Способы определения вероятности случайного события

Вероятность случайного события: определение, способы вычисления вероятности.

*Событие – результат (исход) испытания.

*Вероятность события-число характеризующее степень объективной возможности появл-я событий в опыте.

СПОСОБЫ НЕПОСРЕДСТВЕННОГО ВЫЧИСЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.

Классический

Если исходы опыта можно представить в виде полной группы событий кот несовместны и равновозможны,то вероятность события А м.б. вычислена по формуле:

m-общее число возможных случаев(общ число случаев)

n-число исходов благоприятствующих событию А(общ число благопр случаев)

благоприятствующий случай-если его появление влечет за собой событие

1) №:в урне 3 белых и 4 черных шара

А-событие вынуть белый шар.

2) Вероятность появл-я четного числа очков при однокр брос кости

А-событие выпад-я четн числа очков

m-благопр случай 3(2,4,6-четн цифры на кости)

Геометрический

Исп-ся д/вычисл вероятностей события в том случае,когда рез-т испыт-я определ-ся случайным полож-ем точек в некот обл-ти,причем любые полож-я точек в этой обл-ти равновозможны.

Wm-размер всей площади

Wn-мера обл-ти,попад в кот благоприятствует событию А.

Единицы измерения обл-тей м.б. самые различн,в завис-ти от смысла задачи(S,V,t)

1) В некот точке С телеф линии АВ длиной L. Определ вероятность того,что С удал от А на расст не m =n(n-1)(n-2)…(n-m+1)

1) Информация кодируется словами из 4 цифр,цифры в словах не повтор. Сколько м сост слов д/кодир-я информ.

Сочетаниями из n элементов по m элементов (m m = А_n m : P_m=n!:(m!×(n-m)!)

1) в урне 3 белых и 7 черных шаров.Скольк сущ возм-тей вынуть из урны 2 шара одного цвета?

C₃ 2 -число возм-тей вытянуть 2 белых шара

C₇ 2 -число возм-тей вытянуть 2 черных шара

Сумма событий. Теорема сложения вероятностей и следствия из нее.

*Событие – результат (исход) испытания.

*Вероятность события-число характеризующее степень объективной возможности появл-я событий в опыте.

Теорема сложения.

Суммой 2х событий А и В называют событие С состоящее в появлении хотя бы одного из событий А ИЛИ В

1) А-событие вынуть из колоды красную карту

В-событие вынуть туза

(рисуются 2 раза 2 кружка, первый раз события несовпад и кружки не пересек, второй раз вынут красный туз-кружки пересек)

Теорема 1.Сложение вероятностей 2х несовместных событий

Вероятность суммы двух несовм событий А и В равна сумме вероятностей этих событий.

Если число несовм событий не 2, а более,то данная теорема справедлива,т.е.:

1) Произв выстрел по мешени сост из 3х зон

Вероятность попадания в первую зону-0,1

Определ вероятность попадания в мешень.

1. Обозначение событий и их вероятностей.

А₁-событие попадания в первую зону

А-событие попадания в мешень

2. Составим расчетную формулу:

Противоположные события-если они несовместные и образуют полную группу.

А(с – сверху)-противоположное событие

Следствие 1 из теоремы 1:

Сумма вероятностей противоположных событий равна еденице: А(с – сверху)=1

Р(А+А с черточкой)=Р(U)=1 (как вероятность достоверного события)

* Событие назыв достоверным ,если в результате опыта оно обязат произойдет (№:при бросании 2 кубиков выпадет сумма >=2)

События А и А с черточкой – несовместны, тогда по теореме 1:

Р(А+А с черточкой)=Р(А)+Р(А с черточкой)=1

Запись формулы Р(А)+Р(А с черточкой)=1 Р(А)+Р(А с черточкой)=1 в других обозначениях:

где р— вероятность того, что событие А произошло; q — вероятность того, что событие А не произошло.

Следствие 2 из теоремы 1:

Если событие А₁,А₂, … А_n образуют полную несовм группу событий, то сумма их вероятностей:

* сумма вероятностей несовместных событий, образующих полную группу, равна единице

1) Определить вероятность промаха в условия предудущ задачи:

Теорема 2. Сложение вероятностей 2 совместных событий.

Вероятность суммы двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий минус вероятность их совместного появления (т.е. вероятность произведения)

Произведением (∩) 2х событий А и В называется событие С,состоящее в проявлении А И В одновременно.

Произведение событий. Теорема умножения вероятностей для независисмых событий и следствия из нее.

*Событие – результат (исход) испытания.

*Вероятность события-число характеризующее степень объективной возможности появл-я событий в опыте.

Теорема умножения вероятностей.

