Правила построения сечений многогранников:

1) проводим прямые через точки, лежащие в одной плоскости;

2) ищем прямые пересечения плоскости сечения с гранями многогранника, для этого

а) ищем точки пересечения прямой принадлежащей плоскости сечения с прямой, принадлежащей одной из граней (лежащие в одной плоскости);

б) параллельные грани плоскость сечения пересекает по параллельным прямым.

Примеры построения сечений:

Рассмотрим прямоугольный параллелепипед ABCDA₁B₁C₁D₁. Построим сечение, проходящее через точки M, N, L.

Соединим точки M и L, лежащие в плоскости AA₁D₁D.

Пересечем прямую ML ( принадлежащую сечению) с ребром A₁D₁, они лежат в одной плоскости AA₁D₁D. Получим точку X₁.

Точка X₁ лежит на ребре A₁D₁, а значит и плоскости A₁B₁C₁D₁, соединим ее сточкой N, лежащей в этой же плоскости.

X₁ N пересекается с ребром A₁B₁ в точке К.

Соединим точки K и M, лежащие в одной плоскости AA₁B₁B.

Найдем прямую пересечения плоскости сечения с плоскостью DD₁C₁C:

пересечем прямую ML (принадлежащую сечению) с ребром DD₁, они лежат в одной плоскости AA₁D₁D, получим точку X₂;

пересечем прямую KN (принадлежащую сечению) с ребром D₁C₁, они лежат в одной плоскости A₁B₁C₁D₁, получим точку X₃;

Точки X₂ и X₃ лежат в плоскости DD₁C₁C. Проведем прямую X₂ X₃ , которая пересечет ребро C₁C в точке T, а ребро DC в точке P. И соединим точки L и P, лежащие в плоскости ABCD.

MKNTPL — искомое сечение.

Рассмотрим ту же самую задачу на построение сечения, но воспользуемся свойством параллельных плоскостей. Это облегчит нам построение сечения.

.

Соединим точки M и L, лежащие в плоскости AA₁D₁D.

.

Через точку N, проведем прямую NT параллельную прямой ML. Прямые NT и ML лежат в параллельных плоскостях по свойству параллелепипеда.

.

Пересечем прямую ML ( принадлежащую сечению) с ребром A₁D₁, они лежат в одной плоскости AA₁D₁D. Получим точку X₁.

.

Точка X₁ лежит на ребре A₁D₁, а значит и плоскости A₁B₁C₁D₁, соединим ее сточкой N, лежащей в этой же плоскости.

X₁ N пересекается с ребром A₁B₁ в точке К.

.

Соединим точки K и M, лежащие в одной плоскости AA₁B₁B.

.

Проведем прямую TP через точку T, параллельно прямой KM ( они лежат в параллельных плоскостях).

.

Соединим точки P и L ( они лежат в одной плоскости).

.

Источник

Методы построения сечений многогранников

Разделы: Математика

Метод сечений многогранников в стереометрии используется в задачах на построение. В его основе лежит умение строить сечение многогранника и определять вид сечения.

Данный материал характеризуется следующим особенностями:

1. Метод сечений применяется только для многогранников, так как различные сложные (наклонные) виды сечений тел вращения не входят в программу средней школы.
2. В задачах используются в основном простейшие многогранники.
3. Задачи представлены в основном без числовых данных, чтобы создать возможность их многовариантного использования.

Чтобы решить задачу построения сечения многогранника ученик должен знать:

• что значит построить сечение многогранника плоскостью;
• как могут располагаться относительно друг друга многогранник и плоскость;
• как задается плоскость;
• когда задача на построение сечения многогранника плоскостью считается решенной.

Поскольку плоскость определяется:

• тремя точками;
• прямой и точкой;
• двумя параллельными прямыми;
• двумя пересекающимися прямыми,

построение плоскости сечения проходит в зависимости от задания этой плоскости. Поэтому все способы построения сечений многогранников можно разделить на методы.

