Оценка абсолютной погрешности прямых измерений
Систематические погрешности (ошибки) обычно остаются постоянными на протяжении всей серии измерений. Например, при переключении шкалы вольтметра с одного предела на другой меняется его внутреннее сопротивление, что может внести в последующие измерения систематическую погрешность.
Систематические погрешности надо стараться отслеживать и учитывать, корректируя полученные результаты, т.е. исправляя их на необходимую величину. Однако обнаружение систематических погрешностей требует, как правило, дополнительных более точных или альтернативных экспериментов, проведение которых невозможно в рамках лабораторных работ. В этих случаях достаточно указать возможный источник ошибок.
Все остальные погрешности являются случайными.
Промахи — грубые ошибки, обычно они связаны с неправильным отсчетом по шкале прибора, нарушением условий эксперимента и т.д. Их надо отбросить. В сомнительных случаях вопрос о том, является ли данный результат промахом, решают с помощью повторного, если возможно, более точного эксперимента или привлекая математические методы обработки полученных результатов, изучение которых лежит за рамками излагаемого элементарного анализа оценки погрешностей.
Приборные погрешности определяются двумя факторами:
1. классом точности прибора, связанным с его устройством – элементной базой и принципом действия.
Абсолютная погрешность через класс точности оценивается следующим образом:
(Dx) к.т.= (g/100)A,
где g — класс точности в %, указанный на панели прибора,
А= Аmax – предел измерения для стрелочных приборов, либо А есть текущее значение для магазинов сопротивления, индуктивности, емкости;
2. ценой делений шкалы прибора:
(Dx) ц.д.= 
h,
где h – цена деления шкалы прибора, т.е. расстояние между ближайшими штрихами шкалы, выраженное в соответствующих единицах измерения.
Погрешности разброса возникают вследствие различия экспериментальных значений при многократном повторении измерений одной и той же величины. Простейший способ определения (Dх)р дает метод Корнфельда , который предписывает следующий образ действий, если физическая величина х измерена n раз:
1) имея х1 , …,хn – значений измеряемой величины х, выбираем из 
хmax и хmin и находим среднее значение х: .gif)
;
2) находим абсолютную погрешность Dxр = 
3) Записываем результат в виде: 
с 
, где a — доверительная вероятность того, что истинное значение измеренной величины находится на отрезке 
.
Доверительная вероятность определяет собой долю средних значений х, полученных в аналогичных сериях измерений, попадающих в доверительный интервал. (Эта формула доказывается в теории ошибок.)
Недостатком метода Корнфельда является то обстоятельство, что вероятность приводимого результата определяется исключительно количеством n проведенных измерений и не может быть изменена посредством увеличения или уменьшения доверительного интервала ± Dх. Такую возможность предусматривает несколько более сложный метод расчета погрешностей Стьюдента [2,3,7]. Последовательность расчета погрешностей этим методом такова:
1) Вы измерили и получили несколько i = 1. m значений случайной
величины 
i. Сначала исключаем промахи, то есть заведомо неверные
результаты.
2) По оставшимся n значениям определяем среднее значение величины 
:
.gif)
i
3) Определяем среднеквадратичную погрешность среднего значения :
i
4) Задаемся доверительной вероятностью a. По таблице коэффициентов
Стьюдента (Приложение 1) определяем по известному значению
числа измерений n и доверительной вероятности a коэффициент
Стьюдента tan.
5) Определяем погрешность среднего значения величины (доверительный интервал)
D= tan s
6) Записываем результат = ( ± D ) с указанием доверительной вероятности a.
В научных статьях обычно приводят доверительный интервал
D = s ,
соответствующий доверительной вероятности α =0,7. Такой интервал называется стандартным, при его использовании часто значение доверительной погрешности не приводят. Использование метода Стьюдента является необходимым, когда требуется знать значение физических параметров с заданной доверительной вероятностью (как в ряде лабораторных работ). На практике доверительная вероятность погрешности разброса выбирается в соответствии с доверительной вероятностью, соответствующей классу точности измерительного прибора.
