Способы определения высот квазигеоида

Геоид и квазигеоид

Геоид (греч. geoeides, от ge — Земля и eidos — вид) — образованная основной уровенной поверхностью замкнутая фигура принимаемая за обобщенную поверхность Земли.

Поверхность геоида является одной из уровенных поверхностей потенциала силы тяжести. Эта поверхность, мысленно продолженная под материками, образует замкнутую фигуру, которую принимают за сглаженную фигуру Земли. Часто под геоидом понимают уровенную поверхность, проходящую через некоторую фиксированную точку земной поверхности у берега моря.

Понятие о геоиде сложилось в результате длительного развития представлений о фигуре Земли как планеты, а самый термин «геоид» предложен И. Листингом в 1873 г. От геоида отсчитывают нивелирные высоты. По современным данным, средняя величина отступления геоида от наиболее удачно подобранного земного сфероида составляет около ±50 м, а максимальное отступление не превышает ±100 м.

Высота геоида в сумме с ортометрической высотой определяет высоту Н соответственной точки над земным эллипсоидом. Поскольку распределение плотности внутри Земли с необходимой точностью неизвестно, высоту Н в геодезической гравиметрии и геодезии, согласно предложению М. С. Молоденского, определяют как сумму нормальной высоты и высоты квазигеоида.

Для точного определения поверхности геоида какой-либо точки необходимо выполнить комплекс измерений, непосредственно на поверхности геоида. Что практически не возможно, либо в соответствующей точке на физической поверхности Земли с учетом распределения масс в этом месте, что также не предоставляется возможным. По этой причине было предложено вместо поверхности геоида использовать квазигеоид, — поверхность близкую к поверхности геоида, определяемая только по результатам измерений на земной поверхности без привлечения данных по распределению масс.

Поверхность квазигеоида определена значениями потенциала силы тяжести на земной поверхности, и для изучения квазигеоида результаты измерений не нужно редуцировать внутрь притягивающей массы. Квазигеоид отступает от геоида в высоких горах на 2–4 м, на низменных равнинах — на 0,02-0,12 м, на морях и океанах поверхности геоида и квазигеоида совпадают.

Поверхность геоида, из-за ее сложности, математически никак не выражается, поэтому на ней нельзя решать геодезические задачи. Для решения таких задач взамен поверхности геоида принимают поверхность эллипсоида вращения — близкой по форме геоиду, но математически правильной поверхности, на которую можно перенести результаты измерений выполненных на физической поверхности Земли.

Источник

Способы определения высот квазигеоида

Основные трудности решения проблемы Стокса. Проблема регуляризации Земли. Система высот. Геодезическая, ортометрическая и нормальная высоты. Квазигеоид. Аномалия высоты. Теллуроид. Краевые условия задачи Молоденского.

Применение формулы Стокса для определения высот геоида относительно общего земного эллипсоида наталкивается на серьезные трудности. Во-первых, для интегрирования необходимо, чтобы гравитационные аномалии были известны по всей поверхности Земли, более двух третей которой покрыта морями и океанами. Измерение силы тяжести на поверхности океанов стало возможно лишь в ХХ столетии.

В 1922-1929 годы голландский ученый Ф.А.Венинг-Мейнес работал над созданием аппаратуры для измерения силы тяжести на подвижном основании. Наконец, в 1929 году им был создан окончательный вариант маятникового прибора с которым Венинг-Мейнес совершил плавание на подводной лодке в акваторию юго-восточной Азии, где в то время у Голландии были колонии. Точность гравиметрической съемки ученый оценил в 3-4 мГал , что было достаточно для изучения состояния земной коры в том регионе. На основании этих данных предложил новую теорию изостазии.

Уже в 1930 году заведующий кафедрой гравиметрии механико-математического факультета МГУ профессор Л.В.Сорокин совершил первое плавание в Черном море также на подводной лодке с оригинальной аппаратурой, изготовленной в мастерских ГАИШ. В 1954 году силами института ВНИИГеофизика был создан первый в мире морской гравиметр, а в 1955 году прошел морские испытания на подводной лодке во время плавания вокруг Новой Земли. Результаты убедительно показали, что точность гравиметра не уступает точности маятникового прибора, требует гораздо более простой обработки наблюдений. Маятниковые приборы наземной гравиметрии, как известно, были вытеснены гравиметрами, то же произошло и с морскими приборами. Морские гравиметры сейчас являются основными инструментами морской гравиметрии. Все меньше и меньше остается «белых» пятен на Земле, где сила тяжести неизвестна

