График функции– это множество точек, у которых абсциссы являются допустимыми значениями аргумента х, а ординаты — соответствующими значениями функции y.
Если буквально следовать определению, то для построения графика некоторой функции нужно найти в с е пары соответствующих значений аргумента и функции и построить все точки с этими координатами. В большинстве случаев это сделать практически невозможно, так как таких точек бесконечно много. Поэтому обычно исследуют функцию, что даёт возможность найти область определения и область изменения функции, области её убывания или возрастания, асимптоты, интервалы знакопостоянства и т. д.; находят несколько точек, принадлежащих графику, и соединяют их плавной кривой. Однако при построении графиков многих функций часто можно избежать проведение подобного исследования, используя ряд методов, упрощающих аналитическое выражение функции и облегчающих построение графика. Изложению именно таких методов и посвящается эта статья, которая может служить практическим руководством при построении графиков многих функций.
1.1.Перенос (сдвиг) вдоль оси ординат
Пусть требуется построить график функции y=f(x)+b. Нетрудно заметить, что ординаты этого графика для всех значений аргумента на b единиц больше соответствующих ординат графика y=f(x) при b>0 и на b единиц меньше при b 0 или вниз при b 0 и на bединиц вверх, еслиb0 или вправо на a единиц при a 0 или на a единиц влево при a 0 исходная функция имеет вид y=. График функции y= в области отрицательных значений x получаем отражением относительно оси ординат (рис.11).
Для нечётной функции y=f(x) в области всех значений аргумента справедливо равенство f(-x)= — f(x). Таким образом, в области отрицательных значений аргумента ординаты графика нечётной функции равны по величине, но противоположны по знаку ординатам графика той же функции при соответствующих положительных значениях x. График нечётной функции симметричен относительно начала координат.
Для построения графика нечётной функции y=f(x) следует строить ветвь графика этой функции только в области положительных значений аргумента (x).
График функции y=f(x) в области отрицательных значений аргумента симметричен построенной ветви относительно начала координат и может быть получен отражением этой ветви относительно оси ординат с последующим отражением в области отрицательных значений x относительно оси абсцисс.
Пример 9. Построить график функции y=x.
Р е ш е н и е: Исходная функция является нечётной, поэтому строим её в области положительных значений аргумента (x), где она имеет вид y=x2. График функции y=x в области отрицательных значений аргумента получаем отражением построенной ветви относительно начала координат (рис.12).
Пример 10. Построить график функции y= .
Р е ш е н и е: Данная функция является нечётной, поэтому строим её график лишь в области x>0 (точка x=0 не входит в область определения функции), где она имеет вид y=1. Ветвь графика данной функции при x 0. Нетрудно заметить, что при равных значениях аргумента ординаты графика этой функции будут в A раз больше ординат графика функции y=f(x) при A>1 или в раз меньше ординат графика функции y=f(x) при A 1 (произвести растяжение графика вдоль оси ординат) или уменьшить его ординаты в раз при A 0. Рассмотрим функцию y=f(x), которая в произвольной точке x=x1 принимает значение y1=f(x1).
Очевидно, что функция y=f(wx) принимает такое же значение в точке x=x2, координата
которой определяется равенством x1=wx2, или x2=, причём это равенство справедливо для совокупности всех значений x из области определения функции. Следовательно, график функции y=f(wx) оказывается сжатым (при w>1) или растянутым (при w 1 (произвести сжатие графика вдоль оси абсцисс) или увеличить его абсциссы в раз при w
Источник
Построение графиков функций
Функции и их графики — одна из самых увлекательных тем в школьной математике. Жаль только, что проходит она. мимо уроков и мимо учеников. На нее вечно не хватает времени в старших классах. А те функции, которые проходят в 7-м классе, — линейная функция и парабола — слишком просты и незамысловаты, чтобы показать все разнообразие интересных задач.
Умение строить графики функций необходимо для решения задач с параметрами на ЕГЭ по математике. Это одна из первых тем курса математического анализа в вузе. Это настолько важная тема, что мы в ЕГЭ-Студии проводим по ней специальные интенсивы для старшеклассников и учителей, в Москве и онлайн. И часто участники говорят: «Жаль, что мы не знали этого раньше».
Но это не все. Именно с понятия функции и начинается настоящая, «взрослая» математика. Ведь сложение и вычитание, умножение и деление, дроби и пропорции — это все-таки арифметика. Преобразования выражений — это алгебра. А математика — наука не только о числах, но и о взаимосвязях величин. Язык функций и графиков понятен и физику, и биологу, и экономисту. И, как сказал Галилео Галилей, «Книга природы написана на языке математики».
Точнее, Галилео Галилей сказал так:«Математика есть алфавит, посредством которого Господь начертал Вселенную».
