Способы получения математической модели

Способы получения математических моделей

Математические модели объектов могут быть получены анали­тическим путем на основе рассмотрения физической сущности выходного параметра и математических выражений, характери­зующих его поведение в тех или иных условиях. К сожалению, этот подход во многих случаях не может быть использован по практическим соображениям, в связи с значительными затратами времени и средств. Так же следует отметить, что не так много объектов и процессов имеют аналитическое описание. В подобных случаях математические модели получают с помо­щью экспериментальных исследований. При этом в пра­ктике находят применение пассивные и активные факторные эксперименты.

Факторными эксперименты называют потому, что в процес­се проведения эксперимента каким-либо образом изменяют значения первичных параметров, рассматриваемых как факторы, и фиксируют уровень выходного параметра, рассматриваемого как отклик.

При пассивном эксперименте инженер наблюдает значения факторов и регистрирует соответствующий этим значениям уро­вень выходного параметра (отклика). Изменение значений факто­ров в таком эксперименте достигается путем замены экземпляра устройства или фиксации изменения технологического параметра. Пассивные эксперименты проводят часто в условиях, когда нет возможности активно вмешиваться в ход технологического процесса. Основной его недостаток состоит также в необходимости проведения большого числа опытов.

При активном эксперименте инженер активно вмешивается в его ход путем принудительной установки (задания) в опытах нужных ему значений факторов. Активные эксперименты позво­ляют заметно уменьшить количество опытов, требуемое для по­лучения математической модели. Однако их проведение не всегда возможно по техническим или экономическим соображениям.

Источник

Методы получения математических моделей.

1.Аналитический метод основан на изучение физических и химических процессов, происходящих в объектах с учетом конструкции объекта и характеристик материала. При этом используются известные законы сохранения энергии вещества, кинетики и т.д.

Преимущества данного метода: модели получаются универсальные, их можно использовать на аналогичных объектах большего или меньшего размера.

Недостаток: объекты управления настолько сложны, что описать известными уравнениями все происходящие процессы при реальных граничных условиях не удается, а если и удается, решение получается очень сложным.

В таких случаях говорят, модель не замкнута, т.е. количество уравнений меньше количества неизвестных.

2.Экспериментальный (опытный) основан на опытных исследованиях объекта управления и дает возможность получить математическое описание таких объектов, аналитическое описание которых не возможно.

Экспериментальные методы делятся на:

а) пассивные. Предполагают изучение свойств объекта в процессе нормальной эксплуатации объекта, т.е. объект не останавливается, выпускает продукцию, а анализируются естественные, случайные колебания входных и выходных величин. Используются методы обработки случайных процессов.

Недостаток: точность модели будет не высока.

б) активные. Подразумевают специальные воздействия на объект с дальнейшим изучением реакции выходных величин (отклика).

Недостаток: при этих экспериментах процесс выходит за пределы оптимального режима.

Метод отличается высокой точностью.

3.Комбинированный (экспериментально-аналитический). Суть метода в том, что в начале используя известные законы сохранения, получают систему уравнений в общем виде, т.е. коэффициенты на данном этапе предполагаются неизвестные. А на втором этапе путем эксперимента получают коэффициенты.

Адекватность модели — соответствие математической модели тем процессам, которые изучаются; в соответствии определяются погрешности, когда теоретические данные не соответствуют экспериментальным.

Лекция № 9 Системы автоматического управления технологическими процессами.

Информация по текущему состоянию снимается датчиками.

Сигналы пропорциональные измерению передаются на щит управления.

Технологический персонал, управляющий вычислительный комплекс (УВК).

УВК состоит из УСО (устройства связи с объектом).

МПС – электронный мозг УВК (микропроцессорная система). УВК может обмениваться информацией с помощью модема.

АСУП – автоматизированная система управления предприятием.

Эксплуатационный персонал АСУП может вносить коррективы в работу УВК.