Вторая проблема — более серьезная. Теория Стокса требует, чтобы все массы лежали под уровенной поверхностью, называемой геоидом. Кроме того, измерения силы тяжести выполняются на физической поверхности, не совпадающей с геоидом. Задача состоит в том, чтобы в измеренной значение внести такие поправки, которые бы перенесли все массы под уровень моря, не изменяя самой уровенной поверхности, а сила тяжести оказалась бы отнесенной к уровню моря (геоиду). Эта проблема широко обсуждалась в научной литературе и получила название проблемы регуляризации Земли .

Оказалось, что для успешного решения проблемы регуляризации необходимо знать внутреннее строение Земли. В научный спор о том, как решать проблему регуляризации, в 50-х годах вмешался М.С.Молоденский, который доказал, что различные варианты решения практически эквивалентны, но они не решают задачу вполне строго. Он предложил строгое решение задачи определения фигуры Земли. При этом определяются высоты не поверхности, которую мы называем геоидом, а другой поверхности, достаточно близкой к геоиду, которую он назвал квазигеоидом .

М.С. Молоденский разработал теорию построения квазиеоида, предложил алгоритмы приближенного решения проблемы. Во-первых, редукция (перенос) силы тяжести или потенциала выполняется в линейном приближении. Во-вторых, хотя все измерения и редукции относятся к физической поверхности или к эллипсоиду, интегрирование малых функций, где это требуется, выполняется по сфере (сферическое приближение). Конечно, теория Молоденского не окончательная. Она постоянно совершенствуется его учениками. В Советском Союзе возникла школа Молоденского, которая широко известна не только у нас, но и за рубежом.

Определить фигуру какой-либо поверхности — это значит определить расстояния каждой точки этой поверхности до тела отсчета, за которое берется эллипсоид вращения. Эти расстояния обычно называют геодезическими высотами. Понятие высоты, на первый взгляд, не требует уточнения. Однако это не так. М.С.Молоденский разработал целую систему высот для геодезии.

Допустим, что имеем две точки и , причем точка выше точки . Если соединить эти точки каналом и пустить воду, куда она потечет? Кажется вполне естественным ответ: из точки к точке . Однако это не совсем так. Весь вопрос в том, как проходит уровенная поверхность через эти точки. Если обе точки лежат на одной уровенной поверхности, то вода никуда не потечет. Если уровенная поверхность, проходящая через точку окажется под уровенной поверхностью точки , то будет наблюдаться обратная картина: вода потечет от точки к точке . Таким образом, для гидротехнических сооружений система геодезических высот оказывается непригодной.

В геодезии высоты определяют нивелированием. Нивелир — это оптическая труба, визирная линия которой устанавливается строго горизонтально с помощью достаточно высоко чувствительного уровня. Чтобы определить превышение одной точки над другой, в этих точках устанавливаются специальные вертикальные рейки. С помощью нивелира с каждой рейки поочередно берут отсчеты, тогда разность этих отсчетов есть нивелирное превышение одной точки над другой.

Нивелирный ход от точки , расположенной, например, на уровне моря, к точке даст измеренную высоту точки над уровнем моря , где нивелирное превышение одного звена. Если нивелирный ход имеет много звеньев, то сумму можно заменить интегралом .

Вычислим разность потенциалов меду точками и .

Таким образом, для определения разности потенциалов нужно иметь нивелирные превышения и силу тяжести вдоль всего профиля.

Введем в рассмотрение еще одну точку. Через точку проходит силовая линия, которую можно продолжить до поверхности геоида (уровень моря). Она пересечется с этой поверхностью в токе textitР’. Таким образом точки и Р’ лежат на одной поверхности уровня (на геоиде) Поскольку результат определения разности потенциалов не зависит от пути интегрирования, выберем такой маршрут О-Р’-Р . Приращение потенциала мы получим лишь на отрезке силовой линии Р’-Р : . При движении по силовой линии сила тяжести непрерывно меняется. Согласно теореме о среднем, в курсе математического анализа, можно найти такое значение подынтегральной функции, которое она принимает внутри интервала интегрирования, которым можно заменить подынтегральное выражение

