Способы понижения порядка дифференциального уравнения

Способы понижения порядка дифференциального уравнения

В общем случае дифференциальное уравнение второго порядка можно записать в виде \[F\left( \right) = 0,\] где \(F\) − заданная функция указанных аргументов.

Если дифференциальное уравнение можно разрешить относительно второй производной \(y»,\) то его можно представить в следующем явном виде: \[y» = f\left( \right).\] В частных случаях функция \(f\) в правой части может содержать лишь одну или две переменных. Такие неполные уравнения включают в себя \(5\) различных типов: \[ \;\; \;\; \right),>\;\; \right),>\;\; \right).> \] С помощью определенных подстановок эти уравнения можно преобразовать в уравнения первого порядка.

В случае произвольных дифференциальных уравнений второго порядка, их порядок можно понизить, если эти уравнения обладают определенной симметрией. Ниже мы обсудим \(2\) типа таких уравнений (случаи \(6\) и \(7\)):

Функция \(F\left( \right)\) является однородной функцией аргументов \(y,y’,y»;\)

Функция \(F\left( \right)\) является точной производной функции первого порядка \(\Phi\left( \right).\)

Итак, рассмотрим указанные случаи понижения порядка более подробно.

Для решения такого уравнения, также как и в случае \(2,\) вводим новую функцию \( p\left( y \right),\) полагая \( y’ = p\left( y \right).\) Дифференцирование этого равенства по \(x\) приводит к уравнению \[ \right)>><> = \frac<><> > = <\frac<><>\frac<><> = \frac<><>p.> \] В результате наше исходное уравнение записывается в виде уравнения \(1\)-го порядка \[p\frac<><> = f\left( \right).\] Решая его, находим функцию \( p\left( y \right).\) Затем решаем еще одно уравнение первого порядка \[y’ = p\left( y \right)\] и определяем общее решение \( y\left( x \right).\)

Рассмотренные \(5\) случаев понижения порядка не являются независимыми. Исходя из структуры уравнений, ясно, что случай \(2\) следует из случая \(5,\) а случай \(3\) вытекает из более общего случая \(4.\)

Если удается найти такую функцию \(\Phi\left( \right),\) не содержащую второй производной \(y»\) и удовлетворяющую равенству \[F\left( \right) = \frac<>\Phi \left( \right),\] то решение исходного уравнения представляется интегралом \[\Phi \left( \right) = C.\] Таким образом уравнение второго порядка можно привести к уравнению первого порядка.

В некоторых случаях левую часть исходного уравнения можно преобразовать в точную производную, используя интегрирующий множитель .

Данный пример относится к случаю \(1.\) Введем функцию \(y’ = p\left( x \right).\) Тогда \(y» = p’.\) Следовательно, \[p’ = \sin x + \cos x.\] Интегрируя, находим функцию \(p\left( x \right):\) \[ <\frac<><> = \sin x + \cos x,>\;\; <\Rightarrow dp = \left( <\sin x + \cos x>\right)dx,>\;\; <\Rightarrow \int = \int <\left( <\sin x + \cos x>\right)dx> ,>\;\; <\Rightarrow p = - \cos x + \sin x + .> \] Учитывая, что \(y’ = p,\) проинтегрируем еще одно уравнение \(1\)-го порядка: \[ ,>\;\; <\Rightarrow \int = \int <\left( < - \cos x + \sin x + > \right)dx> ,>\;\; <\Rightarrow y = - \sin x - \cos x + x + .> \] Последняя формула представлят собой общее решение исходного дифференциального уравнения.

Это уравнение относится к типу \(2,\) где правая часть зависит лишь от переменной \(y.\) Введем параметр \(p = y’.\) Тогда уравнение можно записать в виде \[y» = \frac<><>p = \frac<1><<4\sqrt y >>.\] Мы получили уравнение \(1\)-го порядка с разделяющимися переменными для функции \(p\left( y \right).\) Интегрируем его: \[ <\frac<><>p = \frac<1><<4\sqrt y >>,>\;\; <\Rightarrow 2pdp = \frac<><<2\sqrt y >>,>\;\; <\Rightarrow \int <2pdp>= \int <\frac<><<2\sqrt y >>> ,>\;\; <\Rightarrow = \sqrt y + ,> \] где \(\) − постоянная интегрирования.