Станции управления регуляторов служат для переключения с ручного режима управления на автоматическое регулирование и наоборот. Кроме того, на станции управления находятся манипуляторы для ручного управления исполнительными механизмами (ИМ). ИМ является приводом регулирующего органа.

В зависимости от использования вычислительной машины возможны следующие режимы:

1. Машина, т.е. УВК используется в качестве многоканального цифрового прибора (информационно-справочный режим), управление при этом ручное.

2. Супервизорный режим. Здесь наряду с автоматическим регулированием машина автоматически изменяет заданные значения (задания) регуляторов, тем самым осуществляется супервизорное автоматическое управление.

3. Режим непосредственного цифрового управления. Здесь регуляторы уже не работают. Управление происходит непосредственно от машины, минуя регуляторы. Сигнал идет от станции управления к исполнительному механизму.

1-ый и 3-ий режимы являются одноуровневыми. В первом случае работает только нижний уровень, а в третьем — только верхний уровень. Второй режим – двухуровневый. Нижний уровень – регуляторы, верхний уровень – УВК.

Источник

Методы получения математических моделей

Методы получения математических моделей подразделяются на теоретические и экспериментальные.

Теоретический метод заключается в аналитическом исследова­нии физической сущности процесса с использованием общих законов физики, или процессов с использованием уравнений материального и энергетического баланса.

Применение чисто теоретического метода представляет боль­шую трудность вследствие сложности явлений, происходящих в про­цессах, или недостаточной степени изученности их.

Экспериментальный метод математического описания заклю­чается в обработке экспериментальных данных, полученных непо­средственно на действующих объектах производства, или на полу­промышленной лабораторной машине, или физической модели про­цесса — стенде.

Наиболее эффективным методом получения математической модели является сочетание теоретического и экспериментальных ме­тодов. При этом на долю теоретического метода приходится анализ в основном структурных свойств объекта и продуктов и получение общего вида уравнений, а на долю экспериментального — количе­ственный анализ и проверка теоретических выводов.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПРОГРАММИРОВАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

Предметом математического программирования является разработка методов отыскания экстремального – максимального или минимального – значения функции нескольких переменных при конечном числе дополнительных ограничений, наложенных на эти переменные.

В общем виде математическая постановка задачи математического программирования (ЗПМ) такова: среди всех решений системы ограничений (2)

Найти то или те, которые доставляют максимум или минимум функции (1).

где f и g_i — заданные функции, а b_i – заданные действительные числа, i = 1…m.

В зависимости от свойств функций f и g_i математическое программирование можно рассматривать как ряд самостоятельных дисциплин, занимающихся изучением и разработкой методов решения определенных классов задач.

Если все функции f и g_i линейные, то соответствующая задача является задачей линейного программирования (ЗЛП). Для решения ЗЛП разработан целый ряд эффективных методов, алгоритмов и программ.

ОБЩАЯ ПОСТАНОВКА ЗЛП

Математическая модель

В настоящее время в литературе насчитывается несколько де-
сятков определений понятия модель. Мы под моделью будем понимать условный образ какого-либо объекта. приближенно воссоздающий этот объект с помощью некоторого языка. Математические модели относятся к классу идеальных знаковых моделей и могут создаваться из любых математических объектов: чисел. функций, уравнений, графиков, графов и т.д., то есть представляют объект в абстрактном виде с помощью математических соотношений.

В математических моделях объектом является некий процесс (например, использование ресурсов, транспортные перевозки и т.п.). Математическая модель — математическое описание исследуемого процесса или объекта. Принято выделять три основных этапа математического моделирования. Первый этап — постановка задачи-
выбор цели и задачи исследования. качественное описание объекта;
второй этап — построение математической модели, выбор или разработка методов исследования, выбор соответствующего пакета прикладных программ или написание данной программы для компьютера,подготовка исходной информации. проверка пригодности построенной модели; третий этап — проведение численных экспериментов, обработка и анализ полученных, решений. интерпретация результатов, отбор наиболее оптимальных вариантов.