Отрезок силовой линии РР’ называется ортометрической высотой точки над уровнем моря (то есть над геоидом). Итак

Чтобы вычислить ортометрическую высоту, необходимо знать не только приращение потенциала, но и уметь вычислить среднее значение силы тяжести на отрезке силовой линии, а для этого необходимо знать как меняется сила тяжести на этом отрезке внутри Земли. М.С.Молоденский предложил заменить на среднее значение нормально силы тяжести. Высоту, которую мы таким образом получим он назвал нормальной . Такая замена неизбежно внесет погрешность, которая, впрочем, невелика. Согласно определению, нормальная высота может быть определена по формуле

Поскольку ортометрическая высота есть высота точки над уровнем моря, то мало отличающаяся от нее нормальная высота будет равна высоте точки от поверхности мало отличающейся от геоида. Молоденский назвал эту поверхность квазигеоидом.

Отличие истинной (геодезической) высоты от нормальной уместно назвать аномалией высоты . Это понятие также ввел Молоденский. Итак, аномалия высоты есть

Аномалия высоты есть расстояние квазигеоида от эллипсоида, или равна высоте почтигеоида . Очевидно, что . В классическом понимании, определить фигуру Земли — это значит определить высоты геоида . Однако, мы не сделаем большой погрешности, если будем считать фигурой Земли — фигуру квазигеоида, а для этого мы должны определить аномалии высот.

Сведем задачу снова к краевой задаче для гармонических функций. Следовательно, аномалию высоты нужно определить через возмущающий потенциал (см лекцию 8, раздел 8.1). Итак, имеем:

потенциал тяжести в точке равен , С — приращение потенциала от уровня моря (точка );
нормальный потенциал в точке , равный .

Таким образом, точка не совпадает с точкой , так как она подбирается так, чтобы приращение потенциала реального и нормального были одинаковыми

Здесь постоянные и означают следующее: первая постоянная есть величина потенциала тяжести на геоиде, а вторая — величина нормального потенциала на уровенном эллипсоиде. Нетрудно убедиться, что отрезок равен аномалие высоты . Следовательно

С другой стороны , поэтому

Мы получили вновь формулу Брунса, однако она отличается тем, что содержит дополнительный член , который в «классической» формуле отсутствует. В теории Стокса предполагается, что обе эти постоянные равны: потенциал тяжести на уровне моря равен потенциалу уровенного эллипсоида.

Другое отличие: нормальная сила тяжести задается не на геоиде, а в некоторой точке отстоящей от текущей токи на физической поверхности на величину, равную аномалии высоты. Геометрическое место всех точек называется теллуроидом . Гравитационные аномалии, как и прежде, относятся к разным точкам: наблюденное значение задано на физической поверхности, а нормальное — на теллуроиде.

В литературе, посвященной исследованию гравитационных полей планет, встречаются и другие определения понятия теллуроида, как поверхности аппроксимирующую форму Земли.

Теллуроид Марусси определяется следующим образом. Теллуроид — геометрическое место точек, в которых потенциал тяжести совпадает с нормальным .

Теллуроид Крарупа (гравиметрический теллуроид) — геометрическое место точек, в котором нормальная сила тяжести совпадает с силой тяжести на поверхности Земли .

Каждое из определений теллуроида требует своего подхода для определения его фигуры. Мы остановимся здесь лишь на теллуроиде и квазигеоиде Молоденского.

В точке на физической поверхности Земли нам известно значение потенциала тяжести , а в точке на теллуроиде — значение нормального потенциала . Используя векторно-матричную математику запишем основные соотношения, связывающие возмущающий потенциал разность потенциалов , так называемую аномалию потенциала, аномалию высоты и смешанную аномалию силы тяжести .

Нетрудно видеть, что на теллуроиде Молоденского , на теллуроиде Марусси , а на теллуроиде Крарупа . В общем случае имеем

Источник

Системы высот в геодезии

Понятие высоты, несмотря на кажущуюся очевидность, является одним из наиболее сложных и тонких понятий геодезии. Это связано с двойственным смыслом высоты: с одной стороны, это расстояние между точками в пространстве, т.е. чисто геометрическое понятие; с другой стороны, в физическом понимании, это величина, определяющая энергетический уровень той или иной точки в поле силы тяжести.
Если две точки лежат на одной отвесной линии, геометрическую высоту можно измерить непосредственно как расстояние между ними; так измеряют высоты различных предметов (высота геодезического сигнала, инструмента над центром, высота человека, дерева, дома и т.д.). Очевидно, что геодезическую высоту, т.е. высоту в геометрическом смысле, так измерить нельзя: в точке поверхности Земли неизвестны ни направление нормали к эллипсоиду, вдоль которой нужно измерять высоту, ни положение отсчетной точки на эллипсоиде, которая к тому же физически недоступна, поскольку эллипсоид проходит, как правило, внутри Земли.