Последнее выражение представляет собой общее решение дифференциального уравнения в неявном виде.

Данное уравнение не содержит явно независимой переменной \(x,\) т.е. относится к случаю \(5.\) Пусть \(y’ = p\left( y \right).\) Тогда уравнение запишется в виде \[p’ = \left( <2y + 3>\right).\] Разделяем переменные и интегрируем: \[ <\frac<><<>> = \left( <2y + 3>\right)dy,>\;\; <\Rightarrow \int <\frac<><<>>> = \int <\left( <2y + 3>\right)dy> ,>\;\; <\Rightarrow - \frac<1>

= + 3y + ,>\;\; <\Rightarrow p = y' = \frac<< - 1>> <<+ 3y + >>.> \] Интегрируя еще раз, получаем окончательное решение в неявном виде: \[ <\left( <+ 3y + > \right)dy = — dx,>\;\; <\Rightarrow \int <\left( <+ 3y + > \right)dy> = — \int ,>\;\; <\Rightarrow + \frac<<3>> <2>+ y + = — x,>\;\; <\Rightarrow 2+ 3 + y + + 2x = 0,> \] где \(, \) − постоянные интегрирования.

Можно заметить, что левая часть уравнения представляет собой производную от \(yy’.\) Поэтому, обозначая \(z = yy’,\) получаем следующее дифференциальное уравнение: \[ <\left( \right)^\prime > = 2x + 1,\;\; \Rightarrow z’ = 2x + 1.\] Последнее уравнение легко решается разделением переменных: \[ <\frac<><> = 2x + 1,>\;\; <\Rightarrow dz = \left( <2x + 1>\right)dx,>\;\; <\Rightarrow \int = \int <\left( <2x + 1>\right)dx> ,>\;\; <\Rightarrow z = + x + .> \] Теперь проинтегрируем еще одно уравнение для \(y\left( x \right):\) \[ + x + ,>\;\; <\Rightarrow \int = \int <\left( <+ x + > \right)dx> ,>\;\; <\Rightarrow \frac<<>> <2>= \frac<<>> <3>+ \frac<<>> <2>+ x + ,>\;\; <\Rightarrow 3= 2 + 3 + x + ,> \] где \(, \) − произвольные постоянные.

Источник

Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка

Рассмотрим три частных случая решения дифференциальных уравнений с возможностью понижения порядка. Во всех случаях понижение порядка производится с помощью замены переменной. То есть, решение дифференциального уравнения сводится к решению уравнения более низкого порядка. В основном мы рассмотрим способы понижения порядка дифференциальных уравнений второго порядка, однако их можно применять многократно и понижать порядок уравнений изначально более высокого порядка. Так, в примере 2 решается задача понижения порядка дифференциального уравнения третьего порядка.

Понижение порядка уравнения, не содержащего y и y‘

Это дифференциальное уравнение вида . Произведём замену переменной: введём новую функцию и тогда . Следовательно, и исходное уравнение превращается в уравнениие первого порядка

с искомой функцией .

Решая его, находим . Так как , то .

Отсюда, интегрируя ещё раз, получаем решение исходного уравнения:

,

где и — произвольные константы интегрирования.

Пример 1. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Решение. Произведём замену переменной, как было описано выше: введём функцию и, таким образом, понизив порядок уравнения, получим уравнение первого порядка . Интегрируя его, находим . Заменяя на и интегрируя ещё раз, находим общее решение исходного дифференциального уравнения:

Пример 2. Решить дифференциальное уравнение третьего порядка

.

Решение. Дифференциальное уравнение не содержит y и y‘ в явном виде. Для понижения порядка применяем подстановку:

.

Тогда и получаем линейное дифференциальное уравнение первого порядка:

.

Заменяя z произведением функций u и v , получим

Тогда получим выражения с функцией v :

Выражения с функцией u :

Дважды интегрируем и получаем:

.

.

Интегрируем по частям и получаем:

.

