ПроСопромат.ру
Технический портал, посвященный Сопромату и истории его создания
Определение перемещений в балке по формуле Симпсона
Для балки определить линейные и угловые перемещения в точках A, B, C, предварительно подобрав сечение двутавра из условия прочности.
1) Вычерчиваем схему балки, определяем опорные реакции. В жёсткой заделке возникает 3 реакции — вертикальная и горизонтальная, а так же опорный момент. Поскольку горизонтальных нагрузок нет – соответствующая реакция равна нулю. Для того, чтобы найти реакции в точке E, составим уравнения равновесия.
RE=-q7+F=-67+20=-22кН (знак говорит о том, что реакция направлена в обратную сторону, показываем это на схеме)
Найдем опорный момент в жесткой заделке, для чего решим уравнение моментов относительно любой выбранной точки.
ME=-18-229+649/2=-18-198+147=-69кНм (знак говорит о том, что реакция направлена в обратную сторону, показываем это на схеме)
Далее требуется выполнить проверку правильности определения реакций, составив уравнение равновесия относительно любой точки, к примеру, точки Е, ∑MЕ = 0.
2) Строим грузовую эпюру M F – эпюру моментов от заданной нагрузки.
Для построения эпюр моментов найдем моменты в характерных точках. В точке В определяем моменты как от правых, так и от левых сил, поскольку в этой точке приложен момент.
Для построения эпюры момента на линии действия распределенной нагрузки (участки АВ и ВС) нам нужны дополнительные точки для построения кривой. Определим моменты в серединах этих участков. Это моменты в серединах участков АВ и ВС 15,34 кНм и 23,25кНм. Строим грузовую эпюру.
3) Для определения линейных и угловых перемещений в точке необходимо приложить в этой точке, в первом случае, единичную силу (F=1) и построить эпюру моментов, во втором случае, единичный момент (M=1) и построить эпюру моментов. Строим эпюры от единичных нагрузок для каждой точки – А, В и С.
4) Для нахождения перемещений мы используем формулу Симпсона.
где li – длина участка;
EIi – жесткость балки на участке;
MF – значения изгибающих моментов с грузовой эпюры, соответственно в начале, в середине и в конце участка;
– значения изгибающих моментов с единичной эпюры, соответственно в начале, в середине и в конце участка.
Если ординаты эпюр расположены с одной стороны от оси балки, то при перемножении учитывается знак «+», если с разных, то знак «-».
Если результат получился со знаком «-», значит искомое перемещение по направлению не совпадает с направлением соответствующего единичного силового фактора.
Рассмотрим применение формулы Симпсона на примере определения перемещений в точке А.
Определим прогиб, перемножив грузовую эпюру на эпюру от единичной силы.
Прогиб получился со знаком «-», значит искомое перемещение по направлению не совпадает с направлением единичной силы (направлено вверх).
Определим угол поворота, перемножив грузовую эпюру на эпюру от единичного момента.
Угол поворота получился со знаком «-», значит искомое перемещение по направлению не совпадает с направлением соответствующего единичного момента (направлен против часовой стрелки).
5) Для определения конкретных значений перемещений требуется подобрать сечение. Подберем сечение двутавра
где Mmax – это максимальный момент на грузовой эпюре моментов
Подбираем по сортаменту двутавр №30 с Wx=472см 3 и Ix= 7080см 4
6) Определяем перемещения в точках, раскрывая жесткость сечения: E – модуль продольной упругости материала или модуль Юнга (2 10 5 МПа), Jx – осевой момент инерции сечения
Прогиб в точке А (вверх)
Угол поворота (против часовой стрелки)
Если требуется построить изогнутую ось балки, то балка вычерчивается без нагрузки, и в точках откладываются прогибы в соответствующие стороны — строится плавная кривая – изогнутая ось балки.
