Способы подсчета вероятностей классический статистический геометрический

3. Классическое, статистическое и геометрическое определения вероятности Классическое определение вероятности

Вероятностью наступления события A называется число, равное отношению числа случаев, благоприятствующих событию A, к общему числу случаев (исходов, шансов или элементарных событий).

Где n ‒ общее число случаев, m ‒ число случаев, благоприятствующих событию А.

Вероятность невозможного события:

Вероятность достоверного события:

Вероятность любого случайного события:

Статистическое определение вероятности

Статистической вероятностью события A называется относительная частота появления события в n ‒ произведенных испытаниях.

Опытная (экспериментальная) вероятность:

Следовательно,– есть доля тех фактически произведённых испытаний, в которых событиеA появилось. При ,P(A) ≈ (A)

В коробке лежит 7 синих, 8 красных и 5 зеленых шаров.

Событие A ‒ шар зеленый;

В коробке лежат 100 электроламп, из них 5 бракованных.

Событие A ‒ на удачу, выбранные 2 электролампы исправны.

В коробке лежит 10 шаров: 6 белых и 4 черных.

Вероятность того, что из пяти взятых наугад шаров будет 4 белых.

Найдем число благоприятных исходов: число способов, которыми можно взять 4 белых шара из 6 имеющихся шаров, равно:

Общее число исходов определяется числом сочетаний из 10 по 5:

Искомая вероятность P = 15/252 ≈ 0,06.

Геометрическая вероятность, то есть вероятность попадания точки в некоторую область, отрезок, часть плоскости.

Геометрической вероятностью события A называют отношение меры области, благоприятствующей появлению события A, к мере всей области.

где mes ‒мера (длина, площадь, объём области).

4.Алгебра событий. Операции над случайными событиями.

Определение 1. Суммой двух событий A и B называется событие C, состоящее в осуществлении хотя бы одного из событий A или B.

Возможны два случая:

1. Если A и B несовместны, тогда A+B означает, что произойдет или A, или В.

2. Если A и B совместны, тогда A+B означает, что произойдет или A, или B, или A и B одновременно.

Определение 2. Произведением двух событий A и B называется событие C, состоящее в одновременном осуществлении событий A и B.

Пример 1. Из колоды карт наудачу вынули одну карту.

Событие A‒ карта дама.

Событие B‒ карта пиковой масти.

Тогда A + B ‒ вынутая карта или дама, или карта пиковой масти, или пиковая дама.

AB ‒ вынутая карта пиковая дама.

Правило произведения событий.

Если какой ни будь объект A можно выбрать m‒ способами и после каждого такого выбора другой объект B можно выбрать k ‒ способами, то пары объектов «A и B одновременно» можно выбрать mk‒ способами.

В лотерее из 50 билетов 8 выигрышных билетов.

Найти вероятность того, что среди первых 5‒ти наугад выбранных билетов 2 будут выигрышными.

50 ‒ 8 = 42 ‒ билета невыигрышных.

Событие A ‒ среди первых 5‒ти билетов 2 выигрышных.

В ящике находится 10 стандартных и 5 нестан­дартных деталей.

Какова вероятность, что среди наугад взя­тых 6 деталей будет 4 стандартных и 2 нестандартных?

Общее число исходов равно

Число благо­приятных исходов определяется произведением

где пер­вый сомножитель соответствует числу вариантов изъятия из ящика 4‒х стандартных деталей из 10, а второй ‒ числу вари­антов изъятия из ящика 2‒х нестандартных деталей из пяти. Отсюда следует, что искомая вероятность равна

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Источник

Понятие вероятности. Классическое, статистическое и геометрическое определение вероятности

Вероятность – это численная мера степени, объективной возможности появления события в предстоящих массовых испытаниях, проводимых в аналогичных условиях.

Если пространство элементарных событий некоторого эксперимента состоит из конечного числа элементов, причём все исходы являются равновозможными, то для определения вероятности любого события А, связанного с данным экспериментом, можно воспользоваться классическим определением вероятности, согласно которому вероятность любого события А определяется по формуле:

где m – число элементарных исходов, благоприятных событию А, n – общее число исходов пространства элементарных событий.

Однако существует большой класс событий, вероятности которых нельзя вычислить с помощью классического метода определения вероятностей. Например:

– выпадение некоторой грани игральной кости со смещённым центром тяжести;

– попадание в цель при одном выстреле;

– выход из строя прибора в течение гарантийного срока;

– производство бракованной детали и т.д.

В таких случаях вероятность интересующего нас события может быть определена через относительную частоту.

