Способы определения параметров модели

Способы определения параметров модели

Название работы: Способы определения параметров динамических моделей

Предметная область: Коммуникация, связь, радиоэлектроника и цифровые приборы

Описание: В зависимости от вида переходной характеристики кривой разгона задаются чаще всего одним из трех видов передаточной функции объекта управления: в виде передаточной функции инерционного звена первого порядкагде K T и коэффициент усиления постоянная времени и запаздывание которые должны быть определены в окрестности номинального режима работы объекта.Для объекта управления без самовыравнивания передаточная функция имеет вид: Более точнее динамику объекта описывает модель второго порядка с запаздыванием Экспериментальные методы определения.

Дата добавления: 2013-10-25

Размер файла: 21.97 KB

Работу скачали: 12 чел.

Вопрос 16. Способы определения параметров динамических моделей.

Способы: а) расчетный; б) обработка экспериментальных данных: графически и аналитически. Параметры динамических моделей можно определить по диф. уравнениям; по графикам

В настоящее время при расчете настроек регуляторов локальных систем широко используются достаточно простые динамические модели промышленных объектов управления. В частности, использование моделей инерционных звеньев первого или второго порядка с запаздыванием для расчета настроек регуляторов обеспечивает в большинстве случает качественную работу реальной системы управления.

В связи с этим возникает задача определения численных значений параметров динамических моделей промышленных объектов управления. Опыт показывает, что значительно проще, но с достаточной точность, определить эти параметры экспериментально на реальном объекте управления. Особенно оправдан такой подход для одномерных объектов управления, работающих совместно с системой автоматической стабилизации.
В зависимости от вида переходной характеристики (кривой разгона) задаются чаще всего одним из трех видов передаточной функции объекта управления:
— в виде передаточной функции инерционного звена первого порядка
где – K, T и коэффициент усиления, постоянная времени и запаздывание, которые должны быть определены в окрестности номинального режима работы объекта.
Для объекта управления без самовыравнивания передаточная функция имеет вид:

Более точнее динамику объекта описывает модель второго порядка с запаздыванием

Экспериментальные методы определения динамических характеристик объектов управления делятся на два класса:
1. Методы определение временных характеристик объекта управления.
2. Методы определение частотных характеристик объекта управления.
Временные методы определения динамических характеристик делятся, в свою очередь, на активные и пассивные .
Активные методы предполагает подачу на вход объекта пробных тестирующих сигналов, каковыми являются
— регулярные функции времени (ступенчатый или прямоугольный импульсы, гармонический сигнал, периодический двоичный сигнал);
— пробные сигналы случайного характера (белый шум, псевдослучайный двоичный сигнал — ПСДС).
В зависимости от вида пробного сигнала выбирают соответствующие методы обработки выходного сигнала объекта управления. Так, например, при подаче ступенчатого управляющего сигнала, снимают кривую разгона объекта, а при подаче прямоугольного импульсного сигнала снимают кривую отклика. Кривая отклика снимается для объектов, не допускающих подачу на вход объекта ступенчатых сигналов.
Достоинствами активных методов являются:
— достаточно высокая точность получения математического описания;
— относительно малая длительность эксперимента.
— Следует учитывать, что активные методы, в той или иной степени, приводят к нарушению нормального хода технологического процесса. Поэтому проведение эксперимента должно быть тщательно спланировано.
В пассивных методах на вход объекта не подаются никакие пробные сигналы, а лишь фиксируется естественное движение объекта в процессе его нормального функционирования. Полученные реализации массивов данных входных и выходных сигналов обрабатываются статическими методами. По результатам обработки получают
параметры передаточной функции объекта.

Однако, такие методы имеют ряд недостатков:
— малая точность получаемого математического описания, (т.к. отклонения от нормального режима работы малы);
— необходимость накопления больших массивов данных с целью повышения точности (тысячи точек);
— если эксперимент проводится на объекте, охваченном системой регулирования, то наблюдается эффект корреляции (взаимосвязи) между входным и выходным сигналами объекта через регулятор. Такая взаимосвязь снижает точность математического описания.