Темы для повторения:
1. Построим график функции
Знакомая задача! Такие встречались в вариантах ОГЭ по математике. Там они считались сложными. Но сложного ничего здесь нет.
Упростим формулу функции:
График функции — прямая с выколотой точкой
2. Построим график функции
Выделим в формуле функции целую часть:
График функции — гипербола, сдвинутая на 3 вправо по x и на 2 вверх по y и растянутая в 10 раз по сравнению с графиком функции
Выделение целой части — полезный прием, применяемый в решении неравенств, построении графиков и оценке целых величин в задачах на числа и их свойства. Он встретится вам также на первом курсе, когда придется брать интегралы.
3. Построим график функции
Он получается из графика функции растяжением в 2 раза, отражением по вертикали и сдвигом на 1 вверх по вертикали
4. Построим график функции
Главное — правильная последовательность действий. Запишем формулу функции в более удобном виде:
Действуем по порядку:
1) График функции y=sinx сдвинем на влево;
2) сожмем в 2 раза по горизонтали,
3) растянем в 3 раза по вертикали,
4) сдвинем на 1 вверх
Сейчас мы построим несколько графиков дробно-рациональных функций. Чтобы лучше понять, как мы это делаем, читайте статью «Поведение функции в бесконечности. Асимптоты».
5. Построим график функции
Область определения функции:
Промежутки знакопостоянства функции определим с помощью метода интервалов.
Прямая x = 0 (ось Y) — вертикальная асимптота функции. Асимптота — прямая, к которой бесконечно близко подходит график функции, но не пересекает ее и не сливается с ней (смотри тему «Поведение функции в бесконечности. Асимптоты»)
Есть ли другие асимптоты у нашей функции? Чтобы выяснить это, посмотрим, как ведет себя функция, когда x стремится к бесконечности.
Раскроем скобки в формуле функции:
Если x стремится к бесконечности, то стремится к нулю. Прямая является наклонной асимптотой к графику функции.
6. Построим график функции
Это дробно-рациональная функция.
Область определения функции
Нули функции: точки — 3, 2, 6.
Промежутки знакопостоянства функции определим с помощью метода интервалов.
Если x стремится к бесконечности, то у стремится к 1. Значит, — горизонтальная асимптота.
Вот эскиз графика:
Еще один интересный прием — сложение графиков.
7. Построим график функции
Если x стремится к бесконечности, то и график функции будет бесконечно близко подходить к наклонной асимптоте
Если x стремится к нулю, то функция ведет себя как Это мы и видим на графике:
Вот мы и построили график суммы функций. Теперь график произведения!
8. Построим график функции
Область определения этой функции — положительные числа, поскольку только для положительных x определен
Значения функции равны нулю при (когда логарифм равен нулю), а также в точках, где то есть при
При значение cos x равно единице. Значение функции в этих точках будет равно при
9. Построим график функции
Функция определена при Она четная, поскольку является произведением двух нечетных функций и График симметричен относительно оси ординат.
Нули функции — в точках, где то есть при при
Если x стремится к бесконечности, стремится к нулю. Но что же будет, если x стремится к нулю? Ведь и x, и sin x будут становиться меньше и меньше. Как же будет вести себя частное ?
Оказывается, что если x стремится к нулю, то стремится к единице. В математике это утверждение носит название «Первого замечательного предела».
А как же производная? Да, наконец-то мы до нее добрались. Производная помогает более точно строить графики функций. Находить точки максимума и минимума, а также значения функции в этих точках.
10. Построим график функции
Область определения функции — все действительные числа, поскольку
Функция нечетна. Ее график симметричен относительно начала координат.
При x=0 значение функции равно нулю. При значения функции положительны, при отрицательны.
Если x стремится к бесконечности, то стремится к нулю.
Найдем производную функции По формуле производной частного,
В точке производная меняет знак с «минуса» на «плюс», — точка минимума функции.
В точке производная меняет знак с «плюса» на «минус», — точка максимума функции.
Найдем значения функции при x=2 и при x=-2.
Графики функций удобно строить по определенному алгоритму, или схеме. Помните, вы изучали ее в школе?
Общая схема построения графика функции:
1. Область определения функции
2. Область значений функции
3. Четность — нечетность (если есть)
4. Периодичность (если есть)
5. Нули функции (точки, в которых график пересекает оси координат)
6. Промежутки знакопостоянства функции (то есть промежутки, на которых она строго положительна или строго отрицательна).
7. Асимптоты (если есть).
8. Поведение функции в бесконечности
9. Производная функции
10. Промежутки возрастания и убывания. Точки максимума и минимума и значения в этих точках.