Для большинства исследований, в которых не выдвигается жестких требований к вероятности полученных результатов, метод Корнфельда является вполне приемлемым.
В теории ошибок показывается, что результирующая погрешность 
, если все эти погрешности рассчитаны для одной и той же доверительной вероятности. На практике, т.к. суммарная погрешность округляется до одной значащей цифры, достаточно выбрать максимальную из трех вычисленных погрешностей, и если она в 3 или более раз превосходит остальные, принять ее за погрешность измеренной величины, при этом фактор, с которым связана эта погрешность и будет в данном случае определять собой точность (а вернее — погрешность) эксперимента (подробнее см. в работе [1]).
Источник
Способы определения приборных ошибок
Основными характеристиками измерительных приборов являются предел измерения и цена деления, а также – главным образом для электро-измерительных приборов – класс точности.
Предел измерения П – это максимальное значение величины, которое может быть измерено с помощью данной шкалы прибора. Если предел измерения не указан отдельно, то его определяют по оцифровке шкалы. Так, если рис. 2 изображает шкалу миллиамперметра, то его предел измерения равен 100 мА.
Nbsp; Рис.2
Цена деления Ц – значение измеряемой величины, соответствующее самому малому делению шкалы. Если шкала начинается с нуля, то
,
где N – общее количество делений (например, на рис. 2 N = 50). Если эта шкала принадлежит амперметру с пределом измерения 5 А, то цена деления равна 5/50 = 0,1 (А). Если шкала принадлежит термометру и проградуирована в °С, то цена деления Ц = 100/50 = 2 (°С). Многие электроизмерительные приборы имеют несколько пределов измерения. При переключении их с одного предела на другой изменяется и цена деления шкалы.
Класс точности К представляет собой отношение абсолютной приборной погрешности к пределу измерения шкалы, выраженное в процентах:
. (7)
Значение класса точности (без символа «%») указывается, как правило, на электроизмерительных приборах.
В зависимости от вида измерительного устройства абсолютная приборная погрешность определяется одним из нижеперечисленных способов.
1. Погрешность указана непосредственно на приборе. Так, на микрометре есть надпись «0,01 мм». Если с помощью этого прибора измеряется, например, диаметр шарика D (лабораторная работа 1.2), то погрешность его измерения dD = 0,01 мм. Абсолютная ошибка указывается обычно на жидкостных (ртутных, спиртовых) термометрах, штангенциркулях и др.
2. На приборе указан класс точности. Согласно определению этой величины, из формулы (7) имеем
. (8)
Например, для вольтметра с классом точности 2,5 и пределом измерения 600 В абсолютная приборная ошибка измерения напряжения
.
3. Если на приборе не указаны ни абсолютная погрешность, ни класс точности, то в зависимости от характера работы прибора возможны два способа определения величины d х:
а) указатель значения измеряемой величины может занимать только определенные (дискретные) положения, соответствующие делениям шкалы (например, электронные часы, секундомеры, счетчики импульсов и т.п.). Такие приборы являются приборами дискретного действия, и их абсолютная погрешность равна цене деления шкалы: d х = Ц. Так, при измерении промежутка времени t секундомером с ценой деления 0,2 с погрешность d t = 0,2 с;
 |
б) указатель значения измеряемой величины может занимать любое положение на шкале (линейки, рулетки, стрелочные весы, термометры и т.п.). В этом случае абсолютная приборная погрешность равна половине цены деления: d х = Ц/2. Точность снимаемых показаний прибора не должна превышать его возможностей. Например, при показанном на рис. 3 положении стрелки прибора следует записать либо 62,5 либо 63,0 – в обоих случаях ошибка не превысит половины цены деления. Записи же типа 62,7 или 62,8 не имеют смысла.