Физическое понятие высоты связано с работой в поле силы тяжести. Так, если точки лежат на одной уровенной поверхности, например, на поверхности какого-либо водоема, где отсутствуют течения, естественно, считать, что высоты этих точек одинаковы.
Если же вода течет от одной точки к другой, говорят, что высота первой точки больше. В этом случае мерой высоты выступает работа, которую совершает сила тяжести при перемещении водной часы, т.е. разность потенциалов между указанными точками. Поскольку потенциал на уровенной поверхности постоянен, разность потенциалов любых точек, лежащих на двух различных уровенных поверхностях, всегда постоянна. Поэтому разность потенциалов является мерой высоты или высотой в физическом понимании. Как известно, разность потенциалов можно получить в результате геометрического нивелирования и измерений силы тяжести.

Можно связать две системы высот — в геометрическом и физическом понимании — т.е. перейти от разности потенциалов к высоте как расстоянию в линейной мере, если известна напряженность поля силы тяжести. В однородном поле, когда сила тяжести постоянна, геометрическое и физическое понятия высоты совпадают. В реальном поле Земли для связи двух систем высот нужно знать силу тяжести всюду вне отсчетной поверхности (эллипсоида или геоида). Поскольку сила тяжести внутри Земли по измерениям на ее поверхности однозначно не определяется, используют различные модели поля силы тяжести. Можно рассматривать разность потенциалов в нормальном гравитационном поле, что позволяет достаточно просто перейти от измеренной разности потенциалов к высоте в геометрическом понимании. Известны и иные способы задания поля силы тяжести, приводящие к другим системам высот; основные из них будут рассмотрены ниже.

Еще одной причиной, по которой высоту рассматривают и изучают отдельно от плановых координат, является различие в методах получения этих величин: до недавнего времени плановые координаты находили из обработки линейных и угловых измерений, выполненных на поверхности Земли, а высоты преимущественно из геометрического нивелирования, сопровождаемого измерениями силы тяжести. Определение высоты по измерениям расстояний и вертикальных углов затруднено из-за влияния вертикальной рефракции, из-за чего вертикальные углы измеряют со значительно меньшей точностью, чем горизонтальные.

Спутниковые методы позволяют определить прямоугольна координаты точек поверхности Земли, по которым, используя зависимости математических формул, можно найти геодезические координаты. Однако так можно найти только высоту в геометрическом понимании, поскольку прямоугольные координаты не содержат информации о поле силы тяжести. Кроме того, из-за тропосферных влияний и методических особенностей высота и в этом случае определяется с несколько меньшей точностью, чем плановые координаты.

Что такое высота и где ее начало

Для определения положения точки, находящейся на физической поверхности Земли относительно исходной уровенной поверхности, помимо плоских координат, необходима третья координата — высота Н.

Высота – это измерение объекта или его местоположения, отмеряемое в вертикальном направлении. Высота в любой точки земной поверхности отсчитывается от разных поверхностей, таких как геоид, квазигеоид или референц-эллипсоид.

Геоид, квазигеоид и эллипсоид вращения

Геоид — это образованная основной уровенной поверхностью замкнутая фигура принимаемая за обобщенную поверхность Земли. Поверхность геоида является одной из уровенных поверхностей потенциала силы тяжести. Эта поверхность, мысленно продолженная под материками, образует замкнутую фигуру, которую принимают за сглаженную фигуру Земли. Часто под геоидом понимают уровенную поверхность, проходящую через некоторую фиксированную точку земной поверхности у берега моря. Понятие о геоиде сложилось в результате длительного развития представлений о фигуре Земли как планеты, а самый термин «геоид» предложен И. Листингом в 1873 г. От геоида отсчитывают абсолютные высоты. По современным данным, средняя величина отступления геоида от наиболее удачно подобранного эллипсоида составляет около ±50 м, а максимальное отступление не превышает ±100 м. Высота геоида в сумме с ортометрической высотой определяет высоту Н соответственной точки над земным эллипсоидом. Поскольку распределение плотности внутри Земли с необходимой точностью неизвестно, высоту Н в геодезической гравиметрии и геодезии, согласно предложению М. С. Молоденского, определяют как сумму нормальной высоты и высоты квазигеоида. Для точного определения поверхности геоида какой-либо точки необходимо выполнить комплекс измерений, непосредственно на поверхности геоида. Что практически не возможно, либо в соответствующей точке на физической поверхности Земли с учетом распределения масс в этом месте, что также не предоставляется возможным. По этой причине было предложено вместо поверхности геоида использовать квазигеоид.

