Способы построения магического квадрата

Основные методы построения магических квадратов с нечетным числом клеток

Статья просмотрена: 4973 раза

Библиографическое описание:

Бурханова, Ю. Н. Основные методы построения магических квадратов с нечетным числом клеток / Ю. Н. Бурханова, Е. А. Касаткина. — Текст : непосредственный // Молодой ученый. — 2010. — № 4 (15). — С. 29-35. — URL: https://moluch.ru/archive/15/1386/ (дата обращения: 18.11.2021).

Предлагаемая вниманию читателей статья посвящена вопросу, стоящему довольно далеко от центральной линии развития математической науки.

Священные, волшебные, загадочные, таинственные совершенные… Как только их не называли. Они пользовались особой популярностью у прорицателей, астрологов и врачевателей. Привлекающие своей красотой, наполненные внутренней гармонией, доступные, но по-прежнему непостижимые, скрывающие за кажущейся простотой множество тайн… Знакомьтесь: магические квадраты – удивительные представители воображаемого мира чисел.

Учение о магических квадратах занимало в математике значительное место лишь в тот период времени, когда всем руководили суеверия и астрология; в дальнейшем при возникновении новых естественнонаучных и технических задач теория магических квадратов стала не нужна. Однако учение о магических квадратах до сих пор может представлять интерес для любителей математики, в первую очередь для учащихся, в силу простоты и наглядности задач, не говоря уже о том, что это учение представляет собой благодарное поле приложения ряда более теоретико-числовых концепций.

Предлагаю вниманию читателя рассмотреть наиболее известные методы построения магических квадратов с нечетным числом клеток. При этом мы ограничиваемся лишь «классическими» магическими квадратами, т.е. квадратами, состоящими из последовательных натуральных чисел от 1 до .

Числовым квадратом порядка n, где n – некоторое положительное целое число, мы будем называть квадрат, разбитый на n 2 клеток, в которых размещены ( в некотором порядке) целые числа от 1 до . Числовой квадрат мы будем называть магическим, если суммы, получаемые от сложения чисел каждого горизонтального ряда, каждого вертикального ряда и обеих диагоналей, одинаковы. Так как квадрат порядка n и сумма чисел каждого ряда одинакова, то сумма всех чисел, размещенных в магическом квадрате, равна . С другой стороны, она равна[3]

. (1)

Условия равенства суммы элементов отдельных строк, столбцов и диагоналей числу мы будем называть условиями магичности этих строк, столбцов и диагоналей.[3]

Пример магического квадрата порядка 4 приведен на рис.1. (это так называемый квадрат Дюрера, изображенный на его гравюре «Меланхолия»). Для него в согласии с формулой (1), .

Рис.1. Квадрат Дюрера

Несмотря на то, что в свое время (особенно в XVI- XVIII веках) магические квадраты были предметом пристального изучения известных математиков, все же она не может считаться завершенной. Достаточно сказать, что до сих пор не известен никакой общий метод построения всех магических квадратов данного порядка n. Можно лишь утверждать, что это число делится на 8, так как из любого магического квадрата поворотами на 90 вокруг центра и отражениями в сторонах получаются еще 7 новых магических квадратов[4].

Клетки магического квадрата порядка n мы будем обозначать парами целых чисел (x,y) – их координатами, где х – номер вертикального ряда, у – номер горизонтального ряда, на их пересечении находится данная клетка[2]. При этом вертикальные мы нумеруем слева направо, а горизонтальные – снизу вверх. В качестве номеров мы будем использовать числа

Сдвигая основной квадрат параллельно самому себе на векторы с целочисленными координатами, делящимися на n, мы получим систему налегающих друг на друга квадратов порядка n, покрывающую всю плоскость. Две клетки, принадлежащим двум таким квадратам и занимающие относительно них одинаковое положение, мы будем называть эквивалентными. В дальнейшем эквивалентные клетки будут играть одинаковую роль и будут рассматриваться как одинаковые. Каждое целое число z=1, 2, . . ., n 2 мы можем записать в виде

где r и s – некоторые числа системы (2), однозначно определенные числом z и, обратно определяющее это число. Мы будем числа r и z называть координатами числа z[2].

