Способы оптимизационного решения экономических задач

Методы оптимизации и модели в экономике

Вы будете перенаправлены на Автор24

Оптимизация – это процесс решения экономической задачи, которая заключается в нахождении максимально или минимально возможного значения искомой функции с учетом заданных заранее определенных ограничений.

Общее представление об оптимизации в экономике

В современной экономике большое значение отводится такому процессу, как оптимизация. Она представляет собой процесс максимизации или минимизации значений определенных параметров, которые с той или иной стороны характеризуют экономическую деятельность и ее результаты. Направление оптимизации (т.е. нахождение максимальных или минимальных значений) определяется сущностью экономических отношений, в рамках которых необходимо найти оптимальные значения.

Например, предприниматели стремятся, с одной стороны, к максимизации извлекаемой прибыли, а с другой стороны, к минимизации возникающих в процессе производства издержек. Это только самое общее описание тех оптимизационных задач, которые приходится решать в экономике. На самом деле они распадаются на множество более мелких задач. Так, нужно минимизировать размер уплачиваемых в бюджет налогов и затрачиваемое на транспортировку изделий время, максимизировать количество клиентов и объемы продаж и т.д.

Классификация методов оптимизации в экономике

При решении оптимизационных задач активно применяется большое число различных методов. В целом их все можно поделить на две большие группы:

• группа локальных методов оптимизации – используются в процессе поиска локального экстремума целевой функции;
• группа глобальных методов оптимизации – используются в процессе определения глобального экстремума многоэкстремальных целевых функций, что позволяет идентифицировать тенденции их глобального поведения.

В зависимости от размерности допустимого множества методы оптимизации разделяют на методы одномерной оптимизации и методы многомерной оптимизации. Вид целевой функции также используется в качестве критерия для классификации методов оптимизации. В соответствии с ним разделяют методы линейного программирования (в случае линейной целевой функции) и методы нелинейного программирования (в случае нелинейной целевой функции).

Готовые работы на аналогичную тему

Помимо этого, методы оптимизации также могут быть численными или графическими (в данном случае речь идет про приемы интерпретации и демонстрации решения оптимизационной задачи).

Кроме того, при решении экономических оптимизационных задач широко используются методы математического программирования. Эти методы позволяют решить задачи, когда требуется выбрать оптимальную программу действий.

История создания и совершенствования методов оптимизации в экономике

Первыми задачами поиска экстремума функций при наличии ограничений типа неравенств, которые были подробно рассмотрены учеными, были задачи линейного программирования. При решении подобного рода задач сейчас используют симплекс-метод, который был разработан сначала Ж. Фурье в 1820 г., а затем Дж. Данцигом в 1947 г. Этот метод является базовым при решении задач линейного программирования и заключается в осуществлении направленного перебора смежных вершин в направлении возрастания целевой функции.

Задачи линейного программирования еще изучались такими выдающимися экономистами, как:

• Джон фон Нейман – доказал основную теорему о матричных играх;
• Л. Канторович – разработал для решения оптимизационных задач метод разрешающих множителей;
• Б. Эгервари – решил задачу линейного программирования «проблема выбора» т.н. венгерским методом;
• М.К. Гавурин – разработал метод потенциалов, который применяется при решении транспортных задач на оптимизацию.

Ряд ученых (С. Картайно, С. Дрейфус, Р. Беллман, Р. Калаба и др.) рассматривали задачи оптимизации с точки зрения теории динамического программирования. Она позволила исследователям по итогам решения задачи получить в качестве ответа оптимизирующую политику, данные которой улучшаются в процессе решения для каждого нового шага или этапа.

Флойд и Дейкстрой предложили алгоритмы решения транспортных задач оптимизации, в основе которых лежит графовая структура, т.е. теория графов. Еще несколько методов оптимизации, которые базируются на этой теории, были затронуты в работах Хопкрофта и Карпа.

Вместе с развитием линейного программирования большое внимание уделялось задачам нелинейного программирования, чей класс шире класса задач линейного программирования. Необходимые и достаточные условия оптимальности для решения задач нелинейного программирования были приведены в работе Куна и Таккера, которая была опубликована в 1951 г. Именно их работа послужила основой для последующих исследований в этой области.