Квазигеоид — это поверхность близкая к поверхности геоида, определяемая только по результатам измерений на земной поверхности без привлечения данных по распределению масс. Поверхность квазигеоида определена значениями потенциала силы тяжести на земной поверхности, и для изучения квазигеоида результаты измерений не нужно редуцировать внутрь притягивающей массы. Квазигеоид отступает от геоида в высоких горах на 2–4 м, на низменных равнинах — на 0,02-0,12 м, на морях и океанах поверхности геоида и квазигеоида совпадают.

Фигуру квазигеоида определяют методом астрономо-гравиметрического нивелирования или через предварительное определение возмущающего потенциала по материалам наземных гравиметрических съёмок и наблюдений за движением искусственных спутников Земли. Последние данные необходимы в связи с недостаточной гравиметрической изученностью некоторых областей Земли Поверхность геоида, из-за ее сложности, математически никак не выражается, поэтому на ней нельзя решать геодезические задачи. Для решения таких задач взамен поверхности геоида принимают поверхность эллипсоида вращения.

Эллипсоида вращения — это близкая по форме к геоиду поверхность, но математически правильная, на которую можно перенести результаты измерений, выполненных на физической поверхности Земли. Эллипсоид вращения, размеры которого подбираются при условии наилучшего соответствия фигуре квазигеоида для Земли в целом (общеземной эллипсоид) или отдельных её частей (референц-эллипсоид). Для России принят референц-эллипсоид Крассовского форма и размеры которого были вычислены советским геодезистом А. А. Изотовым, и который в 1940 году назван именем Ф. Н. Красовского.

Высота точки местности в географии, топографии и геодезии может измеряться от разных уровней отсчёта:
1. Абсолютная высота отсчитывается от уровня моря или геоида (линия НА и линия НВ);
2. Относительная высота (превышение) отсчитывается от какого-либо условного уровня (линия НС);
3. Геодезическая (эллипсоидальная) высота — высота относительно эллипсоида вращения.

Абсолютная и относительная высоты

В нашей стране с 1946 г. счет абсолютных высот ведется от нуля Кронштадтского футштока соответствующего среднему уровню Балтийского моря в спокойном его состоянии (Балтийская система высот). Вся нивелирная сеть на территорию России опирается на один исходный пункт, не имеет внешнего контроля и уравнивается как свободная система. В середине 1980-х в связи с предстоящим строительством гидротехнического комплекса защиты Ленинграда (ныне Санкт-Петербурга) от наводнений были созданы дублеры в Кронштадте и г. Ломоносове (на основе репера № 6521 и маяка Шепелевский)
Высоты, отсчитанные от иной уровенной поверхности, называются относительными на рисунке изображены линией НС. При съемке небольших участков, при обмерных работах, а также на стройплощадке часто применяют относительную или условную систему отсчета высот.

Что такое превышение

Численное значение высоты точки называется отметкой точки. Разность высот двух точек, называется превышением. Превышение h точки В над точкой А, равное разности высот точек А и В, определяется как h = НВ – НА. Зная высоту точки А, для определения высоты точки В на местности измеряют превышение hAB. Высоту точки В вычисляют по формуле HВ = HA + hAB. Измерение превышений и последующее вычисление высот точек называется нивелированием.