Источник

Методы определения параметров модели

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФ

СЕВАСТОПОЛЬСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ЛАБОРАТОРНЫМ РАБОТАМ ПО ДИСЦИПЛИНЕ «ИНТЕЛЛЕКТУАЛИЗАЦИЯ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ ПРОЦЕССОВ»

СЕВАСТОПОЛЬ, 2015

СОДЕРЖАНИЕ

Тема №1. Регрессионный анализ. 3

Лабораторная работа №1. Парный регрессионный анализ. 3

1. Теоретические основы.. 3

1.1. Построение диаграммы рассеивания (ДР) и методы проведения «усреднённой» прямой. 3

1.2. Методы определения параметров модели. 4

1.3. Коэффициент парной корреляции. 5

1.4. Интерпретация результатов. 5

1.5. Способы «выравнивания» некоторых нелинейных функций. 5

2. Задание к лабораторной работе №1. 7

3. Варианты задания к лабораторной работе №1. 7

Тема №2. Математическое программирование. 9

Лабораторная работа №2. Линейное программирование. 9

1. Теоретические основы.. 9

2. Пример решения задачи ЛП с использованием пакета MS EXCEL.. 11

2.1. Постановка задачи. 11

2.2. Построение математической модели. 12

2.3. Поиск решения, удовлетворяющего построенной модели. 12

3. Задание к лабораторной работе №2. 14

4. Варианты заданий к лабораторной работе №2. 14

Лабораторная работа №3. Нелинейное программирование. 18

I. Теоретические основы.. 18

1.1. Постановка задачи. 18

1.2. Метод множителей Лагранжа. 18

1.3. Алгоритм метода множителей Лагранжа. 18

II. Пример решения задачи НП методом множителей Лагранжа. 19

3. Задание к лабораторной работе №3. 19

4. Варианты заданий к лабораторной работе №3. 20

Лабораторная работа №4. Задачи динамического программирования. 21

I. Пример решения задачи динамического программирования. 21

2. Задание к лабораторной работе №4. 25

3. Варианты задания к лабораторной работе №4. 25

Тема №3. Генетические алгоритмы.. 28

Лабораторная работа №5. Применение генетических алгоритмов к решению задач оптимизации 28

1. Применение генетического алгоритма к задачам оптимизации. 28

Реализация генетического алгоритма для задачи коммивояжера. 28

1.1. Теоретические сведения. 28

1.2. Алгоритм метода. 29

2. Постановка задачи коммивояжера. 30

3. Построение генетического алгоритма для задачи коммивояжера. 30

4. Задание к лабораторной работе №5. 32

5. Варианты заданий к лабораторной работе №5. 32

Лабораторная работа №6. 33

Задание к лабораторной работе №6. 33

Тема №1. Регрессионный анализ

Лабораторная работа №1. Парный регрессионный анализ

Теоретические основы

Парная регрессия – уравнение связи двух переменных y и x: y = f(x),где y – зависимая переменная (результативный признак); x – независимая, объясняющая переменная (признак-фактор).

Различают линейные и нелинейные регрессии.

Линейная регрессия: y = a +b * x + ε.

· полиномы разных степеней y = a + b₁ * x + b₂ * x 2 + b₃ * x 3 + ε;

· равносторонняя гипербола y = a + b/x + ε;

· степенная y = a * x b * ε;

· показательная y = a * b x * ε;

· экспоненциальная y = e a+b*x * ε.

Цель регрессионного анализа – объяснить поведение зависимой переменной y в соответствии с независимой переменной x.

Источником сведений о взаимозависимости экономических переменных x и y является опыт, реальная действительность, т.е. фиксация величины y_i при соответствующем значении величины x_i. Результаты измерений, наблюдений, опросов, опытов и т.д. можно представить в табличном виде:

x	x1	x2	…	xi	…	xn
y	y1	y2	…	yi	…	yn

Или графиком на координатной плоскости, где каждой паре связанных значений <x_i, y_i> соответствует одна точка. Этот график называют диаграммой рассеивания (ДР).

Если отбросить наиболее отдаленные точки, то получим линию регрессии y на x. С заданной степенью точности её можно представить некоторой «усредненной» прямой. В общем случае необходимо определить, какой кривой и, следовательно, каким уравнением описывается зависимость.

Построение уравнения регрессии сводится к оценке её параметров.

Тесноту связи изучаемых явлений оценивает линейный коэффициент парной корреляции.

1.1. Построение диаграммы рассеивания (ДР) и методы проведения «усреднённой» прямой.

Пусть имеются данные о зависимости x и y. По горизонтальной оси наносятся значения независимой переменной x, на вертикальную – зависимой y. Масштаб выбирается с таким расчетом, чтобы на имеющихся отрезках осей поместились все значения соответствующих переменных. Нет необходимости выбирать одинаковый масштаб по осям, если данные различны. Не следует выбирать единицы масштаба ни слишком маленькими, ни слишком большими. В первом случае не будет использоваться точность данных, а во втором – точки будут разбросаны по чертежу, и отклонения от «усреднённой» кривой будут казаться очень большими. Далее следует провести через точки плавную кривую, проходящую близко к точкам чертежа, так, чтобы отклонения точек от кривой частью положительные, частью отрицательные были по возможности малы (одинаковое количество точек с каждой стороны от кривой). В идеальном случае все точки ложатся на «усреднённую» кривую.

