Способы оценки погрешности при косвенных измерениях

Содержание

Способы оценки погрешности при косвенных измерениях
Способы оценки погрешности при косвенных измерениях
6.Оценка погрешности при косвенных измерениях.

Способы оценки погрешности при косвенных измерениях

Погрешности прямых измерений. Промах. Систематическая погрешность. Случайная погрешность. Полная погрешность. Погрешности косвенных измерений. Запись результата измерений

Оценка погрешности прямых измерений

Измерить физическую величину – это значит сравнить ее с однородной величиной, принятой за единицу меры.

Различают прямые и косвенные измерения.

Если измеряемая величина непосредственно сравнивается с мерой, то измерения называются прямыми. Например, измерения линейных размеров тел с помощью масштабной линейки и т.д.

Если измеряется не сама искомая величина, а некоторые другие величины, связанные с ней функциональной зависимостью, то измерения называются косвенными. Например, измерения объема, ускорения и т.д.

Из-за несовершенства средств и методик измерения, органов чувств при любом измерении неизбежны отклонения результатов измерений от истинных величин. Эти отклонения называются погрешностями измерений.

Погрешности измерений делятся на систематические, случайные и промахи.

1.1. Промахи, связанные с неправильными отсчетами по прибору, неправильными записями и т.д., приводят к очень большой по абсолютной величине погрешности. Они, как правило, не укладываются в общую закономерность измеренных величин. Обнаруженный промах следует отбросить.

1.2. Систематическими погрешностями Δx_сист называются погрешности, которые сохраняются при повторных измерениях одной и той же величины x или изменяются по определенному закону.

Систематические погрешности подразделяются на несколько групп. Отметим только приборную погрешность.

Систематическая приборная погрешность определяется по классу точности прибора, который указывается на приборе следующими цифрами: 0,01; 0,02; 0,05; 1,0; 2,5; 4,0. Класс точности показывает предельно допустимое значение систематической погрешности, выраженной в процентах от верхнего предела на выбранном диапазоне измерений. Например, предел измерения вольтметра с классом точности 0,5 равен 200 В. Систематическая погрешность равна 0,5% от 200В. Следовательно, систематическая погрешность вольтметра равна 1 В.

Если на приборе класс точности не указан, то погрешность равна половине цены наименьшего деления шкалы прибора.

1.3. Случайными называются погрешности, которые изменяются беспорядочно при повторных измерениях одной и той же физической величины при одинаковых условиях.

Оценим случайную погрешность. Пусть при измерении какой-либо физической величины было произведено N измерений и были получены значения x₁, x₂, … x_N. Тогда наиболее вероятным значением измеряемой величины является ее среднее арифметическое значение

Результаты измерений x₁, x₂, … x_N «рассеиваются» вокруг среднего. В качестве меры «рассеяния» результатов наблюдения вокруг среднего служит среднее квадратичное отклонение

Пусть a будет истинным, но неизвестным значением измеряемой величины x. Доказано, что вероятность попадания результатов измерения величины x в интервал значений от (a – S) до (a + S) оказывается равной α = 0,68.

Вероятность попадания результатов наблюдений в более широкие интервалы (a – 2S, a + 2S) и (a – 3S, a + 3S) равна α = 0,95 и α = 0,99 соответственно.

Вероятность попадания в заданный интервал значений величины x называется доверительной вероятностью, а сам интервал – доверительным интервалом.

Однако, таким образом полученный доверительный интервал справедлив при большом значении N. В учебных лабораториях, как правило, приходится ограничиваться небольшим числом измерений. В этом случае доверительный интервал находят с помощью коэффициента Стьюдента, который зависит от числа измерений N и доверительной вероятности α. В таблице 1 приведены коэффициенты Стьюдента для различного числа наблюдений при доверительных вероятностях α = 0,68; 0,95; 0,99.

Источник

Способы оценки погрешности при косвенных измерениях

Чтобы найти погрешность косвенных измерений, надо воспользоваться формулами, приведенными в таблице. Эти формулы могут быть выведены «методом границ».

Сначала надо вспомнить основные понятия теории погрешности.

Абсолютная погрешность физической величины ΔА — это разница между точным значением физической величины и ее приближенным значением и измеряется в тех же единицах, что и сама величина:

Так как мы никогда не знаем точного значения величины А, а лишь определяем из опыта ее приближенное значение, то и величину абсолютной погрешности мы можем определить лишь приблизительно. Наиболее просто находится максимальная величина абсолютной погрешности, которая и используется нами в лабораторных работах.

Относительная погрешность измерения ε_А равна:

При косвенных измерениях величину погрешности искомой величины вычисляют по формулам:

В случае, когда искомая величина находится по формуле, в которой в основном присутствуют произведение и частное, удобней находить сначала относительную погрешность. Если при этом один из множителей представляет собой сумму или разность, нужно предварительно найти его абсолютную погрешность (сложением абсолютных погрешностей слагаемых), а затем относительную.

Зная относительную погрешность, найти абсолютную погрешность измерений можно так:

«Правило ничтожных погрешностей»

при суммировании погрешностей любым из слагаемых можно пренебречь, если оно не превосходит ⅓ – ⅟ 4 от другого.

Запись результата с указанием погрешности.