Источник
1. Построение графиков функций
Теория:
Построение графиков любых функций выполняется по точкам. Однако не всегда заранее мы знаем как выглядит график. В этих случаях выделяют особо значимые точки графика, которые и задают его вид.
К особо значимым точкам графика функции y = f ( x ) относят:
— стационарные и критические точки;
— точки пересечения графика с осью \(x\) (нули функции) и с осью \(y\);
— точки разрыва функции.
Таким образом, для построения сложной функции сначала нужно исследовать свойства этой функции, найти важные её точки и уже потом по этим точкам строить график.
Существует чёткий план исследования свойств функции, позволяющий определить поведение функции на области определения и построить её график.
1) Когда функция y = f ( x ) непрерывна на всей числовой прямой, тогда определяют точки пересечения графика с осями координат, стационарные и критические точки, точки экстремума, промежутки монотонности и несколько контрольных точек, если это необходимо.
2) Когда функция y = f ( x ) определена не на всей числовой прямой, тогда в первую очередь находят область определения функции и точки разрыва.
3) Проверяют функцию на чётность, т. к. график чётной функции симметричен относительно оси \(y\) и график нечётной функций симметричен относительно начала координат. Значит, можно построить только ветвь графика при \(x>0\), а затем симметрично её отобразить.
4) Если lim x → ∞ f ( x ) = b , то, прямая \(y=b\) является горизонтальной асимптотой графика функции y = f ( x ) .
5) Прямая \(x=a\) является вертикальной асимптотой графика функции y = f ( x ) , если y → ∞ при x → a .
построить график функции y = x 2 + 4 x 2 − 4 .
Решение 1. Обозначим: f ( x ) = x 2 + 4 x 2 − 4 . Область определения этой функции: D ( f ) = ( − ∞ ; − 2 ) ∪ ( − 2 ; 2 ) ∪ ( 2 ; + ∞ ) , так как x ≠ 2, x ≠ − 2 .
2. Проведём исследование функции на чётность/нечётность:
f ( − x ) = − x 2 + 4 − x 2 − 4 = x 2 + 4 x 2 − 4 = f ( x ) .
Функция чётная. Следовательно, можно построить ветви графика функции для x ≥ 0 и отобразить их симметрично относительно оси ординат.
3. Определим асимптоты. Вертикальная асимптота: прямая \(x=1\), т. к. при \(x=1\) знаменатель дроби равен нулю, а числитель при этом не равен нулю. Для определения горизонтальной асимптоты вычисляем lim x → ∞ f ( x ) :
lim x → ∞ x 2 + 4 x 2 − 4 = lim x → ∞ x 2 x 2 + 4 x 2 x 2 x 2 − 4 x 2 = lim x → ∞ 1 + 4 x 2 1 − 4 x 2 = 1 .
4. Определим стационарные и критические точки, точки экстремума и промежутки монотонности функции:
y ′ = x 2 + 4 x 2 − 4 ′ = ( x 2 + 4 ) ′ ⋅ ( x 2 − 4 ) − ( x 2 + 4 ) ⋅ ( x 2 − 4 ) ′ x 2 − 4 2 = 2 x ⋅ ( x 2 − 4 ) − ( x 2 + 4 ) ⋅ 2 x x 2 − 4 2 = 2 x 3 − 8 x − 2 x 3 − 8 x x 2 − 4 2 = = − 16x x 2 − 4 2 .
Производная существует на всей области определения функции, следовательно, критических точек у функции нет.
Стационарные точки определим из уравнения y ′ = 0 . Получаем: \(-16x=0\) — откуда получаем, что \(x=0\). При \(x y ′ > 0 ; при \(x>0\) имеем: y ′ 0 . Таким образом, в точке \(x=0\) функция имеет максимум, причём y max = f ( 0 ) = 0 2 + 4 0 2 − 4 = − 1 .
При \(x>0\) имеем: y ′ 0 . Учитывая точку разрыва \(x=2\), делаем вывод: функция убывает на промежутках 0 ; 2 ) и ( 2 ; + ∞ ) .
5. Найдём несколько точек, принадлежащих графику функции f ( x ) = x 2 + 4 x 2 − 4 при x ≥ 0 :
. График функции y= 
в области отрицательных значений x получаем отражением относительно оси ординат (рис.11).
).
.
.
раз меньше ординат графика функции y=f(x) при A 1 (произвести растяжение графика вдоль оси ординат) или уменьшить его ординаты в 
которой определяется равенством x1=wx2, или x2=
, причём это равенство справедливо для совокупности всех значений x из области определения функции. Следовательно, график функции y=f(wx) оказывается сжатым (при w>1) или растянутым (при w 1 (произвести сжатие графика вдоль оси абсцисс) или увеличить его абсциссы в 
раз при w