Метод множителей Лагранжа и условия Каруша–Куна–Таккера относят к классическим аналитическим методам оптимизации. Кроме них также разработаны и применяются градиентные методы решения задач нелинейного программирования. Их авторами являются Деннис, Розен и Зонтендейк.

Модели оптимизации в экономике

Моделирование является одним из основных методов исследования в экономической науке. Оно представляет собой процесс создания и совершенствования моделей. В свою очередь, модели – это упрощенное представление окружающей реальности, при котором сознательно игнорируются некоторые аспекты для сосредоточения и более глубокого изучения объекта исследования.

В сфере оптимизационных задач в основном используется математическое моделирование, т. е. модели оптимизации строятся на математическом языке через составление систем уравнений и неравенств. Должна быть составлена целевая функция, которая бы включала в себя одно или несколько неизвестных. Оптимизация тогда заключается в подборе таких значений неизвестных, при которых результат функции был бы максимальным или минимальным.

Источник

Экономические задачи на оптимизацию и методы их решения

Большую часть своих усилий человек тратит на поиск наилучшего, т.е. оптимального решения поставленной задачи. Задачи подобного рода носят общее название – экономические задачи на оптимизацию или экстремальные задачи. Экстремальные задачи с достаточной полнотой закладывают в сознание учащихся понимание того, как человек ищет, постоянно добивается решения жизненных задач, чтобы получающиеся результаты его деятельности были как можно лучшими. Решая задачи указанного типа, учащиеся видят, с одной стороны, абстрактный характер математических понятий, с другой – большую и эффективную их применимость к решению практических, жизненных задач. Такая постановка экстремальных задач способствует расширению сферы приложений учебного материала, повышает роль этих задач в осуществлении глубокой цели математического образования школьников – обучать приложению математики в различных областях человеческой деятельности. Экстремальные задачи помогают школьнику ознакомиться с некоторыми идеями и прикладными методами школьного курса математики, которые часто применяются в трудовой деятельности, в познании окружающей действительности. Решение экстремальных задач способствует углублению и обогащению математических знаний учащихся. Через задачи они знакомятся с экстремальными свойствами изучаемых функций. Неоценимую важность постановки экстремальных задач в школьном курсе математики я вижу также в воспитании исследовательской культуры учащихся. Ведь все решения таких задач предлагаются на уровне исследования математической модели и на уровне исследования реальной ситуации с использованием оптимизационных средств.

В данной работе ученик рассмотрел такие экстремальные задачи, которые решаются средствами элементарной математики: с помощью линейной функции, с помощью методов перебора и логических рассуждений, с помощью составления уравнения. Тема доклада раскрыта с достаточной полнотой с учетом базовых теоретических знаний по математике ученика 7 класса. Работа интересна по содержанию, методам исследования и заслуживает внимания.

Учитель высшей категории: Конева Г.М.

Скачать:

Вложение	Размер
ekon_zad_na_opt_tsydenzhapov_d.doc	426 КБ

Предварительный просмотр:

Министерство образования и науки РБ

Научно-практическая конференция «Обыкновенное чудо»

Экономические задачи на оптимизацию

и методы их решения

ученик 7 класса.

Конева Галина Михайловна,

«Отличник просвещения РФ».

на работу ученика 7 класса Цыденжапова Даши по теме

« Экономические задачи на оптимизацию и методы их решения»