О. событие А независимое от В, если вероятность события А не зависит от того,появ ли событие В или нет. В противном случае событие А зависимо от В.

Условная вероятность-Р(А/В)-вероятность события А выше при условии что событие В произошло.

Условная независимость событий.

Если выпад соотношение что:

Р(В/А)=Р(В/Ас черточкой)=Р(В) – независимые события.

1) В урне 10 шаров. 7-белых. 3-черных.

Наугад берется 1 шар, потом другой. Найти вероятность того,что оба шара белые.

1. Обозн событий:

А-событие что второй шар белый

В-событие что первый шар белый.

Р(А/В) ≠Р(А/Вс черточкой)→А,В зависимые.

Теорема 3. Умножение вероятностей 2 независимых событий.

Вероятность произведения 2х событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисляемую при усл что первое событие имело место.

Если А и В независимы,то вероятность 2х событий равна произведению их вероятностей:

Если событий больше 2х,то:

Р(∩-сверху n снизу i=1 ×А_i)=∩-сверху n снизу i=1Р(А_i)

Следствие 1

Если события А₁,А₂, … А_n-равновероятны, т.е. вероятность

Следствие 1 (совместны)

Если события А₁,А₂, … А_n-независимы, но м.б. совместны, то вероятность появл хотя бы одного из них определ формулой:

1) Определить вероятность исправной работы цепочки состоящей из 2х элементов.

а) случай параллельного соединения

если вероятность исправной работы первого 0.5, второго 0,6

1. Обозн событий:

А₁-событие исправной работы 1ого элемента

2. Расчет формулы:

а) А=А₁+А₂(или 1 или 2 событие, события совсм могут произойти одноврем) необх применить формулу вероятности суммы 2х совм событий:

Вероятность двух независ событий равна произведению их вероятностей.

Условная вероятность. Условие зависимости событий. Теорема умножения вероятностей.

*Событие – результат (исход) испытания.

*Вероятность события-число характеризующее степень объективной возможности появл-я событий в опыте.

Формула полной вероятности.

*Событие – результат (исход) испытания.

*Вероятность события-число характеризующее степень объективной возможности появл-я событий в опыте.

Пусть треб определ вероятность события А,кот может произойти только вместе с одним из событий:Н₁,Н₂, … H_n образующих полную группу несовместных событий

Данные события называются ГИПОТЕЗЫ поэтому формула полн вер им вид:

Полн вероятность события А равна сумме произведения вероятностей гипотез на условные вероятности событий.

По данным событиям требования к гипотезам: несовместные,сост полн группу
Пример:

1) Имеется 3 урны. В первой-4 белых,6 черных шаров,во второй-3 и 5,в третьей только белые. К одной из урн подх и выним шар. Какова вероятность вытащить белый?

1. Обозн событий:

А-событие, что вынутый шар белый

Н₁— гипотеза,шар вынут из 1 урны, Н₂-из второй, Н₃-из третьей.

2. Расчет формула:

*59% означают,что при проведении достаточно большого кол-ва опятов в одинак условиях в средем в 59 случаях из 100 будет вынут белый шар.

2) Из 2х швейных фабрик поступ на базу внешне одинак изделия. С 1ой фабрики поступ втрое больше изделий,чем со второй. Вероятность брака изд с первой фабрике 0,1, со второй 0,05. Найти вероятность того, что наудачу взятое изделии окаж НЕ браков.

1. А-событие, что изделие вытащ из урны БЕЗ брака

Н₁-гипотеза,что изд будет с первой фабрики, Н₂-со второй

2. Расчетная формула: Р(А)=S(сверху 2,снизу i=1) Р(Н_i)× Р(А/Н_i) *2-т.к. 2 фабрики

Р(А/Н₁)=1-0,1=0,9 – вероятность без брака, а нам дан брак, значит 1-…

3) Предприятие выпуск за смену изделие 3х видов в кол-ве 160,430,360 шт. каждого вида. ОТК ставит штамп «Брак» или «Экспорт». Найти вероятность того,что наудачу взятое изделие пойдет на экспорт,если вероятность этого для каждого изделия вида 1,2,3=0.9, 0,8 и 0,6 соотв-но.

1. А-событие, что изделие пойдет на экспорт

Н₁-гипотеза,изделие 1ого вида Н₂-2ого вида Н₃-3его вида

2. Р(А)=S(сверху 3,снизу i=1) Р(Н_i)× Р(А/Н_i) *3-т.к. 3 вида изделий

Теорема гипотез (формула Байеса)

*Событие – результат (исход) испытания.

*Вероятность события-число характеризующее степень объективной возможности появл-я событий в опыте.

Формула Байеса исп д/определ вероятности гипотезы после испытания,когда событие А УЖЕ имело место.

