Способы подсчета среднего арифметического

2. Средняя арифметическая, способы расчета.

Больше всего в эк. практике приходится употреблять среднюю арифметическую, которая может быть исчислена как средняя арифметическая простая и взвешенная.

Средняя арифметическая (СА) -наиболее распространенный вид средних. Она применяется в тех случаях, когда объем варьирующего признака для всей совокупности является суммой значений признаков отдельных ее единиц. Для общест­венных явлений характерна аддитивность (суммарность) объе­мов варьирующего признака, этим определяется область при­менения СА и объясняется ее распро­страненность как обобщающего показателя, напр: общий фонд з/ п – это сумма з/п всех работников.

Чтобы исчислить СА, нужно сумму всех значений признаков разделить на их число. СА примен-ся в 2 формах.

Рассмотрим сначала простую арифметическую среднюю.

1-СА простая (исходная, определяющая форма) равна простой сумме отдельных значений осредняемого признака, деленной на общее число этих значений (применяется когда имеются несгруппированные инд. значения признака):

Произведенные вычисления могут быть обобщены в следующую формулу:

(1)

где — среднее значение варьирующего признака, т. е. средняя арифметическая простая;

означает суммирование, т. е. сложение отдельных признаков;

x — отдельные значения варьирующего признака, которые называются вариантами;

n — число единиц совокупности

Пример1, требуется найти среднюю выработку одного рабочего (слесаря), если известно, сколько деталей изготовил каждый из 15 рабочих, т.е. дан ряд инд. значений признака, шт.: 21; 20; 20; 19; 21; 19; 18; 22; 19; 20; 21; 20; 18; 19; 20.

СА простая рассчитывается по формуле(1),шт.:

Пример2. Рассчитаем СА на основании условных данных по 20 магазинам, входящим в торговую фирму (табл. 1). Таблица.1

Источник

Средняя арифметическая, способы расчета

Если данные представлены в виде ряда распределения, то вопрос о выборе формы средней решается однозначно — средняя ариф­метическая. Этот вывод можно сделать, если вспомнить о том что ряд распределения есть не что иное как распределение значе­ний варьирующего признака по частоте их появлений в совокуп­ности.

Ряды распределения довольно часто встречаются в статистиче­ской практике. При этом варианта может быть задана в виде ин­тервалов, если признак непрерывный, или в виде индивидуаль­ных значений, если ряд дискретный. Для дискретных рядов рас­чет осуществляется по вышеприведенной формуле средней арифметической взвешенной. Для интервального ряда распреде­ления задача расчета средней величины решается следующим об­разом. Предполагаем, что в пределах интервала значения призна­ков располагаются равномерно, поэтому середина интервала бу­дет величиной, характеризующей весь интервал, то есть наиболее типичным для него значением. Данное предположение не всегда выполняется поэтому, чем меньше величина интервала, тем точ­нее его середина будет характеризовать весь интервал. Далее ис­пользуется обычная формула средней, только значения варианты будут приравниваться к середине соответствующего интервала. Расчет средней по непрерывному признаку (представленному в виде интервалов) был рассмотрен в примере 2.

В том случае, если ряд распределения имеет равные интервалы, расчет средней может быть существенно упрощен. Упрощенные способы расчета средней арифметической базируются на знании ее свойств.

Свойства средней арифметической:

— если все веса (f) увеличить или уменьшить в одинаковое число раз (d), то величина средней не изменится:

— если каждую варианту (х) увеличить или уменьшить на одну и ту же величину, то средняя увеличится или уменьшится на эту же величин:

— если каждую варианту (х) увеличить или уменьшить в одно и то же число раз (h), то средняя увеличится или уменьшится в то же число раз.

— сумма отклонений вариант от средней, взвешенных их частотами равна нулю:

Перечисленные свойства средней арифметической используются при расчете средней способом моментов или способом отсчета от условного начала (0). При использовании этого способа последо­вательно осуществляются следующие операции:

— определяются срединные значения интервалов как полу­сумма начала и конца интервалов;

— варианта (серединное значение интервала) с наибольшей частотой принимается за условное начало отсчета (А);

— рассчитывается момент 1 -го порядка:

где

i — величина интервала.

Средняя рассчитывается по формуле:

Пример расчета средней арифметической способом моментов.

Имеются следующие данные о продаже трехкомнатных квартир агентством недвижимости (табл. 6):

Стоимость квартир, тыс. руб.	Число квартир в группе, f	x	x’	x’f
250—300	-2	-300
300—350	-1	-200
350—400
400—450
450—500
500—550	3
550—600	4
600—650	ПО
Итого

Определите среднюю стоимость квартиры.