Большую часть своих усилий человек тратит на поиск наилучшего, т.е. оптимального решения поставленной задачи. Задачи подобного рода носят общее название – экономические задачи на оптимизацию или экстремальные задачи . Экстремальные задачи с достаточной полнотой закладывают в сознание учащихся понимание того, как человек ищет, постоянно добивается решения жизненных задач, чтобы получающиеся результаты его деятельности были как можно лучшими. Решая задачи указанного типа, учащиеся видят, с одной стороны, абстрактный характер математических понятий, с другой – большую и эффективную их применимость к решению практических, жизненных задач. Такая постановка экстремальных задач способствует расширению сферы приложений учебного материала, повышает роль этих задач в осуществлении глубокой цели математического образования школьников – обучать приложению математики в различных областях человеческой деятельности. Экстремальные задачи помогают школьнику ознакомиться с некоторыми идеями и прикладными методами школьного курса математики, которые часто применяются в трудовой деятельности, в познании окружающей действительности. Решение экстремальных задач способствует углублению и обогащению математических знаний учащихся. Через задачи они знакомятся с экстремальными свойствами изучаемых функций. Неоценимую важность постановки экстремальных задач в школьном курсе математики я вижу также в воспитании исследовательской культуры учащихся . Ведь все решения таких задач предлагаются на уровне исследования математической модели и на уровне исследования реальной ситуации с использованием оптимизационных средств.

В данной работе ученик рассмотрел такие экстремальные задачи, которые решаются средствами элементарной математики: с помощью линейной функции, с помощью методов перебора и логических рассуждений, с помощью составления уравнения. Тема доклада раскрыта с достаточной полнотой с учетом базовых теоретических знаний по математике ученика 7 класса. Работа интересна по содержанию, методам исследования и заслуживает внимания.

Учитель высшей категории: Конева Г.М.

II. Экономические задачи и их различные способы решения

IV. Список литературы

П.Л. Чебышев говорил, что «особенную важность имеют те методы науки, которые позволяют решать задачу, общую для всей практической деятельности человека: как располагать своими средствами для достижения наибольшей выгоды». С такими задачами в наше время приходится иметь дело представителям самых разных специальностей. Технологи – стараются так организовать производство, чтобы выпускалось как можно больше продукции. Конструкторы пытаются разработать прибор для космического корабля так, чтобы масса прибора была наименьшей. Экономисты стараются спланировать связи завода с источниками сырья так, чтобы транспортные расходы оказались минимальными, и т.д. Итак, большую часть своих усилий человек тратит на поиск наилучшего, т.е. оптимального решения поставленной задачи. Как, располагая определенными ресурсами, добиваться наиболее высокого жизненного уровня, наивысшей производительности труда, наименьших потерь, максимальной прибыли, минимальной затраты времени – так ставятся вопросы, над которыми приходится думать каждому члену общества. Это и определило актуальность выбора темы моего доклада. Задачи подобного рода носят общее название – экономические задачи на оптимизацию.

Актуальность темы — эти задачи тесно связаны с практической деятельностью человека. С помощью таких задач можно ответить на вопрос: как добиваться наиболее высокого жизненного уровня, наивысшей производительности труда, наименьших потерь, максимальной прибыли, минимальной затраты времени.

Гипотеза исследования — общего способа решения экономических задач быть не может, не существует единого алгоритма, позволяющего за конечное число шагов решать эти задачи.

Цели исследовательской работы –

— изучить разнообразные способы и методы решения экономических задач

-исследовать вопросы применения этих задач в жизни человека

— повысить уровень математической культуры, прививая себе навыки самостоятельной исследовательской работы в математике

-подготовка к итоговой аттестации ОГЭ и ГИА

Я изучил и исследовал такие экстремальные задачи, которые решаются с помощью исследования линейной функции, с помощью решения уравнения. Для решения таких экстремальных задач я применил следующие методы:

1. Метод опорной функции

3. Метод перебора и логики

II. Экономические задачи на оптимизацию и различные способы их решения

1 . Задача 1. В двух шахтах добывают алюминий и никель. В первой шахте имеется 100 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 1кг алюминия или 3 кг никеля. Во второй шахте имеется 300 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 3 кг алюминия или 1 кг никеля.
Обе шахты поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом шахты договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

1 способ – с помощью составления опорной линейной функции

Ознакомимся с решением экстремальных задач по теме «Линейная функция». Решение этих задач сводится к нахождению экстремума линейной функции у = кх + в , где к и в – постоянные. Если эту функцию рассматривать на отрезке [ ; ], то она будет иметь на нём наибольшее и наименьшее значение. При к 0 наименьшее значение у принимает в точке х = , а наибольшее – в точке х = , при к 0 функция у в точке х = принимает наибольшее значение, а в точке х = — наименьшее. Решим задачу.