Например, при n=3 координаты чисел

z=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

имеют соответственно вид

При задании некоторого магического квадрата порядка n каждой паре r,s сопоставляется пара чисел х, у – координаты клетки квадрата, в которую вписано число с координатами r, s. Другими словами, числа х и у являются функциями чисел r и s. Обозначая эти функции буквами f и g, мы получим, следовательно, что х = f(r, s) и у = g(r, s).

В дальнейшем любую пару f(r, s) и g(r, s) мы будем называть методом построения магических квадратов[2].

Описанное сведение задачи построения магического квадрата к задаче построения пары функций f(r, s) и g(r, s) позволяет, в частности, классифицировать способы построения магических квадратов в зависимости от характера этих функций.

Индийский метод составления магических квадратов (иногда называемые также сиамским) является, по-видимому, самым древним алгоритмом построения магических квадратов произвольного нечетного порядка n=2m+1. этот алгоритм описывают следующими правилами[2]:

1 . Числа от 1 до n2 поочередно вписываются в клетки основного квадрата.

2 . Если некоторое правило требует вписать данное число в клетку, лежащую вне основного квадрата, то вместо этого рассматриваемое число вписывается в эквивалентную клетку основного квадрата.

3 . Число 1 вписывается в среднюю клетку верхнего ряда, т.е. в клетку с координатами (m, 2m).

4 . Если число z вписано в клетку с координатами (х, у), то следующее число z+1 вписывается в клетку с координатами (х+1, у+1), т.е. в клетку, смежную с клеткой (х, у), в направлении восходящей диагонали, при условии, что эта последняя клетка еще свободна от чисел.

5 . Если клетка с координатами (х+1, у+1) уже занята некоторым числом, то число z+1 вписывается в клетку с координатами (х, у-1), т.е. в клетку, непосредственно примыкающую снизу к клетке (х, у). (оказывается это всегда возможно, т.е. клетка (х, у-1) обязательно свободна от чисел).

На рис.2 изображен магический квадрат третьего порядка, построенный индийским методом. Для ясности в этом рисунке заполнены также некоторые клетки вне основного квадрата. Не описывая подробно это построение, мы укажем лишь, что число 1 вписано на основании правила 1 и 3 , число 2 – на основании правил 4 и 2 , число 3 – на основании правил 4 и 2 , число 4 – на основании правил 5 и 2 , число 5 – на основании правила 4 , число 6 – на основании правила 4 , число 7 – на основании правил 5 и 2 , число 8 – на основании правил 4 и 2 и, наконец, число 9 – на основании правил 4 и 2 .

Источник

Способы построения магического квадрата

МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ МАГИЧЕСКИХ КВАДРАТОВ

Уважаемые читатели! Эта страница является Приложением к главе “Магические квадраты” из книги “Компьютер решает головоломки”. Она адресована тем, кого заинтересовала тема “Магические квадраты”. Изложенные методы построения магических квадратов я нашла в литературе (в основном это журналы “Наука и жизнь”). Но! не нашла методов построения магических квадратов чётного (или: чётно-нечётного) порядка, не являющихся чётно-чётными (то есть порядок таких квадратов делится на число 2, но не делится на число 4), например, шестого, десятого и т. д. Этот метод я изобрела сама. Поэтому я пока не привожу его здесь. Делаю заявку на изобретение нового метода, которого нет в литературе! Я не могу сказать со 100% уверенностью, что в литературе вообще нет методов построения магических квадратов чётно-нечётного порядка. Надо поискать получше. Но даже если они и есть, то, вполне возможно, что они отличаются от метода, придуманного мной. Приглашаю всех заинтересовавшихся рассмотреть тему подробно и сообщить мне, нашлись ли такие методы. Или мой метод пока единственный?

А теперь перехожу к методам построения магических квадратов нечётного и чётно-чётного порядка.

Магические квадраты нечётного порядка

Если магический квадрат третьего порядка нетрудно построить простым перебором всевозможных комбинаций, то, уже начиная с квадрата четвёртого порядка, дело осложняется. Вы убедились в этом, если решали задачу о магическом квадрате четвёртого порядка, приведённую в разделе 1. Математики изобрели несколько методов построения магических квадратов. Начнём с метода террас, который применяется для построения магических квадратов нечётного порядка: пятого, седьмого и т. д. Рассмотрим его на примере магического квадрата пятого порядка.