Итак, общее решение данного дифференциального уравения:

.

Понижение порядка уравнения, не содержащего y

Это дифференциальное уравнение вида . Произведём замену переменной как в предыдущем случае: введём , тогда , и уравнение преобразуется в уравнение первого порядка . Решая его, найдём . Так как , то . Отсюда, интегрируя ещё раз, получаем решение исходного уравнения:

,

где и — произвольные константы интегрирования.

Пример 3. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Решение. Уже знакомым способом произведём замену переменной: введём функцию и понизим порядок уравнения. Получаем уравнение первого порядка . Решая его, находим . Тогда и получаем решение исходного дифференциального уравнения второго порядка:

.

Пример 4. Решить дифференциальное уравнение

.

Решение. Дифференциальное уравнение не содержит y в явном виде. Поэтому для понижения порядка применяем подстановку:

.

Получим дифференциальное уравнение первого порядка:

.

Это уравение с разделяющимися переменными. Решим его:

Интегрируем полученную функцию:

Мы пришли к цели — общему решению данного дифференциального уравения:

.

Пример 5. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Решение. Дифференциальное уравнение не содержит y в явном виде. Поэтому для понижения порядка применяем подстановку:

.

Получим дифференциальное уравнение первого порядка:

.

Это однородное уравение, которое решается при помощи подстановки . Тогда , :

Далее потребуется интегрировать по частям. Введём обозначения:

Таким образом, получили общее решение данного дифференциального уравения:

.

Понижение порядка уравнения, не содержащего x

Это уравнение вида . Вводим новую функцию , полагая . Тогда

.

Подставляя в уравнение выражения для и , понижаем порядок уравнения. Получаем уравнение первого порядка относительно z как функции от y:

.

Решая его, найдём . Так как , то . Получено дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными, из которого находим общее решение исходного уравнения:

,

где и — произвольные константы интегрирования.

Пример 6. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Решение. Полагая и учитывая, что , получаем . Понизив порядок исходного уравнения, получаем уравнение первого порядка с разделяющимися переменными. Приводя его к виду и интегрируя, получаем , откуда . Учитывая, что , находим , откуда получаем решение исходного дифференциального уравнения второго порядка:

.

При сокращении на z было потеряно решение уравнения , т.е. . В данном случае оно содержится в общем решении, так как получается из него при (за исключением решения y = 0).

Пример 7. Найти общее решение дифференциального уравнения

.

Решение. Дифференциальное уравнение не содержит x в явном виде. Для понижения порядка применяем подстановку:

.

Получим дифференциальное уравнение первого порядка:

.

Это уравение с разделяющимися переменными. Решим его:

Используя вновь подстановку

,

получим ещё одно уравнение с разделяющимися переменными. Решим и его:

Таким образом, общее решение данного дифференциального уравения:

.

Пример 8. Найти частное решение дифференциального уравнения

,

удовлетворяющее начальному условию y(0) = 1 , y‘(0) = −1 .

Решение. Дифференциальное уравнение не содержит x в явном виде. Поэтому применяем подстановку:

.

Таким образом, понизили порядок уравнения и получили уравнение первого порядка

.

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделяем переменные и интегрируем:

Чтобы определить C 1 , используем данные условия y(0) = 1 , y‘(0) = −1 или p(0) = −1 . В полученное выражение подставим y = 1 , p = −1 :

.

.

Разделяя переменные и интегрируя, получаем

.

Из начального условия y(0) = 1 следует

.

Получаем окончательное решение данного дифференциального уравнения

.

Пример 9. Найти частное решение дифференциального уравнения

,

удовлетворяющее начальному условию y(1) = 1 , y‘(1) = −1 .

Решение. Дифференциальное уравнение не содержит x в явном виде. Для понижения порядка применяем подстановку:

.

Таким образом, получили уравнение первого порядка

.

Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Разделив обе части уравнения на p , получим

Интегрируем обе части уравнения

Используем начальные условия и определим C 1 . Если x = 1 , то y = 1 и p = y‘ = −1 , поэтому

.

Из начального условия y(1) = 1 следует

.

Получаем окончательное решение данного дифференциального уравнения

.

Источник