Пусть х рабочих в 1 шахте добывают алюминий ежедневно, тогда (100-х) рабочих добывают никель. Тогда количество добытого алюминия равно (5х) кг, количество добытого никеля – 15(100-х) кг.

Пусть у рабочих во 2 шахте добывают алюминий ежедневно, (300-у) рабочих добывают никель. Тогда количество добытого алюминия равно (15у) кг, количество добытого никеля – 5(300-у) кг.

Всего количество добытого алюминия: (5х+15у);

количество добытого никеля: 15(100-х)+ 5(300-у)=1500-15х+1500-5у=3000-15х-5у.

Функция сплава: F(x) = (5х+15у) + (3000-15х-5у); F(x) = -10х+10у + 3000;

Учтем условие, при котором производится сплав алюминия и никеля: 2 кг алюминия и 1 кг никеля. Тогда 5х+15у=2(3000-15х-5у). Отсюда у = -1,4х+600. Поставим это выражение в функцию сплава: F(x) = -10х+10(-1,4х+600) + 3000;

F(x) = -24х +5400. Эта линейная функция является убывающей. Наибольшее значение она принимает при х=0. Значит, F(100)=5400.

2 способ – с помощью логических рассуждений и составления уравнения

Так как в 1 шахте добывают больше никеля, то для наибольшей выгоды логично допустить, чтобы все рабочие в этой шахте добывали никель. Тогда в 1 шахте будет добыто 1500 кг никеля. Во 2 шахте больше добывают алюминия. Пусть все 300 рабочих добывают алюминий. Тогда алюминия будет добыто 4500 кг. Для сплава нужно алюминия в 2 раза больше, чем никеля. Значит, на 1500 кг никеля нужно 3000 кг алюминия. А у нас алюминия больше. Рассуждаем дальше. Значит, рабочих 2 шахты нужно перераспределить на добычу не только алюминия, но и на добычу никеля с учетом пропорции сплава. Пусть х рабочих 2 шахты добывают алюминий, тогда (300-х) рабочих добывают никель. Составим уравнение:

5 ∙3∙ х =2∙(5∙ (300-х) + 1500);

Найдем у: у=300-240=60.Значит, 240 рабочих должны добывать алюминий, 60 рабочих добывать никель. Тогда алюминия будет добыто 240∙ 5∙3 = 3600 (кг), никеля 1500 + 60∙5=1800(кг). Всего 3600+1800=5400 (кг).

3 способ – методом перебора

Так как в 1 шахте добывают больше никеля, то пусть все рабочие добывают никель. Тогда в 1 шахте будет добыто 1500 кг никеля. Во 2 шахте больше добывают алюминия. Пусть все 300 рабочих добывают алюминий. Тогда алюминия будет добыто 4500 кг. Для сплава нужно алюминия в 2 раза больше, чем никеля. Значит, на 1500 кг никеля нужно 3000 кг алюминия. А у нас алюминия больше. Что делать? Значит, рабочих 2 шахты нужно перераспределить на добычу не только алюминия, но и на добычу никеля. Применим метод перебора.

Допустим, что 10 рабочих 2 шахты добывают никель, а 290 рабочих – алюминий. Тогда алюминия будет добыто всего 290∙5∙3= 4350 (кг), а никеля – 1500 + 10∙5= 1550 (кг). Замечаем, что данные не удовлетворяют пропорции 1: 2. Значит, необходимо увеличить количество рабочих, добывающих никель.

Допустим, что 20 рабочих 2 шахты добывают никель, а 280 рабочих – алюминий. Тогда алюминия будет добыто всего 280∙5∙3= 4200 (кг), а никеля – 1500 + 20∙5= 1600 (кг). Замечаем, что данные не удовлетворяют пропорции 1: 2. Значит, необходимо опять увеличить количество рабочих, добывающих никель.

Допустим, что 40 рабочих 2 шахты добывают никель, а 260 рабочих – алюминий. Тогда алюминия будет добыто всего 260∙5∙3= 3900 (кг), а никеля – 1500 + 40∙5= 1700 (кг). Замечаем, что данные не удовлетворяют пропорции 1: 2. Значит, необходимо опять увеличить количество рабочих, добывающих никель.

