Способы определения натуральной величины фигуры сечения

Способы определения натуральной величины фигуры сечения

Контрольные задания по теме:
Рабочая тетрадь задача 68, задача 69

Цилиндром будет называться геометрическое тело, полученное при ограничении цилиндрической поверхности двумя параллельными плоскостями — основаниями цилиндра. Если в основании цилиндра лежит окружность, а образующая перпендикулярна основанию, то цилиндр называется прямым круговым.

Линия сечения строится также при помощи опорных точек — точек пересечения секущей плоскости с очерковыми образующими и осью цилиндра. Но необходимо взять также промежуточные точки для более точного построения линии сечения. На рисунке 49 показано построение проекций сечения цилиндра фронтально — проецирующей плоскостью S. Так как цилиндр является проецирующей поверхностью, то горизонтальная проекция сечения совпадает с секущей плоскостью и на профильной проекции получим эллипс. Точки 2 и 3 будут являться границей видимости линии сечения для профильной плоскости.

Натуральную величину сечения можно определить способом вращения. Ось вращения выбираем в точке 1 и вращаем секущую плоскость до положения, параллельного горизонтальной плоскости. На горизонтальной плоскости получим эллипс, который будет являться натуральной величиной сечения цилиндра.

Рисунок 49

Разверткой цилиндра является прямоугольник с высотой, равной высоте цилиндра, и длиной, равной длине окружности основания 2πR. Для того, чтобы построить развертку усеченной части, основание цилиндра делят на равные части, тем самым аппроксимируя цилиндрическую поверхность призматической. Разделим окружность основания на 12 равных частей и отложим их вдоль горизонтальной линии развертки, по вертикали отложим высоту цилиндра (рис. 50).

Затем на полученных образующих отметим высоты точек сечения. Пристроим окружность основания и натуральную величину сечения.

Рисунок 50

Конус — это геометрическое тело, полученное путем ограничения конической поверхности плоскостью. Если в основании конуса лежит окружность, а высота попадает в центр основания, то конус называется прямым круговым.

На рисунке 51 построено сечение конуса фронтально — проецирующей плоскостью. Точки сечения находим при помощи вспомогательных секущих плоскостей. Точки С и D являются границей видимости для профильной проекции сечения.

Натуральную величину сечения находим способом вращения. Ось вращения выбираем в точке D и поворачиваем секущую плоскость до положения, параллельного горизонтальной плоскости проекций. Из горизонтальных проекций точек проводим линии, перпендикулярные оси вращения. Натуральной величиной сечения будет являться эллипс.

Рисунок 51

Развертка конуса является круговым сектором с радиусом, равным длине образующей конуса и длиной дуги, равной длине окружности основания конуса. Делим основание конуса на 12 равных частей и откладываем их по дуге на развертке. Затем на соответствующих образующих нужно отложить натуральные величины высот точек сечения. Чтобы получить полную развертку усеченной части, пристраиваем основание и натуральную величину сечения. На рисунке 52 показано построение развертки конуса.

Рисунок 52

1. Как образуется цилиндрическая поверхность?

2. Если секущая цилиндр плоскость фронтально проецирующая, то где будут лежать горизонтальные проекции точек сечения?

3. Какими способами можно определять натуральную величину фигуры сечения?

4. Какой геометрической фигурой является развертка боковой поверхности цилиндра? Конуса?

5. Для чего нужно разбивать окружность основания на некоторое количество равных частей?

6. Как построить развертку конической поверхности?

7. Как получить из полной развертки поверхности развертку ее усеченной части?

© ФГБОУ ВПО Красноярский государственный аграрный университет

Источник

Способы определения натуральной величины фигуры сечения

§ 23. Способы определения натуральной величины отрезка прямой линии и плоской фигуры

Элементы деталей, наклонные к плоскостям проекций, проецируются на них с искажением размеров. Однако в некоторых случаях требуется получить на чертеже натуральную величину отрезков прямых линий или плоских фигур, в частности при построении разверток.

Натуральные размеры отрезков линий и фигур получаются на той плоскости проекций, параллельно которой они расположены. Следовательно, чтобы определить натуральную величину отрезка линии или фигуры, необходимо, чтобы плоскость проекции была параллельна изображаемому элементу. Для этого применяют способ вращения и способ перемены плоскостей проекций.

Способ вращения. Способ вращения заключается в том, что отрезок прямой линии или плоскую фигуру вращают вокруг выбранной оси до положения, параллельного плоскости проекций.