Относительной частотой называется отношение числа опытов, в которых появилось это событие, к числу всех проведённых опытов:

Статистической вероятностью называетсячисло, около которого группируются значения частоты данного события в различных сериях большого числа испытаний:

Классическое определение вероятности нельзя применить к опыту с бесконечным числом исходов. Для описания такой ситуации используется геометрическое определение вероятности. Если обозначить меру (длину, площадь, объём) некоторой области через mes, то вероятность попадания точки, брошенной наудачу в область g, которая является частью области G, равна:

Источник

Теория вероятностей, формулы и примеры

О чем эта статья:

Тема непростая, но если вы собираетесь поступать на факультет, где нужны базовые знания высшей математики, освоить материал — must have. Тем более, все формулы по теории вероятности пригодятся не только в универе, но и при решении 4 задания на ЕГЭ. Начнем!

Основные понятия

Французские математики Блез Паскаль и Пьер Ферма анализировали азартные игры и исследовали прогнозы выигрыша. Тогда они заметили первые закономерности случайных событий на примере бросания костей и сформулировали теорию вероятностей.

Когда мы кидаем монетку, то не можем точно сказать, что выпадет: орел или решка.

Но если подкидывать монету много раз — окажется, что каждая сторона выпадает примерно равное количество раз. Из чего можно сформулировать вероятность: 50% на 50%, что выпадет «орел» или «решка».

Теория вероятностей — это раздел математики, который изучает закономерности случайных явлений: случайные события, случайные величины, их свойства и операции над ними.

Вероятность — это степень возможности, что какое-то событие произойдет. Если у нас больше оснований полагать, что что-то скорее произойдет, чем нет — такое событие называют вероятным.

Ну, скажем, смотрим на тучи и понимаем, что дождь — вполне себе вероятное событие. А если светит яркое солнце, то дождь — маловероятное или невероятное событие.

Случайная величина — это величина, которая в результате испытания может принять то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно. Случайные величины можно разделить на две категории:

Дискретная случайная величина — величина, которая в результате испытания может принимать определенные значения с определенной вероятностью, то есть образовывать счетное множество.

Элементы множества можно пронумеровать. Они могут быть как конечными, так и бесконечными. Например: количество выстрелов до первого попадания в цель.

Непрерывная случайная величина — это такая величина, которая может принимать любые значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Количество возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.

Вероятностное пространство — это математическая модель случайного эксперимента (опыта). Вероятностное пространство содержит в себе всю информацию о свойствах случайного эксперимента, которая нужна, чтобы проанализировать его через теорию вероятностей.

Вероятностное пространство — это тройка (Ω, Σ, Ρ) иногда обрамленная угловыми скобками: ⟨ , ⟩ , где

• Ω — это множество объектов, которые называют элементарными событиями, исходами или точками.
• Σ — сигма-алгебра подмножеств , называемых случайными событиями;
• Ρ — вероятностная мера или вероятность, т.е. сигма-аддитивная конечная мера, такая что .

Формулы по теории вероятности

Теория вероятности изучает события и их вероятности. Если событие сложное, то его можно разбить на простые составные части — так легче и быстрее найти их вероятности. Рассмотрим основные формулы теории вероятности.

Случайные события. Основные формулы комбинаторики

Классическое определение вероятности

Вероятностью события A в некотором испытании называют отношение:

P (A) = m/n, где n — общее число всех равновозможных, элементарных исходов этого испытания, а m — количество элементарных исходов, благоприятствующих событию A

• Вероятность достоверного события равна единице.
• Вероятность невозможного события равна нулю.
• Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Таким образом, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству:

• 0 ≤ P(A) ≤ 1.

Пример 1. В пакете 15 конфет: 5 с молочным шоколадом и 10 — с горьким. Какова вероятность вынуть из пакета конфету с белым шоколадом?

Так как в пакете нет конфет с белым шоколадом, то m = 0, n = 15. Следовательно, искомая вероятность равна нулю:

Неприятная новость для любителей белого шоколада: в этом примере событие «вынуть конфету с белым шоколадом» — невозможное.

Пример 2. Из колоды в 36 карт вынули одну карту. Какова вероятность появления карты червовой масти?

Количество элементарных исходов, то есть количество карт равно 36 (n). Число случаев, благоприятствующих появлению карты червовой масти (А) равно 9 (m).

Геометрическое определение вероятности

Геометрическая вероятность события А определяется отношением:

P(A)= m(A)/m(G), где m(G) и m(A) — геометрические меры (длины, площади или объемы) всего пространства элементарных исходов G и события А соответственно

Чаще всего, в одномерном случае речь идет о длинах отрезков, в двумерном — о площадях фигур, а в трехмерном — об объемах тел.

Пример. Какова вероятность встречи с другом, если вы договорились встретиться в парке в промежутке с 12.00 до 13.00 и ждете друг друга 5 минут?