Примечание: всегда следует анализировать данные по их семантике. Иногда пары данных необходимо исключить из рассмотрения как флуктуации (не соответствующие здравому смыслу).

Если точки укладываются примерно на прямую линию, то выбрать прямую можно с помощью натянутой нити или прозрачной линейки.

После проведения «усредненной» кривой записывают её уравнение.

Примечание: для определения уравнения кривой сначала необходимо выбрать определённый вид уравнения и попытаться провести «усреднённую» кривую, описываемую этим уравнением.

Когда вид зависимости и её уравнение определены, необходимо определить её параметры.

Методы определения параметров модели.

Наиболее простым видом функциональной зависимости является линейная функция y = k * x + b. В тех случаях, когда зависимость выражается нелинейным уравнением, почти всегда можно свести вопрос к линейной функции, пользуясь приёмом выравнивания, суть которого в преобразовании уравнения к виду:

φ(x,y) = a + b * ƒ(x,y) и, вводя новые переменные, x’ =ƒ(x,y), y’ = φ(x,y).

Методы вычисления параметров для линейной функции можно после «выравнивания» применять и для нелинейных.

1. Метод избранных точек.

Выбираем на проведённой прямой любые две точки i,y_i>, j,y_j>, удобные своими значениями. Подставляя значения в уравнения получаем:

Для определения параметров k и b необходимо решить систему.

или ,

где n – число измерений, входящих в группу.

В данной задаче требуется определить два параметра, поэтому разобьём данные на две равные (или почти равные) группы и запишем уравнение для каждой из групп. Получаем:

, где n1 и n2 – количество наблюдений в первой и второй группе соответственно (n1 + n2 = n).

Для определения параметров k и b необходимо решить систему.

3. Метод наименьших квадратов (МНК).

МНК даёт самые точные значения параметров.

α и β – некоторые «оптимальные» значения параметров b и k соответственно (y = β * x + α).

Воспользуемся формулами для прямой регрессии y на x:

; ,

где n – количество наблюдений (число точек на ДР).

Источник

Способ определения параметров модели авторегрессии проинтегрированного скользящего среднего

СПОСОБ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ МОДЕЛИ АВТОРЕГРЕССИИ ПРОИНТЕГРИРОВАННОГО СКОЛЬЗЯЩЕГО СРЕДНЕГО

Рассматривается задача построения АРПСС модели временных рядов. Предложенный метод для определения параметров модели для будущего прогноз базируется на основных характеристиках временных рядов. Метод позволяет упростить задачу нахождения оптимальной модели на приемлемом уровне погрешности результата.

Ключевые слова: процедура, параметры, информация, математическая модель, процесс.

Процедуры оценки параметров и прогнозирования, зачастую предполагают, что математическая модель процесса известна. Однако в реальных данных часто нет отчетливо выраженных регулярных составляющих. Отдельные наблюдения содержат значительную ошибку, тогда как необходимо не только выделить регулярные компоненты, но также построить прогноз. Метод авторегрессии проинтегрированного скользящего среднего (АРПСС), разработанный Боксом и Дженкинсом [1], позволяет это сделать. Данный метод чрезвычайно популярен во многих приложениях, и практика подтвердила его мощность и гибкость. В то же время следует отметить сложность определения параметров модели АРПСС. Хотя метод АРПСС дает удовлетворительные результаты, они зависят от квалификации пользователя. Важным этапом в построении прогноза на основе АРПСС модели является определение ее параметров.

Основными инструментами идентификации порядка АРПСС модели являются графики автокорреляционной функции (АКФ) и частной автокорреляционная функция (ЧАКФ).

Одно из главных отличий последовательности наблюдений, образующих временной ряд, от случайной выборки заключается в том, что члены временного ряда являются статистически взаимозависимыми. Степень тесноты статистической связи между двумя случайными величинами может быть измерена парным коэффициентом корреляции. Поскольку коэффициент измеряет корреляцию, существующую между членами одного и того же временного ряда, его принято называть коэффициентом автокорреляции. При анализе изменения величины в зависимости от значения t принято говорить об автокорреляционной функции . График автокорреляционной функции иногда называют коррелограммой. Автокорреляционная функция (в отличие от автоковариационной) безразмерна, т. е. не зависит от масштаба измерения анализируемого временного ряда. Ее значения, по определению, могут колебаться от -1 до +1.