Существует три основных метода построения сечений многогранников:

1. Метод следов.
2. Метод вспомогательных сечений.
3. Комбинированный метод.

Первые два метода являются разновидностями Аксиоматического метода построения сечений.

Можно также выделить следующие методы построения сечений многогранников:

• построение сечения многогранника плоскостью, проходящей через заданную точку параллельно заданной плоскости;
• построение сечения, проходящего через заданную прямую параллельно другой заданной прямой;
• построение сечения, проходящего через заданную точку параллельно двум заданным скрещивающимся прямым;
• построение сечения многогранника плоскостью, проходящей через заданную прямую перпендикулярно заданной плоскости;
• построение сечения многогранника плоскостью, проходящей через заданную точку перпендикулярно заданной прямой.

В федеральный перечень учебников по геометрии для 10-11 класов входят учебники авторов:

• Атанасяна Л.С., Бутузова В.Ф., Кадомцева С.Б. и др (Геометрия, 10-11);
• Погорелова А.В. (Геометрия, 7-11);
• Александрова А.Д., Вернера А.Л., Рыжик В.И. (Геометрия, 10-11);
• Смирновой И.М. (Геометрия, 10-11);
• Шарыгина И.Ф. (Геометрия, 10-11).

Рассмотрим подробнее учебники Л.С, Атанасяна и Погорелова А.В.

В учебнике Л.С. Атанасяна на тему “Построение сечений многогранников” выделено два часа. В 10 классе в теме “Параллельность прямых и плоскостей” после изучения тетраэдра и параллелепипеда отводится один час на изложение параграфа “Задачи на построение сечений”. Рассматриваются сечения тетраэдра и параллелепипеда. И тема “Параллельность прямых и плоскостей” завершается решением задач на одном или двух часах (всего задач на построение сечений в учебнике восемь).

В учебнике Погорелова А.В. на построение сечений отводится около трех часов в главе “Многогранники”: один – на изучение темы “Изображение призмы и построение ее сечений”, второй – на изучение темы “Построение пирамиды и ее плоских сечений” и третий – на решение задач. В списке задач, приведенных после темы, задач на сечение насчитывается всего около десяти.

Мы предлагаем систему уроков по теме “Построение сечений многогранников” для учебника Погорелова А.В.

Материал предлагается расположить в той последовательности, в какой он может применяться для обучения учащихся. Из изложения темы “Многогранники” предлагается исключить следующие параграфы: “Построение сечений призмы” и “Построение сечений пирамиды” с тем, чтобы систематизировать данный материал в конце этой темы “Многогранники”. Классифицировать его по тематике задач с примерным соблюдением принципа “от простого к сложному” можно весьма условно следующим образом:

1. Определение сечения многогранников.
2. Построение сечений призмы, параллелепипеда, пирамиды методом следов. (Как правило в школьном курсе стереометрии используются задачи на построение сечений многогранников, решаемые основными методами. Остальные методы, в связи с их более высоким уровнем сложности, учитель может оставить для рассмотрения на факультативных занятиях или на самостоятельное изучение. В задачах на построение основными методами требуется построить плоскость сечения, проходящую через три точки).
3. Нахождение площади сечений в многогранниках (без использования теоремы о площади ортогональной проекции многоугольника).
4. Нахождение площади сечений в многогранниках (с применением теоремы о площади ортогональной проекции многоугольника).

СТЕРЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ СЕЧЕНИЙ МНОГОГРАННИКОВ И МЕТОДИКА ИХ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ НА УРОКАХ В 10-11 КЛАССАХ.

(система уроков и факультативных занятий по теме “Построение сечений многогранников”)

Тема урока: “Построение сечений многогранников”.

Цель урока: ознакомление с методами построений сечений многогранников.

Источник

Способы построения сечения параллелепипеда

Задача №1: Построить сечение ( PQR ) параллелепипеда. Все точки лежат на ребрах двух смежных граней.