Источник
ПроСопромат.ру
Технический портал, посвященный Сопромату и истории его создания
Определение перемещений
Виды перемещений. Дифференциальное уравнение упругой линии балки
При плоском изгибе балки её упругая линия, лежащая в плоскости действия внешних сил, искривляется, точки этой линии получают некоторые перемещения.
Произвольно выбранная точка С перемещается как в направлении, перпендикулярном АВ, так и вдоль этой линии на величину 
. Наибольший практический интерес представляет перемещение 
, которое называется прогибом балки. Угол между направлениями 1-1 и 2-2 называется углом поворота сечения балки. Таким образом , перемещения бывают линейные и угловые.
Наряду с расчётом балки на прочность необходимо производить и расчёт на жёсткость, то есть определять прогибы и углы поворота балки. Существует несколько способов решения задачи о деформациях балок. Рассмотрим аналитический способ. Установим зависимость координаты 
– уравнение упругой линии.
Из рисунка видно ,что
Но! В упругой стадии работы материала углы поворота настолько малы ,что можно считать угол равным его тангенсу. Вспомнив геометрический смысл производной, можно принять угол поворота равным первой производной прогиба по абсциссе сечения.
Правила знаков для перемещений, знаки перемещений
Угол считается положительным, если сечение поворачивается против хода часовой стрелки и наоборот. Прогиб считают положительным согласно принятому направлению осей координат. Если ось координат направлена вверх, то положительным будет прогиб вверх, а отрицательным — вниз.
Для нахождения зависимости y=f(z) используем известное соотношение между кривизной оси с изгибающим моментом и жесткостью сечения балки
При постоянных моменте, кривизне и жесткости балка изгибается по окружности.
Из математики известно, что кривизна кривой может быть выражена так:
Пренебрегая 
получим приближённое дифференциальное уравнение изогнутой оси балки:
При приближённом дифференциальном уравнении изогнутой оси балки пользуются принципом малости перемещений, а если перемещения очень большие, то используют точное дифференциальное уравнение. В технике допускаемая величина прогиба 
, где 
— длина пролёта балки. Уравнение 
представляет собой линейное дифференциальное уравнение второго порядка с разделяющимися переменными и может быть проинтегрировано в общем виде:
где v- линейное перемещение (прогиб), θ – угловое перемещение, С1 и С2 – постоянные интегрирования.
С1– угол поворота в начале координат, умноженной на величину ЕI;
С2 – прогиб балки в начале координат, умноженный на EI.
Значения этих постоянных определяют из граничных условий ,т.е. условий опирания балки и условий на границах смежных участков. Вот эти условия:
— у свободно лежащей балки прогибы на обеих опорах равны нулю. При симметричном нагружении у такой балки угол поворота в середине пролета также равен нулю;
— у консольной балки в заделке и прогиб и угол поворота равны нулю;
— на границе смежных участков балки прогиб и угол поворота одинаковы как для левого, так и для правого участка.
Определение перемещений по методу начальных параметров (или по универсальным формулам прогибов и углов поворота сечений)
где у0 и φ0 – начальные параметры, то есть прогиб и угол поворота в начале координат, которые определяются из условий закрепления балки:
Порядок определения перемещений по универсальным формулам:
- Определить все опорные реакции.
- Поместить начало координат обязательно в крайнее сечение балки (левое или правое).
- Ось у направить вверх, ось z — вдоль балки.
- Найти начальные параметры из условий закрепления балки (возможные случаи показаны выше).
- Зная начальные параметры у0 и φ0, по универсальным формулам определить интересующие нас перемещения.
При использовании универсальных формул необходимо выполнять следующие требования:
а) В универсальные формулы включать только те внешние силы, которые действуют между началом координат (т.0) и сечением, в котором определяются перемещения. Следует помнить, что опорные реакции – тоже внешние силы.
б) Каждая внешняя сила (Мi, Fi, qi) вводится со знаком изгибающего момента, который эта сила вызывает в сечении, где определяется перемещение.
Источник