1. A — встреча с другом состоится, х и у — время прихода. Значит:
   0 ≤ х, у ≤ 60.
2. В прямоугольной системе координат этому условию удовлетворяют точки, которые лежат внутри квадрата ОАВС. Друзья встретятся, если между моментами их прихода пройдет не более 5 минут, то есть:

x−y y.

Этим неравенствам удовлетворяют точки из области G — то, что выделено красным:

Тогда вероятность встречи равна отношению площадей области G и квадрата:

P(A)=S_G/S_OABC= 60 * 60 — 55 * 5560 * 60 = 23144 = 0,16

У нас есть отличное онлайн обучение по математике для учеников с 1 по 11 классы, записывайся на пробное занятие!

Сложение и умножение вероятностей

• Событие А называется частным случаем события В, если при наступлении А наступает и В. То, что А является частным случаем В можно записать так: A ⊂ B.
• События А и В называются равными, если каждое из них является частным случаем другого. Равенство событий А и В записывается так: А = В.
• Суммой событий А и В называется событие А + В, которое наступает тогда, когда наступает хотя бы одно из событий: А или В.

Теорема о сложении вероятностей звучит так: вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

P(A + B) = P(A) + P(B)

Эта теорема справедлива для любого числа несовместных событий:

Если случайные события A₁, A₂. A_n образуют полную группу несовместных событий, то справедливо равенство:

• P(A₁) + P(A₂) + … + P(A_n) = 1. Такие события (гипотезы) используют при решении задач на полную вероятность.

Произведением событий А и В называется событие АВ, которое наступает тогда, когда наступают оба события: А и В одновременно. Случайные события А и B называются совместными, если при данном испытании могут произойти оба эти события.

Вторая теорема о сложении вероятностей: вероятность суммы совместных событий вычисляется по формуле:

P(A + B) = P(A) + P(B) − P(AB)

События событий А и В называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности появления другого. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет.

Теорема об умножении вероятностей: вероятность произведения независимых событий А и В вычисляется по формуле:

P(AB) = P(A) * P(B)

Пример. Студент разыскивает нужную ему формулу в трех справочниках. Вероятности того, что формула содержится в первом, втором и третьем справочниках равны 0,6; 0,7 и 0,8.

Найдем вероятности того, что формула содержится:

1. только в одном справочнике;
2. только в двух справочниках;
3. во всех трех справочниках.

А — формула содержится в первом справочнике;

В — формула содержится во втором справочнике;

С — формула содержится в третьем справочнике.

Воспользуемся теоремами сложения и умножения вероятностей.

1. 
2. 
3. 

Ответ: 1 — 0,188; 2 — 0,452; 3 — 0,336.

Формула полной вероятности и формула Байеса

Если событие А может произойти только при выполнении одного из событий B₁, B₂, . B_n, которые образуют полную группу несовместных событий — вероятность события А вычисляется по формуле полной вероятности:

Вновь рассмотрим полную группу несовместных событий B₁, B₂, . B_n, вероятности появления которых P(B₁), P(B₂), . P(B_n). Событие А может произойти только вместе с каким-либо из событий B₁, B₂, . B_n, которые называются гипотезами. Тогда по формуле полной вероятности: если событие А произошло — это может изменить вероятности гипотез P(B₁), P(B₂), . P(B_n).

По теореме умножения вероятностей:

Аналогично, для остальных гипотез:

Эта формула называется формулой Байеса. Вероятности гипотез называются апостериорными вероятностями, тогда как — априорными вероятностями.

Пример. Одного из трех стрелков вызывают на линию огня, он производит два выстрела. Вероятность попадания в мишень при одном выстреле для первого стрелка равна 0,3, для второго — 0,5; для третьего — 0,8. Мишень не поражена. Найти вероятность того, что выстрелы произведены первым стрелком.

1. Возможны три гипотезы:
   • А1 — на линию огня вызван первый стрелок,
   • А2 — на линию огня вызван второй стрелок,
   • А3 — на линию огня вызван третий стрелок.

2. Так как вызов на линию огня любого стрелка равно возможен, то
   
3. В результате опыта наблюдалось событие В — после произведенных выстрелов мишень не поражена. Условные вероятности этого события при наших гипотезах равны:
   
4. По формуле Байеса находим вероятность гипотезы А₁ после опыта:
   

Формула Бернулли

При решении вероятностных задач часто бывает, что одно и тоже испытание повторяется многократно, и исход каждого испытания независит от исходов других. Такой эксперимент называют схемой повторных независимых испытаний или схемой Бернулли.

Примеры повторных испытаний:

• Бросаем игральный кубик, где вероятности выпадения определенной цифры одинаковы в каждом броске.
• Включаем лампы с заранее заданной одинаковой вероятностью выхода из строя каждой.
• Лучник повторяет выстрелы по одной и той же мишени при условии, что вероятность удачного попадания при каждом выстреле принимается одинаковой.