При использовании способа моментов удобнее всего результаты расчетов заносить в таблицу, для этого заранее в таблице резервируется три расчетных графы.

На основании данных таблицы рассчитываем момент 1-го порядка: итог по 5 столбцу делим на итог по 2 столбцу.

(тыс. руб.)

Средняя стоимость квартир выставленных на продажу составляет 404 тыс, руб.

Наряду со средней арифметической и средней гармонической, к другим степенным средним относится средняя геометрическая. В статистике она используется для осреднения темпов роста, коэф­фициентов динамики:

Средняя квадратическая используется при расчете показателей вариации, в частности — среднеквадратического отклонения, при исчислении средних ошибок выборки:

,

Структурные средние

Модаи медиана определяются структурой распределения. Они позволяют определить среднюю величину без производства вы­числений, визуально. Их используют в том случае, когда расчет степенных средних невозможен или нецелесообразен.

В дискретном ряду распределения мода определяется визуально. Например, распределение семей по числу /детей:

4 и более детей 2

В данном ряду распределения мода равна 2, то есть в данной со­вокупности наиболее часто встречаются семьи с двумя детьми. Очень удобно использовать этот показатель для характеристики наиболее часто встречаемого значения признака, определяемого по большой совокупности. Например, наиболее часто спраши­ваемый размер обуви, размер одежды и т.д.

В интервальном ряду распределения, когда наиболее часто встречаемое значение признака задано в виде интервала, а мода должна отражать конкретное значение признака, используется следующая формула расчета:

х₀ — верхняя граница модального интервала;

h — величина интервала:

— частоты модального, предмодального и послемодальнего интервалов.

В качестве модального берется интервал с наибольшей частотой.

Пример расчета моды по интервальному ряду распределения. Имеются следующий ряд распределения по среднедушевому доходу населения (табл. 7):

Интервалы по среднедушевому доходу, руб.	Число семей, fi	Накопленные частоты, Si
До 100
100—150
150—200
200—250
250—300
300—350
350—400
450—500
550—600
Итого	X

По данным таблицы, наиболее часто встречаются семьи со среднедушевым доходом от 200 до 250, то есть наибольшей частоте (59) соответствует интервал 200—250. Данный интервал и будет модальным. Расчет по формуле позволяет получить более точное значение.

В данной совокупности наиболее часто встречаются семьи со среднедушевым доходом 233 рубля.

Медиана— варианта, которая делит ранжированный ряд рас­пределения на две равные части. По обе стороны от медианы на­ходится одинаковое число единиц совокупности.

В дискретном ряду распределения медиана определяется визуально. Ряд признаков ранжируется, то есть значения признака упорядочиваются по возрастанию или убыванию. Варианта, ко­торая делит упорядоченный ряд пополам, будет медианой. Медиана в интервальном ряду распределения определяется по формуле:

где X_ME — верхняя граница медианного интервала;

X₀ — величина интервала;

h — общая численность;

S_ме-1 — накопленные частоты предмедианного интервала:

f_ме — частота медианного интервала.

В качестве медианного берется интервал, в котором находится единица совокупности, которая делит упорядоченный по значе­нию признака ряд пополам. Для того чтобы определить медиан­ный интервал, рассчитывают накопленные частоты. Последняя накопленная частота показывает общее количество единиц сово­купности.

Пример расчета медианы (по данным табл. 7). Последняя накопленная частота — 236. Медиан­ный интервал должен содержать единицу совокупности, которая делит всю совокупность из 236 се­мей пополам (236/2 = 118). Значит, в качестве медианного в расчете будем брать интервал 200—250. так как среднедушевой доход до 200 руб. имеют 67 семей из данной совокупности, то есть менее по­ловины совокупности. А интервалу 200—250 соответствует накопленная частота 126, значит, именно в этом интервале находится значение признака, которое разделит совокупность пополам, то есть 118 семей будут иметь среднедушевой доход ниже медианного и 118 семей — выше медианного. Произ­ведем расчет медианы по формуле для интервального ряда:

В изучаемой совокупности половина семей имеет доход ниже 243 руб. на человека.

1. Различают три вида статистических величин: абсолютные, относительные, средние величины.

2. Относительные величины позволяют приводить данные в сопоставимый вид и производить сравнения, в то время как абсолютные величины характеризуют только абсолютные размеры явления и в сравнительных характеристиках используются редко.