4. Если какая-либо величина не измеряется в данном оыте, а была измерена независимо и известно лишь ее значение, то она является заданным параметром. Так, в работе 2.1 по определению коэффициента вязкости воздуха такими параметрами являются размеры капилляра, в опыте Юнга по интерференции света (работа 5.1) – расстояние между щелями и т.д. Погрешность заданного параметра принимается равной половине единицы последнего разряда числа, которым задано значение этого параметра. Например, если радиус капилляра r задан с точностью до сотых долей миллиметра, то его погрешность d r = 0,005 мм.
Погрешности косвенных измерений
В большинстве физических экспериментов искомая величина и не измеряется непосредственно каким-либо одним прибором, а рассчитывается на основе измерения ряда промежуточных величин x, y, z,… Расчет проводится по определенной формуле, которую в общем виде можно записать как
В этом случае говорят, что величина и представляет собой результат косвенного измерения в отличие от x, y, z,…, являющихся результатами прямых измерений. Например, в работе 1.2 коэффициент вязкости жидкости h рассчитывается по формуле
, (10)
где rш – плотность материала шарика; rж – плотность жидкости; g – ускорение свободного падения; D – диаметр шарика; t – время его падения в жидкости; l – расстояние между метками на сосуде. В данном случае результатами прямых измерений являются величины l, D и t, а коэффициент вязкости h – результат косвенного измерения. Величины rш, rж и g представляют собой заданные параметры.
Абсолютная погрешность косвенного измерения d и зависит от погрешностей прямых измерений d x, d y, d z…и от вида функции (9). Как правило, величину d и можно оценить по формуле вида
, (11)
где коэффициенты kx , ky , kz ,… определяются видом зависимостей величины и от x, y, z,… Приведенная ниже табл. 3 позволяет найти эти коэффициенты для наиболее распространенных элементарных функций (a, b, c, n – заданные константы).
| и(х) | kx |
 |  |
 |  |
 |  |
 |  |
 |  |
 |  |
На практике зависимость (9) чаще всего имеет вид степенной функции
,
показатели степеней которой k, m, n,… – вещественные (положительные или отрицательные, целые или дробные) числа; С – постоянный коэффициент. В этом случае абсолютная приборная погрешность d и оценивается по формуле
, (12)
где 
– среднее значение величины и; 
– относительные приборные погрешности прямых измерений величин x, y, z,… Для подстановки в формулу (12) выбираются наиболее представительные, т.е. близкие к средним значения x, y, z,…
При расчетах по формулам типа (12) необходимо помнить следующее.
1. Измеряемые величины и их абсолютные погрешности (например, х и d х) должны быть выражены в одних и тех же единицах.
2. Расчеты не требуют высокой точности вычислений и должны иметь оценочный характер. Так, входящие в подкоренное выражение и возводимые в квадрат величины ( kEx , mEy , nEz ,…) обычно округляются с точностью до двух значащих цифр (напомним, что ноль является значащей цифрой только тогда, когда перед ним слева есть хотя бы одна цифра, отличная от нуля). Далее, если одна из этих величин (например, | kEx | ) по модулю превышает наибольшую из остальных ( | mEy | , | nEz | ,…) более чем в три раза, то можно, не прибегая к вычислениям по формуле (12), принять абсолютную ошибку равной 
. Если же одна из них более чем в три раза меньше наименьшей из остальных, то при расчете по формуле (12) ею можно пренебречь.
Пример 2. Пусть при определении ускорения тела (см. пример 1) путь S измерялся рулеткой с ценой деления 1 мм, а время t – электронным секундомером. Тогда, в соответствии с изложенными в п.3, а, б (с. 13) правилами, погрешности прямых измерений будут равны
Расчетную формулу (6) можно записать в виде степенной функции
тогда на основании (12) погрешность косвенного измерения ускорения d а определится выражением
.
В качестве наиболее представительных значений измеренных величин возьмем (см. табл. 2) S » 8 м; t » 3 с и оценим по модулю относительные приборные ошибки прямых измерений с учетом их весовых коэффициентов:
;
.