Геодезическая высота

Геодезической (эллипсоида́льной) высотой некоторой точки физической поверхности земли называется отрезок нормали к эллипсоиду от его поверхности до данной точки. Вместе с геодезическими широтой и долготой (B и L соответственно) она определяет положение точки относительно заданного эллипсоида. Физически эллипсоида не существует, следовательно геодезическая высота не может быть непосредственно измерена наземными методами. Определить её возможно с помощью спутниковых измерений, а также посредством обработки рядов триангуляции, астрономо-геодезического нивелирования.
Как видно из определения геодезическая высота зависит от расположения и параметров выбранного эллипсоида, поэтому геодезическую высоту разделяют на две части. Одна из них характеризует физическую поверхность Земли относительно уровенной поверхности (информацию о ней получают в большей степени нивелированием), вторая, более гладкая, характеризует отличие отсчётного эллипсоида от геоида. Первую часть называют гипсометрической, а вторую — гладкой или геоидальной частью. Уровенная поверхность имеет несравненно более плавную форму в сравнении с физической, следовательно геоидальная часть меняется гораздо медленнее гипсометрической.

Системы геодезических высот

Ортометрическая высота точки — это расстояние (H) вдоль отвесной линии от точки до поверхности геоида. Ортометрическая высота для практических целей является «высотой над уровнем моря». Чтобы вычислить значение ортометрической высоты, нужно знать плотность пород вдоль силовой линии или измерять силу тяжести внутри Земли. Поэтому ортометрическую высоту нельзя найти по измерениям только на поверхности Земли. Альтернативой ортометрической высоте являются нормальная высота. Ортометрические высоты по Гельмерту используют многие европейские страны, Турция и страны Американского континента. Поскольку гравитация не является постоянной на больших площадях, ортометрическая высота также не является постоянной. Так на территории США гравитация на 0,1% сильнее на севере Соединенных Штатов, чем на юге, поэтому ровная поверхность, имеющая ортометрическую высоту в 1000 метров в Монтане, будет иметь высоту в 1001 метр в Техасе.

Нормальные высоты — это высоты от поверхности квазигеоида, один из нескольких типов высоты. Нормальная высота точки вычисляется из геопотенциальных чисел путем деления геопотенциального числа точки, т. е. ее разности геопотенциалов с уровнем моря, на среднюю нормальную гравитацию, вычисленную вдоль отвеса точки. (Точнее, вдоль эллипсоидной нормали, усредняя по диапазону высот от 0-эллипсоид-H*; процедура, таким образом, рекурсивна. Нормальные высоты, таким образом, зависят от выбранного опорного эллипсоида. Система нормальных высот принята в России, странах СНГ и некоторых европейских странах (Швеция, Германия, Франция и др.). Нормальные значения гравитации можно вычислить через плотность земной коры вокруг отвеса. Нормальные высоты занимают видное место в теории гравитационного поля Земли, разработанной школой М. С. Молоденского. Эталонная поверхность, с которой измеряются нормальные высоты, называется квазигеоидом, представляющим собой «средний уровень моря», аналогичный геоиду и близкий к нему, но лишенный физической интерпретации эквипотенциальной поверхности. В геодезии (топографии) нормальную высоту называют абсолютной, а разность нормальных высот — относительной высотой. Численное значение абсолютной высоты принято называть отметкой.
Геопотенциальное число ― это та работа, которую нужно совершить, чтобы подняться от уровня моря до точки Р поверхности Земли.

Динамическая высота — это геопотенциальное число, переведенное в линейную меру, получить его можно разделив геопотенциальное число на любое постоянное значение С силы тяжести. Выбирая в качестве С разные значения постоянной, можно построить разные системы динамических высот. Динамические вы соты были введены К.Ф.Гауссом, который предложил рассматривать высоты как геопотенциальные числа, т.е. принять С = 1. Динамическая высота постоянна, если следовать одному и тому же гравитационному потенциалу, когда они перемещаются с места на место. Из-за изменения силы тяжести поверхности, имеющие постоянную разницу в динамической высоте, могут быть ближе или дальше друг от друга в различных местах. Динамические высоты обычно выбираются так, чтобы они имели сопряжения с геоидом. Когда оптическое выравнивание выполнено, путь близко соответствует следующему значению динамической высоты по горизонтали, но не ортометрической высоте для вертикальных изменений, измеренных на выравнивающем стержне. Таким образом, небольшие поправки должны быть применены к полевым измерениям, чтобы получить либо динамическую высоту, либо ортометрическую высоту, обычно используемую в технике. Паспорта данных Национальной Геодезической службы США дают как динамические, так и ортометрические значения. Динамическая высота может быть вычислена с использованием нормальной силы тяжести на 45-градусной широте и геопотенциального числа местоположений.

Источник