3. В статистической практике используют следующие виды относительных величин:

4. Наиболее распространены в статистических расчетах средние величины, которые могут одним числом охарактеризовать всю совокупность при соблюдении условий расчета средней величины.

5. Различают два класса средних величин: степенные и структурные.

6. При расчете степенных средних для правильного выбора формулы расчета необходимо исходить из логической формулы расчета осредняемого показателя.

Задание 1.4.1.Имеются следующие данные по магазинам ООО «Триумф»:

Номер магазина	Процент выполнения плана	Товарооборот, тыс. руб.
№ 1 №2 №3

Определите средний процент выполнения плана.

Задание 1.4.2.Имеются следующие данные по группе предприятий:

№ предприятия

Рентабельность, %

Реализованная продукция, тыс.руб.

Определите среднюю рентабельность по группе предприятий.

Библиографический список

Общая теория статистики: Учебник / Под ред. чл.-корр. РАН И.И.Елисеевой.— М.: Финансы и атистика, 2000.—С. 42—57.

Практикум по теории статистики: Учеб. пособие / Под ред. проф. Р.А.Шмойловой.— М.: Финан-

и статистика, 1999.—С. 97—109.

Статистика: Курс лекций / Под ред. Ионина В.Г.— Новосибирск: Издательство НГАЭиУ, 1996.— 59—84.

Теория статистики: Учебник / Под ред. проф. Р.А. Шмойловой.— М.. 1996.

Лунеев В.В. Юридическая статистика: Учебник.— М.: Юристъ, 1999.— С. 247—272. СавюкЛ.К. Правовая статистика: Учебник.— М.: Юристъ, 1999.— С 396—412.

Источник

8.3. Средние величины в статистике

Наиболее распространенной формой статистических показателей, используемой в экономических исследованиях, являются средние показатели (средняя величина).

Средняя величина – представляет обобщенную количественную характеристику признака в статистической совокупности в конкретных условиях места и времени.

Показатель в форме средней величины выражает типичные черты и дает обобщающую характеристику однотипных явлений по одному из варьирующих признаков. Он отражает уровень этого признака, отнесенный к единице совокупности.

Важнейшее свойство средней величины заключается в том, что она отражает то общее, что присуще всем единицам исследуемой совокупности.

Значения признака отдельных единиц совокупности колеблются в ту или иную сторону под влиянием множества факторов, среди которых могут быть как основные, так и случайные.

• Например, курс акций корпорации в основном определяется финансовыми результатами ее деятельности. В то же время, в отдельные дни и на отдельных биржах эти акции в силу сложившихся обстоятельств могут продаваться по более высокому или заниженному курсу.

Сущность средней заключается, в том, что в ней взаимопогашаются отклонения значений признака отдельных единиц совокупности, обусловленные действием случайных факторов, и учитываются изменения, вызванные действием факторов основных. Это позволяет средней отражать типичный уровень признака и абстрагироваться от индивидуальных особенно­стей, присущих отдельным единицам.

ВИДЫ СРЕДНИХ ВЕЛИЧИН наиболее часто применяемых на практике:

• средняя арифметическая;
• средняя гармоническая;
• средняя геометрическая;
• средняя квадратическая.

Выбор средней величины зависит от содержания осредняемого признака и конкретных данных, по которым ее приходится вычислять.

• Средняя арифметическая простая (невзвешенная) – вычисляется когда каждый вариант совокупности встречается только один раз.
• Средняя арифметическая (взвешенная)–вариантыповторяютсяразличное число раз , при этом число повторений вариантов называется частотой, или статистическим весом.

ФОРМУЛЫ СРЕДНИХ ВЕЛИЧИН

• Средняя арифметическая простая – самый распространенный вид средней величины, рассчитывается по формуле (8.8):

• гдех_i – вариант,аn – количество единиц совокупности.
• Пример вычисления средней арифметической простой. Провели опрос о желаемом размере заработной платы у пяти сотрудников офиса. По результатам опроса выяснили, что желаемый размер заработной платы составляет соответственно для каждого сотрудника: 50000, 100000, 200000, 350000, 500000 рублей человек. Рассчитаем среднюю арифметическую простую по формуле (8.8):Вывод: в среднем желаемый размер заработной платы по результатам опроса 5-ти человек составил 240 тысяч рублей.
• Средняя арифметическая взвешенная формула 8.9.

• гд е х_i – вариант, а f_i – частота или статистический вес.
• Пример вычисления средней арифметической взвешенной. Результаты опроса всех работников офиса приведены в табл. 8.2.

Таблица 8.2 – Результаты опроса работников офиса

Источник