Значение автокорреляционной функции определяется формулой [2]:

Существуют общие характерные особенности, отличающие поведение автокорреляционной функции стационарного временного ряда. Другими словами, можно описать в общих чертах схематичный вид коррелограммы стационарного временного ряда. Это обусловлено следующим общим соображением: очевидно, чем больше разнесены во времени члены временного ряда и , тем слабее взаимосвязь этих членов и, соответственно, тем меньше должно быть по абсолютной величине значение . При этом в ряде случаев существует такое пороговое значение , начиная с которого все значения будут тождественно равны нулю.

С помощью частной автокорреляционной функции реализуется идея измерения автокорреляции, существующей между разделенными t тактами времени членами временного ряда и , при устраненном опосредованном влиянии на эту взаимозависимость всех промежуточных членов этого временного ряда. Частная автокорреляция 1-го порядка может быть подсчитана с использованием соотношения:

Частные автокорреляции более высоких порядков могут быть подсчитаны аналогичным образом по элементам общей корреляционной матрицы , в которой . Так, например, частная автокорреляция k-го порядка определяется по формуле [2]:

Полученные таким образом частные автокорреляции ,… можно нанести на график, в котором роль абсциссы выполняет величина сдвига t. Знание автокорреляционных функций и оказывает существенную помощь в решении задачи подбора и идентификации модели анализируемого временного ряда.

Это решение не является простым и требуется основательно поэкспериментировать с альтернативными моделями. С целью уменьшения сложности вычислений предлагается следующий способ определения параметров модели АРПСС. Большинство встречающихся на практике временных рядов можно с достаточной степенью точности аппроксимировать одной из 5 основных моделей, которые можно идентифицировать по виду автокорреляционной (АКФ) и частной автокорреляционной функции (ЧАКФ). Отметим, что число параметров каждого вида невелико (меньше 2), поэтому нетрудно проверить альтернативные модели.

1. Один параметр (p): АКФ — экспоненциально убывает; ЧАКФ — имеет резко выделяющееся значение для лага 1, нет корреляций на других лагах.

2. Два параметра авторегрессии (p): АКФ имеет форму синусоиды или экспоненциально убывает; ЧАКФ имеет резко выделяющиеся значения на лагах 1, 2, нет корреляций на других лагах.

3. Один параметр скользящего среднего (q): АКФ имеет резко выделяющееся значение на лаге 1, нет корреляций на других лагах. ЧАКФ экспоненциально убывает.

4. Два параметра скользящего среднего (q): АКФ имеет резко выделяющиеся значения на лагах 1, 2, нет корреляций на других лагах. ЧАКФ имеет форму синусоиды или экспоненциально убывает.

5. Один параметр авторегрессии (p) и один параметр скользящего среднего (q): АКФ экспоненциально убывает с лага 1; ЧАКФ — экспоненциально убывает с лага 1.

Общие рекомендации относительно выбора обычных параметров (с помощью АКФ и ЧАКФ) полностью применимы к сезонным моделям. Основное отличие состоит в том, что в сезонных рядах АКФ и ЧАКФ имеют существенные значения на лагах, кратных сезонному лагу (в дополнении к характерному поведению этих функций, описывающих регулярную компоненту АРПСС).

Стоит отметить, что в процессе определения параметров АРПСС подели, параллельно определяется наличие сезонности в рассматриваемом временном ряде. Рассмотрим применение данного способа для анализа показателя инвестиций в основной капитал Российской Федерации за период с января 2005 года по февраль 2010 года. На рис. 1 представлен исходный временной ряд с выделенным трендом.

Рис. 1. Инвестиции в основной капитал РФ

Применительно к ряду, с предварительно исключенным трендом, получим графики автокорреляционной и частной автокорреляционной функций, изображенные на рис. 2 и 3:

Рис. 2. График автокорреляционной функции

Рис. 3. График частной автокорреляционной функции

Значения АКФ и ЧАКФ на 12 лаге, говорят о ярковыраженной сезонности рассматриваемого ряда (период составляет 12 месяцев), что полностью соответствует реальным показателям инвестиций в основной капитал.

Литература

1. Бокс Дж., Анализ временных рядов. Прогноз и управление. — М. Мир, 1974. — Вып. 1, 2.

2. Лукашин методы краткосрочного прогнозирования временных рядов: Учеб пособие. – М. Финансы и статистика, 2003 – 416 с.

METHOD FOR DETERMINING PARAMETERS OF AUTOREGRESSIVE INTEGRATED MOVING AVERAGE MODEL

The problem of constructing ARIMA models for time series is considered. The proposed method for determining the parameters of the model for future prediction based on the basic characteristics of time series. The method allows to simplify the task of finding the optimal model with acceptably level of error result.

Key words: procedure, parametres, the information, mathematical model, process.

Филиал ГОУВПО Московский энергетический институт

Источник