Если событие А уже произошло,какие-то гипотезы отпадут,значит уменьшится их кол-во. А след-но каким-то образом изменятся их вероятности.

Теорема. Вероятность гипотезы после испытания собятия А,кот уже произошло опред по формуле:

Вероятность равна произведению вероятности до испытания на условную вероятность события делить на полную вероятность события.

1) В пирамиде 5 винтовок.3-с оптикой,2-без.Вероятность попад из оптич винт-0,95,без-0,7. После выстрела из наугад взятой винтовки мишень оказалась поражена. Что вероятнее: стреляли из винт с оптикой или без?

1. Обозн событий и их вероятностей:

А-событие попадания в цель

Н₁-гипотеза,из опт винтовки

2. Расчетн формулы:

Вероятность гипотезы Н_i до испытания на условную вероятность события,делить на полн вероятность события:

Р(Н₁)=3/5 *3-винт с оптикой,5-всего винтовок

Ответ:Вероятнее что стреляли из оптич винтовки.

2) С 3х конвееров поступ на склад детали в кол-ве 150,300,350 шт. вероятность брака 0,3 0,2 0,2. Наудачу взятая дет НЕбрак. Найти вероятность того,что деталь с третьего конвеера.

1. А-событие что деталь небрак

Н₁-гипотеза,что с первого конвеера

Р(А/Н₃)=1-0,2=0,8 *0,7 0,8 0,8-имела место та или иная гипотеза.

Источник

Определения вероятности событий — вычисление с примерами решения

Содержание:

Основные понятия теории вероятностей:

1. Предмет теории вероятностей.

Теория вероятностей — это математическая дисциплина, которая устанавливает взаимозависимость между случайными величинами в случайных массовых процессах. Одним из основных понятий в теории вероятностей является понятие случайного события.

Определение: Случайным событием называется событие, которое в результате проведения эксперимента может произойти или не произойти.

Например, при подбрасывании монеты нельзя угадать заранее, что выпадет: “решка” (аверс) или “орел” (реверс). Каждое из этих событий является простым и не может быть выражено через более простые события.

Определение: Элементарным событием называется событие, которое в результате проведения эксперимента может произойти или не произойти, а также не может быть представлено посредством более простых событий.

В теории вероятностей случайные элементарные события принято обозначать заглавными начальными буквами латинского алфавита

Определение: Сложным случайным событием называется событие, которое состоит из осуществления двух или более элементарных событий.

Определение: Эксперимент — это создание заранее заданного комплекса условий. Например, при подбрасывании монеты создают следующие условия: стол, на который падает монета, должен быть ровным, гладким, достаточно большим по площади, чтобы монета не могла скатиться.

Определение: Достоверным событием называется такое событие, которое обязательно произойдет в рамках данного опыта. Достоверное событие обозначается

Определение: Невозможным событием называется такое событие, которое ни при каких условиях не может произойти.

Невозможное событие обозначается

Например, совокупность выигрыша, проигрыша и ничья в шахматной партии образуют достоверное совокупное событие, т.е. одно из этих событий обязательно произойдет при игре в шахматы. При бросании кубика выпадение грани с 7 очками является невозможным событием.

Определение: Совместными событиями называются события, которые могут одновременно произойти в рамках данного опыта, все другие события называются несовместными.

Например, при бросании кубика выпадение грани с 4 очками (событие А) и выпадение четной грани (событие В) являются совместными событиями, а выпадение грани с 3 очками (событие А) и выпадение четной грани (событие В) являются несовместными событиями.

Определение: Полной группой случайных событий называется совокупность таких несовместных событий, что в результате проведения эксперимента хотя бы одно из них обязательно произойдет.

Определение: Противоположными событиями называются такие несовместные события, которые образуют полную группу (обозначаются Например, если событие А состоит в попадании снаряда в цель, то событие состоит в том, что снаряд не попадет в цель.

Замечание: Если в словесном описании случайного события присутствуют слова “хотя бы один”, то такое событие противоположно событию, содержащему в своем словесном описании слова “ни один”.

Определение: Равновозможными событиями называются такие случайные события, которые в условиях эксперимента имеют объективно равные шансы не произойти или произойти.

Например, однородность материала кости и несмещенность центра тяжести кубика являются теми условиями, при которых объективно возможно выпадение любой грани кубика.

Способы определения вероятности событий

Существуют два способа определения вероятности события

1. Теоретический способ основан на непосредственном (без проведения специального эксперимента) определении вероятности события по формуле: P(A)=m/n.
2. Статистический способ основан на предварительном прове­дении большого числа испытаний. При этом подсчитывают вероят­ность по формуле: h (A) = k / L.