Допустим, что 60 рабочих 2 шахты добывают никель, а 240 рабочих – алюминий. Тогда алюминия будет добыто всего 240∙5∙3= 3600 (кг), а никеля – 1500 + 60∙5= 1800 (кг). Замечаем, что данные удовлетворяют пропорции 1: 2, то есть на 1 часть никеля приходится 2 части алюминия:

1800: 3600. Итак, всего будет добыто 3600+1800=5400 (кг) алюминия и никеля. А количество изделий из сплава тогда будет равно 1800 штук. Ответ: 5400 кг

Предприниматель купил здание и собирается открыть в нем отель. В отеле могут быть стандартные номера площадью 21 квадратный метр и номера «люкс» площадью 49 квадратных метров. Общая площадь, которую можно отвести под номера, составляет 1099 квадратных метров. Предприниматель может поделить эту площадь между номерами различных типов как хочет. Обычный номер будет приносить отелю 2000 рублей в сутки, а номер «люкс» 4500 рублей в сутки. Какую наибольшую сумму денег сможет заработать в сутки на своем отеле предприниматель?

1 способ – с помощью логики и арифметических действий

1)Найдем стоимость 1 номера стандартного: 2000:21=95 (рублей)

2)Найдем стоимость 1 номера «люкс»: 4500: 49 =91 (рублей)

Вывод: Так как стоимость 1 стандартного номера дороже, то выгоднее разместить на этой площади больше номеров стандартных, и как можно меньше номеров «люкс». Начнем перебор количества номеров «люкс» с наименьшей цифры. Пусть номеров «люкс» будет 0. Тогда число 1099 не делится нацело на 21. Далее. Допустим, что номеров «люкс» будет 1. Тогда: 1099- 49=1050 ;

1050: 21 = 50 (номеров стандартных). Значит, на площади 1050 можно разместить 50 стандартных номеров. Тогда в сутки отель может заработать:

50∙ 2000 + 1∙ 4500=104500 (руб).

Ответ: 104500 рублей.

2 способ – с помощью составления опорной линейной функции

Пусть х – количество стандартных номеров, у- количество номеров «люкс». Они занимают площадь 21х+49у. Составим равенство: 21х+49у = 1099. Выразим из этого равенства у = .

Составим функцию заработанных денег: S(x,y)=2000∙x + 4500∙y. Далее подставим в эту функцию выражение для у. Получим S(x) =71 х + 4500∙22 . По условию х и у –натуральные числа. S(x,y) принимает наибольшее значение при наименьшем у и наибольшем значении х, то есть при х=50 и у=1. Значит,

S(50,1) = 2000∙50 + 4500∙ 1=104500. Ответ: 104500 рублей

Рассмотрим еще одну из задач, решение которой сводится к нахождению наибольшего и наименьшего значения линейной функции одной переменной на некотором отрезке и показывает применение линейной функции в практике.

Задача 3 . Расстояние между двумя фермами А и В по шоссейной дороге 60 км. На ферме А надаивают 200 т молока в сутки, на ферме В – 100 т в сутки. Где нужно построить завод по переработке молока, чтобы для его перевозки количество тонно-километров было наименьшим?

Решение : Выясняем, что суммарное количество тонно-километров изменяется в зависимости от места нахождения завода, вычислив его, например, для случаев, когда завод находится от пункта А на расстоянии 30 км, 20 км, 10 км.

1. Предположим, что завод построили на середине АВ, то есть завод будет находиться от пункта А на расстоянии 30 км. Найдем суммарное количество тонно-километров:

200т ∙30км + 100т ∙30 км= 9000т ∕ км

1. Предположим, что завод построили на расстоянии 20 км от пункта А. Найдем суммарное количество тонно-километров:

200т ∙20км + 100т ∙40 км= 8000т ∕ км

1. Предположим теперь, что завод построили на расстоянии 10 км от пункта А. Найдем суммарное количество тонно-километров:

200т ∙10км + 100т ∙50 км= 7000т ∕ км

Делаем предварительный вывод о том, что, чем ближе завод находиться к ферме А, тем меньше суммарное количество тонно-километров.