Примеры ЗЛП

Задача 1 — об использовании ресурсов. Из сырья двух видов:
S₁ и S₂, запасы которого ограничены и составляют соответственно
b₁ и b₂, единиц. изготавливается продукция трех видов: Р₁, Р₂ и
Р₃. Известно количество единиц сырья каждого вида, необходимое для производства единицы каждого вида продукции. Введем обозначение a_ij –количества единиц i – го вида сырья, необходимое для производства единицы продукции p_j , где i = 1, 2; j = 1, 2, 3. известен доход от реализации единицы каждого вида продукции – c_j j = 1, 2, 3.

Требуется составить такой план производства продукции, чтобы предприятие получило от реализации всей продукции наибольший суммарный доход. Составить математическую модель задачи.

Полезно для понимания смысла задачи поместить данные в таблицу (табл.1).

Вид ресурса	Число единиц ресурса, затрачиваемых на изготовление единицы продукции	Запас ресурсов
P1	P2	P3
S1	a11	a12	a13	b1
S2	a21	a22	a23	b2
Прибыль от единицы	c1	c2	c3

1. Выберем переменные. Пусть x_j -число единиц продукции вида P_j , запланированное к производству, j = 1, 2, 3.

3. Цель – получение наибольшей суммарной прибыли. Суммарная прибыль f составит сумму c₁x₁ денежных единиц от реализации запланированной продукции P₁ , c₂x₂ –от продукции P₂, c₃x₃ – от продукции P₃, т.е.

4. Для изготовления запланированного объема продукции потребуется (a₁₁x₁+a₁₂x₂+a₁₃x₃) единиц ресурса S₁ для S₂ – аналогично. Так как потребление ресурсов не должно превышать их запасов, соответственно b₁ и b₂ , то связь между потреблением ресурсов и их запасами выразится системой неравенств:

(3)

Постановка математической задачи: среди всех неотрицательных решений системы неравенств (3) найти то или те, при которых функция (2) принимает максимальное значение.

Так как функция (2) линейная, асистема (3) содержит только линейные неравенства, то задача (1) – (3) является задачей линейного программарования.

Задача 2. Транспортная задача (ТЗ) по критерию стоимости.

Пусть имеются два пункта отправления А1 и А2, в которых сосредоточено соответственно а1,а2 единиц однородного груза. Весь этот груз следует перевезти в три пункта назначения: В1, В2, В3. Причем потребности пунктов назначения известны и составляют соответственно b₁,b₂,b₃ единиц этого груза. Стоимость перевозки единицы груза из каждого пункта отправления А_i в каждый пункт назначения B_j известно; обозначим её c_ij — денежных единиц.

Замечание. В задаче предполагается, что суммарный запас груза в пунктах отправления равен суммарным потребностям пунктов, т.е. выполняется равенство:

1. Выберем переменные. Пусть x_ij — количество единиц груза, предназначенного для перевозки из пункта отправления А1 в пункт назначения В_j; i = 1,2; j = 1,2,3.

Пункты отправления	Стоимость перевозки единицы груза в пункты назначения	Запасы груза
B1	B2	B3
A1	c11	c12	c13	a1
A2	c21	c22	c23	a2
Потребности в грузе	b1	b2	b3	a1= b1

3. Цель – минимальная суммарная стоимость перевозок. Суммарная стоимость перевозок f складывается из стоимостей перевозок всех запланированных объемов. Так, если из пункта А1 в пункт В1 следует перевезти х₁₁ единиц груза, причем стоимость перевозки единицы груза с₁₁ денежных единиц, то оказанная перевозка оценивается в с₁₁х₁₁ денежных единиц. Суммируя, получаем:

4. Поскольку весь груз следует перевести, то получаем систему уравнений:

Систему уравнений (7) называют ограничениями по запасам.

Поскольку все потребности следует удовлетворить, то получаем систему уравнений:

Систему уравнений (8) называют ограничениями по потребностям.

Постановка математической задачи: среди всех неотрицательных решений системы уравнений (7), (8) найти то или те, при которых функция (6) достигает минимума.

Источник