Классическое определение вероятности

Определение: Вероятностью события называется численная мера степени объективной возможности случайного события.

Классическое определение вероятности применяется для нахождения вероятности конечного числа несовместных и равновозможных событии, образующих полную группу.

Пример №1

Пусть в урне находится 6 шаров: 1 белый, 2 красных и 3 синих. Опыт состоит в том, что из урны наудачу извлекают один шар. Определить полную группу случайных событий и наиболее вероятное событие.

Решение:

Для данного опыта полная группа событий состоит из 6 равновозможных исходов. Обозначим через А событие, состоящее в том, что из урны извлекают белый шар; В — красный шар; С — синий шар. Очевидно, событие С является более объективно возможным событием, чем события А и В, так как синих шаров в урне больше, чем белых и красных.

Классическое определение вероятности состоит в следующем:

Определение: Вероятностью случайного элементарного события называется отношение числа элементарных исходов, благоприятствующих появлению этого события, к общему числу всех равновозможных, несовместных, элементарных исходов, образующих полную группу.

В Примере число исходов, благоприятствующих извлечению белого шара, равно m(А) = 1, красного шара — m(В) = 2 и синего шара — m(С) = 3. Общее число всех равновозможных, несовместных, элементарных исходов, образующих полную группу, равно числу шаров в урне, т.е. n = 6. Таким образом, вероятности извлечь из урны тот или иной шар равны отношению числа элементарных исходов, благоприятствующих появлению этого события, к общему числу всех равновозможных, несовместных, элементарных исходов, образующих полную группу:

В силу того,что события А, В и С образуют достоверное совокупное событие, то следовательно, вероятность достоверного события равна:

Если в рассматриваемом Примере. обозначить через D событие, состоящее в том, что из урны извлекают черный шар, то этому событию благоприятствует нуль исходов (m(D) = 0), так как в урне нет черных шаров. Следовательно, событие D является невозможным событием О, а его вероятность равна:

Из рассмотренного Примере. видно, что вероятности всех событий есть положительные величины, которые принимают значения между вероятностью невозможного (0) и вероятностью достоверного (1) событий, т.е.

Замечание: Вероятность любого случайного события есть безразмерная и положительная величина, принимающая значения из промежутка от 0 до 1. Чем ближе вероятность события к нулю, тем меньше его возможность появления в данном опыте. Чем ближе вероятность события к единице, тем выше его возможность появления в данном эксперименте.

Геометрический способ определения вероятности

Геометрическое определение вероятности применяется для вычисления вероятности бесконечного числа несовместных и равновозможных событий, образующих полную группу.

Пусть имеется некоторая область G, которая может быть представлена в виде линии, площади или объема. Внутри области G находится другая область g, внутрь которой должна попасть точка, наудачу брошенная в область G. Пусть событие А состоит в том, что при попадании в область g включается лампочка, а при попадании в область G лампочка не загорается. Обозначим размеры областей g и G через соответственно. Появлению события А благоприятствует размер области g, а размер области G определяет общее число возможных исходов, следовательно, вероятность появления события А равна

Пример №2

Пусть на нити длиной L подвешен груз. Определить вероятность разрыва нити в любой точке, отстоящей от точки подвеса не менее чем на расстоянии l.

Решение:

Пусть событие А состоит в том, что нить разорвется в любой точке, отстоящей от точки подвеса не менее чем на расстоянии l. Появлению этого события благоприятствуют все точки нити длиной L-l, т.е. , а длина всей нити равна L, т.е. Согласно геометрическому определению вероятности вероятность появления события А равна

Статистический способ определения вероятности событий

Данный способ определения вероятности событий применяется тогда, когда неприменимы два вышеприведенных способа. В основу данного способа положена устойчивость частоты появления изучаемого события при достаточно большом числе проводимых опытов, т.е. P(A) = v(A). При небольшом числе испытаний частота носит случайный характер, но при она стабилизируется возле некоторого положения, характеризующего связь между комплексом условий и наблюдаемым событием (Рис. 1).

Рис. 1. Стабилизация частоты появления случайного события при

Косвенный способ определения вероятности событий

Данный способ определения вероятности событий применяется тогда, когда неприменимы три вышеприведенных способа. Он основан на теоремах теории вероятностей, которые рассматриваются ниже.

Рекомендую подробно изучить предметы:

Теория вероятностей Математическая статистика

Ещё лекции с примерами решения и объяснением:

• Предельные теоремы теории вероятностей
• Точечные оценки, свойства оценок
• Доверительный интервал для вероятности события
• Проверка гипотезы о равенстве вероятностей
• Многомерные случайные величины
• Случайные события — определение и вычисление
• Системы случайных величин
• Вероятность и риск

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Источник