Далее приступаем к решению задачи, обозначив расстояние от завода С до фермы А через х: АС =х, ВС =60 – х. Количество тонно-километров, пройденных транспортом от А до С за каждый день, составляет 200 х т/км, а от В до С – 100 (60 – х) т/км. Суммарное количество тонно-километров выразится функцией у = 200х + 100 (60 – х) = 100х + 6000,

которая определена на отрезке [0; 60].

Ясно, что это уравнение может иметь бесконечно много решений. Естественно здесь поставить вопрос – найти дешевый вариант перевозок. Исследуя функцию

у = 100х + 6000 на отрезке [0; 60], получим: = 6000.

Эта линейная функция будет иметь минимальное значение при х = 0,

Вывод: Завод надо строить возле фермы А.

Для лучшего понимания этой задачи целесообразно дополнительно выяснить вопрос, где нужно бы построить завод по переработке молока, если бы:

а) на ферме А надаивали 100 т, а на ферме В – 200 т молока;

б) на ферме А – 200 т, а на ферме В – 190 т;

в) на ферме А и на ферме В – по 200 т молока;

Чтобы решить этот вопрос, нужно найти на отрезке [0; 60] минимум функции:

а) у = 100х + 200(60 – х) = — 100х + 12000;

б) у = 200х + 190(60 – х) = 10х + 11400;

в) у = 200х + 200(60 – х) = 12000.

Из всего этого можно сделать такой вывод: если на ферме А добывается молока больше, чем на ферме В, то завод надо строить возле фермы А; если же количество молока на этих фермах одинаковое, то завод можно строить в любом месте вблизи шоссейной дороги между фермами А и В.

Рассмотрим задачу на исследование линейного неоднородного уравнения в целых числах и решим ее методом перебора.

Задача 4. На дачном участке нужно провести водопровод длиной 167 м. Имеются трубы длиной 5 м и 7 м. Сколько нужно использовать тех и других труб, чтобы сделать наименьшее количество соединений (трубы не резать)?

Решение: Учитывая, что количество как одних, так и других труб может изменяться, количество 7 – метровых труб обозначим через х , а 5 – метровых – через у. Тогда 7х – длина 7-метровых труб, 5у – длина 5-метровых труб. Отсюда получаем неопределенное уравнение: 7х + 5у = 167, которое нужно решить в целых числах. Выразив, например, переменную у через переменную х , получим:

Так как х, у Є Z, то методом перебора легко найти соответствующие пары значений х и у , которые удовлетворяют уравнению

Если 2х – 2 =0, то х = 1, у =32.

Если 2х – 2 =5, то х не является целым числом.

Если 2х – 2 =10, то х =6, у = 25.

Если 2х – 2 =15, то х не является целым числом.

Если 2х – 2 =20, то х = 11, у = 18.

Если 2х – 2 =25, то х не является целым числом.

Если 2х – 2 =30, то х = 16, у = 11.

Если 2х – 2 =35, то х не является целым числом.

Если 2х – 2 =40, то х = 21, у = 4.

Если 2х – 2 =45, то х = 23,5 , то есть не является целым числом.

Если 2х – 2 =50, то х = 26 и 7 ∙26 = 182 >167.

Итак, получили пары решений: (1; 32), (6; 25), (11; 18), (16; 11), (21; 4).Из этих решений наиболее выгодное последнее, т.е. х = 21 , у = 4.

Вывод: Надо взять 21 трубу длиной по 7 метров и 4 трубы длиной по 5 метров.

Задача 5. Известно, что 1кг апельсинов содержит 150мг витамина С, а 1кг яблок —

75 мг витамина «С». Сколько апельсинов и сколько яблок следует включить в дневной рацион, чтобы при минимальных затратах в нем оказалось 75 мг витамина «С», не менее 0,25кг апельсинов и не менее 0,25кг яблок, если 1кг апельсинов стоит 60р., а 1кг яблок– 40р.?

Источник