С четырёх сторон к исходному квадрату 5х5 добавляются террасы так, чтобы получился зубчатый квадрат того же порядка, что и исходный (рис. 1). В полученной фигуре располагают числа от 1 до 25 в естественном порядке косыми рядами снизу вверх (рис. 1) или сверху вниз (рис. 2). Числа в террасах, не попавшие в квадрат, перемещаются как бы вместе с террасами внутрь него так, чтобы они примкнули к противоположным сторонам квадрата. На рис. 3 и 4 изображены готовые магические квадраты, они аналогичны по структуре, только один повёрнут на 90 градусов относительно центра квадрата. Заметим, что методом террас можно построить не только традиционный магический квадрат нечётного порядка (то есть заполненный числами от 1 до n 2 ), но и квадрат, заполненный любыми другими числами, лишь бы разность между каждым последующим и предыдущим числом была постоянной. Так, на рис. 5 вы видите нетрадиционный магический квадрат пятого порядка, заполненный чётными числами от 2 до 50, построенный методом террас. Предлагаю вам построить методом террас магические квадраты седьмого и/или девятого порядка.

Источник

Способы построения магического квадрата

Предмет математики настолько серьезен, что нужно не упускать случая делать его немного занимательным.

§ 1. Магические квадраты. Исторические сведения

Среди различных занимательных вопросов теории чисел одним из интереснейших являются вопросы, связанные с магическими (волшебными) квадратами.

Тайна древнего талисмана

В Европе они появились в XIV веке. Или в XV . Мнения расходятся. Но и так, и этак – давние были времена.

Еще до своего появления в Европе они существовали века и десятки веков. Неизвестно, какая из древних цивилизаций была их родиной, неизвестна страна, неизвестен век, даже тысячелетие нельзя установить точно. Известно только, что эти талисманы появились до нашей эры и что их родиной был Древний Восток.

С незапамятных времен, научившись считать, люди познали меру количества – число. Вглядываясь в сочетания чисел, они с изумлением увидели, что числа имеют какую-то самостоятельную жизнь, удивительную и полную тайны; тайны необъяснимой и поэтому загадочной и многозначительной.

Оказалось, что, складывая различные числа, можно получить одно и то же число. Оказалось также, что, располагая эти числа правильными рядами, один под другим, в случае удачи, можно, складывая числа слева направо и сверху вниз, каждый раз получать одно и то же число. Наконец, кто-то придумал разделить числа линиями так, что каждое число оказалось в отдельной клетке. Так посвященные увидели квадрат, населенный числами, неизвестно что сулящий его владельцу, но, конечно, обладающий магической силой. Квадрат можно было резцом высечь на камне, тростниковым камышом написать на пергаменте, кончиком кисти, смоченным в растертой туши, нарисовать на бумаге, рыхлой и слабой.

Квадрат можно было продать верующим. Зашитый в ладанку, он становился амулетом и (конечно!) защитой его владельца от всякого зла.

В Китае квадрат 3х 3 называют Ло-Шу. И по сей день его можно увидеть на амулетах, которые носят в Восточной Азии и в Индии, и на многих пассажирских судах, где он украшает крышки столиков для карточных игр.

Некоторые представления о том, каких фантастических размеров достигали сочинения о магических квадратах (предмете, не имеющем сколько-нибудь принципиального значения), можно получить из того факта, что французский трактат на эту тему, выпущенный в 1838 году, когда о магических квадратах было известно намного меньше, чем теперь, вышел в трех объемистых томах.

С давних времен и поныне исследование магических квадратов процветало как своеобразный культ, часто не без мистического тумана. Среди лиц, занимавшихся их изучением, были и известные математики, как Артур Кели и Освальд Веблен, Леонард Эйлер и такие любители, как, например, Бенджамин Франклин.

Магический квадрат – это квадрат, разделенный на клетки (их количество одинаково по горизонтали и вертикали). Клетки заполнены числами от 1 до n 2 (n – порядок квадрата, то есть количество клеток по горизонтали или по вертикали) так, что сумма чисел во всех горизонтальных, вертикальных рядах и на главных диагоналях равна одному и тому же числу. Это число называется магической суммой (постоянной) квадрата и вычисляется по формуле:

Магических квадратов порядка 2 не существует, а порядка 3 существует только один (если не считать магических квадратов, получающихся из него при поворотах и отражениях), постоянная которого равна 15.