Абсолютная погрешность измерений обычно округляется до 1 значащей цифры, а, если эта цифра 1, то до двух.

Результат записывается в виде:

А = А_изм ± ΔА, например: ℓ = (13 ± 2) мм.

При этом в измеренном значении следует оставлять столько десятичных знаков, сколько их в значении погрешности (последняя цифра погрешности «поправляет» последнюю цифру измеренного значения) . Значение величины и погрешность следует выражать в одних и тех же единицах!

Пример оценки погрешностей косвенных измерений № 1

Пример оценки погрешностей косвенных измерений № 2

Задания для самостоятельного решения

Задание 1. Найдите плотность вещества, из которого сделан куб со стороной 7,00 ± 0,15 см, если его масса 847 ± 2 г. Что это за вещество?

Задание 2. Найдите удельную теплоту сгорания топлива, 2,10 ± 0,15 г которого хватило, чтобы нагреть 400 ± 10 мл воды на 35°С ± 2°С. Что это за топливо?

Источник

6.Оценка погрешности при косвенных измерениях.

Чаще всего интересующая нас величина не получается непосредственно из измерений, а вычисляется как функция измеренных значений каких–то других величин. Рассмотрим случай, когда искомая величина Z является функцией нескольких переменных a, b, с,…, значения которых определяются непосредственно из серий измерений:

Будем считать (это справедливо в подавляющем большинстве случаев), что погрешности измерений …малы по сравнению с самими величинами. Будем считать, что все эти погрешности определяются для одного и того же значения доверительной вероятности , абсолютная погрешность величины Z в этом случае будет определяться по формуле:

(6.1)

Здесь , , — частные производные функции по переменным a, b, c соответственно. Частная производная функции многих переменных по одной переменно, скажем а, является обычной производной функции по а, причем другие переменные b, c и т.д. считаются постоянными параметрами. Все производные вычисляются при значениях , , .

Относительная погрешность величины Z=f(a, b, c,…)

будет определяться по формуле:

(6.2)

Для того, чтобы можно было найти явный вид формулы для расчета погрешности косвенных измерений, не зная правил нахождения производственной функции, в Приложении 2 приведены формулы для нахождения абсолютной и относительной погрешности наиболее типичных функций. В частности, если Z=a+b, то

, ,

Если , то

Приведем общую схему оценки погрешности косвенных измерений.

Для каждой серии измерений величины а, b, c, входящих

в определение искомой величины , проводится обработка, как описано в предыдущем параграфе. При этом для всех измеряемых величин задают одно то же значение доверительной вероятности L.

2. Вычисляется среднее значение результата косвенных измерений:

3. По формулам (6.1) и (6.2) или с помощью таблицы Приложения 2 находятся выражения для абсолютной или относительной погрешности искомой величины, исходя из конкретного вида функциональной зависимости . Находить выражения для абсолютной и относительной погрешности одновременно нет смысла, поскольку они связаны простыми соотношениями:

Какую из величин или вычислять первой зависит от конкретного вида функции, точнее от того, какое из выражений (6.1) или (6.2) получается менее громоздким и легче поддается вычислению. Единых рекомендаций здесь дать невозможно. Отметим только, что, если искомая величина Z представляет собой произведение (или частное) нескольких переменных, то проще вычислять вначале, поскольку логарифмирование разбивает произведение на ряд слагаемых и находить производную в этом случае довольно просто.

4.По полученной в п.3 формуле для абсолютной (или относительной) погрешности вычисляется значение и , причем производные , …. Вычисляются при , , .

5. Окончательный результат записывают в виде:

Замечание 1. В ряде случаев обработку результатов косвенных измерений проводят отличным от изложенного выше способом. Значения функции вычисляются для каждого отдельного измерения, т.е. находятся , , и т.д. Затем обработку величин Z₁, Z₂, Z_3, …, т.е. нахождение среднего значения , доверительного интервала и т.д. производят также как и в случае прямых измерений по схеме, изложенной в предыдущем параграфе.

Замечание 2. При нахождении результата косвенных измерений иногда необходимо использовать значения величин, известные из других, ранее проведенных измерений. Например, при нахождении ускорения свободного падения с помощью математического маятника (), необходимо значение числа . Число является не совсем обычной константой, это иррациональное число U, в зависимости от того, сколько знаков после запятой мы оставим, будет различная точность определения величины g. Следовательно, число должно характеризоваться некоторой погрешностью, за величину которой принимают половину единицы последнего разряда (если, например, = 3,14, то = 0,005). Это замечание относится и к другим «постоянным» величинам, таким, как заряд электрона , постоянная Планка h, число Авогадро N_A и т.д.

Рассмотрим конкретные примеры.

Пример 2. Вычислить погрешность измерения площади сечения проволоки. Диаметр проволоки измеряется микрометром, количество измерений равно пяти. Пусть результаты измерения диаметра в точности такие же как и в пример 1. т.е. , в мм равны: 3,24; 3,25; 3,23; 3,24; 3,25. Площадь сечения определяется выражением

Расчет погрешности прямых измерений здесь проводить не будем (он детально рассмотрен в примере 1). Приведем окончательный результат: = 3,24мм; =0,001мм; =0, 003=0,3%; = 0,95.