Итак, пусть в результате испытания возможны два исхода: либо появится событие А, либо противоположное ему событие. Проведем n испытаний Бернулли. Это означает, что все n испытаний независимы. А вероятность появления события А в каждом случае постоянна и не изменяется от испытания к испытанию.

Обозначим вероятность появления события А в единичном испытании буквой р, значит:

p = P(A), а вероятность противоположного события (событие А не наступило) — буквой q

q = P(¯A) = 1 — p.

Тогда вероятность того, что событие А появится в этих n испытаниях ровно k раз, выражается формулой Бернулли:

P_n(k) = C_n k * p k * q n-k , где q = 1 — p.

Биномиальное распределение — распределение числа успехов (появлений события).

Пример. Среди видео, которые снимает блогер, бывает в среднем 4% некачественных: то свет плохой, то звук пропал, то ракурс не самый удачный. Найдем вероятность того, что среди 30 видео два будут нестандартными.

Опыт заключается в проверке каждого из 30 видео на качество. Событие А — это какая-то неудача (свет, ракурс, звук), его вероятность p = 0,04, тогда q = 0,96. Отсюда по формуле Бернулли можно найти ответ:

Ответ: вероятность плохого видео приблизительно 0,202. Блогер молодец🙂

Наивероятнейшее число успехов

Биномиальное распределение ( по схеме Бернулли) помогает узнать, какое число появлений события А наиболее вероятно. Формула для наиболее вероятного числа успехов k (появлений события) выглядит так:

np — q ≤ k ≤ np + p, где q=1−p

Так как np−q = np + p−1, то эти границы отличаются на 1. Поэтому k, являющееся целым числом, может принимать либо одно значение, когда np целое число (k = np), то есть когда np + p (а отсюда и np — q) нецелое число, либо два значения, когда np — q целое число.

Пример. В очень большом секретном чатике сидит 730 человек. Вероятность того, что день рождения наугад взятого участника чата приходится на определенный день года — равна 1/365 для каждого из 365 дней. Найдем наиболее вероятное число счастливчиков, которые родились 1 января.

1. По условию дано: n = 730, p = 1/365, g = 364/365
2. np — g = 366/365
3. np + p = 731/365
4. 366/365 ≤ m ≤ 731/365
5. m = 2

Формула Пуассона

При большом числе испытаний n и малой вероятности р формулой Бернулли пользоваться неудобно. Например, 0.97 999 вычислить весьма затруднительно.

В этом случае для вычисления вероятности того, что в n испытаниях событие произойдет k раз, используют формулу Пуассона:

Здесь λ = np обозначает среднее число появлений события в n испытаниях.

Эта формула дает удовлетворительное приближение для p ≤ 0,1 и np ≤10.

События, для которых применима формула Пуассона, называют редкими, так как вероятность, что они произойдут — очень мала (обычно порядка 0,001-0,0001).

При больших np рекомендуют применять формулы Лапласа, которую рассмотрим чуть позже.

Пример. В айфоне 1000 разных элементов, которые работают независимо друг от друга. Вероятность отказа любого элемента в течении времени Т равна 0,002. Найти вероятность того, что за время Т откажут ровно три элемента.

1. По условию дано: n = 1000, p = 0,002, λ = np = 2, k = 3.
2. Искомая вероятность после подстановки в формулу:

P₁₀₀₀(3) = λ 3 /3! * e −λ = 2 3 /3! * e −2 ≈ 0,18.

Ответ: ориентировочно 0,18.

Теоремы Муавра-Лапласа

Пусть в каждом из n независимых испытаний событие A может произойти с вероятностью p, q = 1 — p (условия схемы Бернулли). Обозначим как и раньше, через P_n(k) вероятность ровно k появлений события А в n испытаниях.

Кроме того, пусть P_n(k₁;k₂) — вероятность того, что число появлений события А находится между k₁ и k₂.

Локальная теорема Лапласа звучит так: если n — велико, а р — отлично от 0 и 1, то

Интегральная теорема Лапласа звучит так: если n — велико, а р — отлично от 0 и 1, то

Функции Гаусса и Лапласа обладают свойствами, которые пригодятся, чтобы правильно пользоваться таблицей значений этих функций:

• 
• при больших x верно

Теоремы Лапласа дают удовлетворительное приближение при npq ≥ 9. Причем чем ближе значения q, p к 0,5, тем точнее данные формулы. При маленьких или больших значениях вероятности (близких к 0 или 1) формула дает большую погрешность по сравнению с исходной формулой Бернулли.

Источник

Читайте также:  Простата форте способ применения