1) Так как точки P и Q лежат в плоскости грани A ‘ B ‘ BA , соединим эти точки. Прямая PQ пересекает ребра BA и BB’ в точках F и G соответственно ;

2) Так как точки Q и R лежат в плоскости грани A ‘ B ‘ C ‘ D ‘, соединим эти точки;

3) Так как точки G и R лежат в плоскости грани BCC ‘ B ‘, соединим эти точки. Прямая GR пересекает ребра CC ‘ и BC в точках H и M соответственно;

4) Так как точки F и M лежат в плоскости грани ABCD , соединим эти точки. Прямая FM пересекает ребра AD и DC в точках N и K соответственно;

Соединим последовательно точки P, Q, R, H, K, N. Получим искомое сечение PQRHKN.

Задача №2 : Построить сечение параллелепипеда ( MLK ). Точки K и L лежат на ребрах нижнего основания AB и CB соответственно, а точка М принадлежит боковому ребру DD’ .

1) Так как точки K и L лежат в плоскости грани A ‘ B ‘ C ‘ D ‘, соединим эти точки. Прямая KL пересекает ребра DC и AD в точках X₁ и X₂;

2) Так как точки M и X₁ лежат в плоскости грани CDD ‘ C ‘, соединим эти точки. Прямая MX₁ пересекает ребро CC’ в точке Y;

3) Так как точки M и X₂ лежат в плоскости грани ADD ‘ A ‘, соединим эти точки. Прямая MX₂ пересекает ребро AA’ в точке P;

4) Соединим последовательно точки L, Y, M, P, K. Получим искомое сечение LYMPK.

Источник

Способы построения сечения параллелепипеда

Строим сечение параллелепипеда по трем точкам (М, Р и N), лежащим на трех соседних ребрах.

Построение:
1. Отрезок MN. Так как М и Р лежат на нижней грани
2. Отрезок NР. Так как Р и N лежат на боковой грани
3. Отрезок MР. Так как эти точки тоже лежат в одной плоскости
4. Δ MNР – искомое сечение

Строим сечение параллелепипеда по трем точкам (М, Р и N), лежащим на трех параллельных ребрах.

Построение:
1. Отрезок MN
2. Отрезок NР
3. РQ II MN
4. PQ ∩ DD₁ = Q
5. MQ II NP
6. MNРQ – искомое сечение

Строим сечение параллелепипеда по трем точкам (М, Р и N), не лежащим на трех параллельных ребрах

Построение:
1. Отрезок MN
2. Отрезок NР
3. РQ II MN
4. PQ ∩ А₁В₁ = Q
5. Отрезок MQ
6. MNРQ – искомое сечение

Перейдем к построению более сложных сечений

Строим сечение параллелепипеда по трем точкам (М, Р и N), не лежащим на трех параллельных ребрах. Пользуемся методом следов.

Построение:
1. Отрезок MN
2. Прямая NР
3. NP ∩ CD = K
4. MK ∩ AB = S
5. MS ∩ AD = L
6. PN ∩ DD1 = E
7. Прямая LE
8. LE ∩ AA₁ = R
9. LE ∩ A₁D₁ = Q
10. MNРQRS – искомое сечение
2. Построение сечений в тетраэдре
2.1. Построение сечения в тетраэдре по трем точкам (М, Р и N)

Построение:
1. Отрезок NР
2. Отрезок MР
3. Отрезок MN
4. Δ MNР – искомое сечение

2.2. Построение по трем точкам (М, Р и N)

Построение:
1. Отрезок MN
2. Отрезок NР
3. Отрезок MР
4. Δ MNР – искомое сечение

2.3. Построение по трем точкам (М, Р и N)

Построение:
1. Отрезок NР
2. Прямая MN
3. MN ∩ АВ = К
4. Прямая КP
5. КР ∩ АС = Q
6. Отрезок MQ
7. MNРQ – искомое сечение

2.4. Построение по трем точкам (М, Р и N)

Источник