Как только переходим к порядку 4, сложность магических квадратов резко возрастает. Если и на этот раз не считать различными квадраты, которые можно перевести друг в друга поворотами и отражениями, то различных магических квадратов будет ровно 880 типов, причем многие из них будут даже «более магическими», чем это требуется по определению магического квадрата.

В начале XVI века магический квадрат был увековечен в искусстве. Знаменитый немецкий художник и гравер Альбрехт Дюрер выпустил в 1514 году гравюру, названную им «Меланхолия». На заднем плане гравюры, над фигурой крылатой женщины в одежде горожанки, помещен магический квадрат четвертого порядка.

Во времена Дюрера меланхолический темперамент считался свойственным творческому гению, он был уделом ученых мужей, «чья бледность – печать глубокой мысли». Прекрасная женщина Меланхолия на гравюре Дюрера, возможно, олицетворяет гений человеческой мысли, человеческого труда. Именно ему (гению) угрожает планета меланхоликов Сатурн.

Астрологи эпохи Возрождения связывали магические квадраты четвертого порядка с Юпитером. Такие квадраты считались действенным средством от меланхолии (поскольку Юпитер и Сатурн, если верить астрологам, враждовали между собой).

Вот поэтому в правом верхнем углу гравюры Дюрера изображен магический квадрат именно четвертого порядка.

Дюреровский квадрат симметричен, так как сумма любых двух входящих в него чисел, расположенных симметрично относительно его центра, равна 17.

Способ построения симметричных квадратов очень прост: вписать по порядку числа от 1 до 16 в клетки квадрата 4 ´ 4, а затем поменять местами числа, расположенные на главных диагоналях, относительно центра, и симметричный квадрат готов.

Дюрер переставил у своего квадрата два соседних столбца (что не повлияло на свойства квадрата) так, что числа в двух средних клетках нижней строки стали указывать дату создания гравюры: 1514.

Древнейший из дошедших до нас квадратов четвертого порядка был обнаружен в надписи XI или XII века, найденной в Кхадружен (Индия). Этот магический квадрат относится к разновидности так называемых «дьявольских» квадратов.

Так что же определяет интерес к магическим квадратам в наше время?

А. Обри: «. ценность теории определяется не только возможностью ее практического использования, для которого она разработана, но также ее способностью воспитывать наш ум, доставлять ему питание, поддерживающее его жизнь, везде отыскивать новые истины и выяснять их значение без помощи извне. С этой точки зрения изучение магических квадратов, не требуя глубоких знаний, представляет собой превосходную умственную гимнастику, развивающую способность понимать идеи разрешения, сочетания, симметрии, обобщения и т. д. Можно сказать, что эта умственная гимнастика включает такие теоретические построения, занимаясь которыми упражняется ум.

С другой стороны, . естественная красота, которую содержат магические квадраты, многократно встречающаяся и разнообразная, достаточна для того, чтобы привлечь любителей. »

§ 2. Классические алгоритмические методы построения магических квадратов

2.1. Индийский метод построения магических квадратов нечетного порядка

1 ° . Числа от 1 до n 2 поочередно вписываются в клетки основного квадрата.

2 ° . Если некоторое правило требует вписать данное число в клетку, лежащую вне основного квадрата, то вместо этого рассматриваемое число вписывается в эквивалентную клетку основного квадрата.

3 ° . Число 1 вписывается в среднюю клетку верхнего ряда, то есть в клетку с координатами (m, 2m).

4 ° . Если число z вписано в клетку с координатами (х, у), то следующее число z+1 вписывается в клетку с координатами (х+1, у+1), то есть в клетку, смежную с клеткой (х, у), в направлении восходящей диагонали (при условии, что эта последняя клетка еще свободна от чисел).

5 ° . Если клетка с координатами (х+1, у+1) уже занята некоторым числом, то число z+1 вписывается в клетку с координатами (х, у-1), то есть в клетку, непосредственно примыкающую снизу к клетке (х, у).

На рисунке изображен магический квадрат третьего порядка. Для ясности на этом рисунке заполнены также некоторые клетки вне основного квадрата.

Источник