Очевидно, что в данном случае величиной ES можно пренебречь и принять погрешность d а равной
Пример 3. Вернемся к определению коэффициента вязкости жидкости (работа 1.2). Расчетную формулу (10) можно представить в виде
,
где 
. Тогда для оценки приборной погрешности dh, согласно (12), получим выражение
, (13)
где 
.
Пусть расстояние между метками l измерено сантиметровой лентой с ценой деления 0,5 см, диаметр шарика – микрометром, время его падения – электронным секундомером. Тогда d l = 0,25 см; d D = 0,01 мм; d t = 0,01 с. Предположим, что измеренные значения равны: l » 80 cм; D » 4 мм; t » 10 с; 
Па×с. Оценим величины, входящие в формулу (13):
Пренебрегая величиной Еt , проведем расчет по формуле (13):
.
Полная ошибка. Окончательный результат измерений
В результате оценки случайной и приборной ошибок измерения величины х получено два доверительных интервала, характеризуемые значениями Ds x и d х. Результирующий доверительный интервал характеризуется полной абсолютной ошибкой D, которая, в зависимости от соотношения между величинами Ds x и d х, находится следующим образом.
Если одна из погрешностей более чем в три раза превышает другую (например, Ds x > 3d х), то полная ошибка D принимается равной этой большей величине (в приведенном примере D » Ds x). Если же величины Ds x и d х близки между собой, то полная ошибка вычисляется как
. (14)
Запись окончательного результата измерений должна включать в себя следующие обязательные элементы.
1) Доверительный интервал вида
с указанием значения доверительной вероятности a . Величины 
и D выражаются в одних и тех же единицах измерения, которые выносятся за скобку.
2) Значение полной относительной погрешности
,
выраженное в процентах и округленное до десятых долей.
Полная ошибка D округляется до двух значащих цифр. Если полученное после округления число оканчивается цифрами 4, 5 или 6, то дальнейшее округление не производится; если же вторая значащая цифра 1, 2, 3, 7, 8 или 9, то значение D округляется до одной значащей цифры (примеры: а) 0,2642 » 0,26; б) 3,177 » 3,2 » 3; в) 7,83×10 – 7 » 8×10 – 7 и т.д.). После этого среднее значение округляется с той же точностью.
Пример 4. В результате определения ускорения движения тела (примеры 1 и 2) получено среднее значение ускорения 
= 2,03 м/с 2 , случайная ошибка Ds а = 0,139 м/с 2 с доверительной вероятностью a = 0,95 и приборная ошибка d а = 0,0136 м/с 2 . Так как d а более чем в десять раз меньше Ds а, то ею можно пренебречь и принять округленную полную абсолютную погрешность равной D » Ds а » 0,14 м/с 2 . Оценим относительную ошибку:
и запишем окончательный результат измерений:
Пример 5. Пусть при определении скорости звука и (лабораторная работа 4.2) получены следующие результаты: среднее значение = 343,3 м/с; случайная погрешность Ds и = 8,27 м/с при a = 0,90; абсолютная приборная погрешность d и = 1,52 м/с. Очевидно, что и в данном случае величиной d и можно пренебречь по сравнению с Ds и, и расчет по формуле (14) не требуется. Полная ошибка после округления равна D » Ds и » 8 м/с; округленное среднее значение » 343 м/с. Полная относительная погрешность
.
Окончательный результат измерений имеет вид
Пример 6. При определении длины волны l лазерного излучения (работа 5.1) получено: 
при a = 0,95; dl = 1,86×10 — 5 мм. В данном случае значения приборной и случайной погрешностей близки между собой, поэтому полную ошибку найдем по формуле (14):
.
Округленное среднее будет равно 
мм. Оценим полную относительную ошибку
и запишем окончательный результат:
* Термины «ошибка» и «погрешность» применительно к измерениям имеют один и тот же смысл.
Источник