На рис. 173 показано, как определить способом вращения натуральную длину отрезка АВ прямой, наклонной к плоскостям проекций. На наглядном изображении (рис. 173, а) видно, что отрезок А В прямой не параллелен плоскостям проекций и, следовательно, проекции а’b’ и ab отрезка изображаются искаженными. Нужно повернуть отрезок вокруг оси Аа, перпендикулярной к плоскости H, в направлении, указанном стрелкой, до положения, при котором отрезок станет параллельным плоскости V, т. е. в положение, обозначенное АВ₁. Тогда горизонтальная проекция аb отрезка АВ расположится параллельно плоскости V (параллельно оси х); обозначим ее аb₁. В этом положении проекция отрезка на плоскость V — линия а’b’ представляет собой натуральную величину отрезка АВ.

Построение на чертеже начинают с горизонтальной проекции (рис. 173, б). Из точки а, как из центра, радиусом, равным ab, описывают дугу окружности bb₁ до пересечения с прямой, проведенной из точки а параллельно оси х. Получают новую горизонтальную проекцию b₁ точки В. Фронтальную проекцию b`<sub>1</sub> точки b<sub>1</sub> получают, восставив из нее перпендикуляр к оси х. Соединив прямой точку а’ с точкой b` получают натуральную длину отрезка АВ.

На рис. 173, в показано, как можно данное построение применить к определению натуральной длины наклонного ребра треугольной пирамиды.

Рис. 173. Определение натуральной длины отрезка прямой способом вращения

Способ перемены плоскостей проекций. Этот способ отличается от способа вращения тем, что проецируемая линия или фигура остается неподвижной, а одну из плоскостей проекций заменяют новой дополнительной плоскостью, на которую и проецируют изображаемый элемент.

В пересечении новой плоскости Н₁ с плоскостью V (рис. 174, а) получают новую ось проекций х₁. Новую систему плоскостей на чертеже обозначают H₁/V

Дополнительную плоскость проекций Н₁ выбирают так, чтобы она была перпендикулярна фронтальной плоскости проекций V (рис. 174, а) и параллельна линии или плоскости фигуры, натуральную величину которой нужно определить. Линия или фигура спроецируется на дополнительную плоскость без искажений; новая ось проекций хх будет параллельна фронтальной проекции наклонной грани (рис. 174, б).

Рассматривая рис. 174, а и б, можно установить, что при перемене горизонтальной плоскости Н на новую Н₁ расстояние новой горизонтальной проекции любой точки до оси проекций х 1 будет равно расстоянию прежней горизонтальной проекции этой точки до прежней оси проекций, т. е. расстояние точки А от плоскости V остается неизменным. Этим и пользуются при построении проекций фигур на дополнительную плоскость, которую затем совмещают с плоскостью чертежа.

На рис. 174, а точка А спроецирована сначала на плоскости V и H, т. е. получены ее проекции а’ и а. Затем взята дополнительная плоскость H₁ перпендикулярная к плоскости V, и точка А спроецирована на дополнительную плоскость. Для этого из фронтальной проекции a` до точки А опущен перпендикуляр на плоскость H₁ пересечение которого с плоскостью дало точку ах₁. Затем от точки аx₁ отложено расстояние, равное аа_х, и получена искомая проекция a₁ точки А на дополнительную плоскость. Наклонная линия x₁ на чертеже обозначает новую ось проекций. Важно отметить, что фронтальная и новая проекции точки А лежат на одном перпендикуляре к оси х₁.

На рис. 174, б дано наглядное изображение четырехугольной призмы, верхняя грань которой наклонна. Чтобы определить натуральную величину верхней наклонной грани призмы, ее необходимо спроецировать на дополнительную плоскость. Построение проводят в следующем порядке. Вычерчивают фронтальную и горизонтальную проекции призмы. На произвольном расстоянии проводят новую ось проекции х₁ параллельно фронтальной проекции изображаемой грани. Из фронтальных проекций вершин наклонной грани — точек а`, b`, с`, d’ восставляют перпендикуляры к новой оси x₁. На перпендикулярах от новой оси х₁ откладывают отрезки, равные расстояниям горизонтальных проекций этих точек от оси х. Соединив полученные точки а₁, b₁, с₁, d₁ прямыми линиями, получают натуральную величину грани.

Рис. 174. Определение натуральной величины фигуры способом перемены плоскостей проекций

Изображение детали на дополнительной плоскости называют дополнительным видом, который отмечают на чертежах надписью типа «Вид А», «Вид Б», подчеркнутой тонкой линией. У связанного с дополнительным видом изображения наносят стрелку, указывающую направление взгляда, с соответствующим буквенным обозначением (рис. 175, a), при этом выбирают одну из прописных букв русского алфавита. Дополнительный вид допускается повертывать, но, как правило, с сохранением положения, принятого для данного предмета на главном изображении, при этом к надписи «Вид Б» должно быть добавлено слово «повернуто», располагаемое в строчку с надписью (рис. 175, б). Когда дополнительный вид расположен в непосредственной проекционной связи с соответствующим изображением, стрелку и надпись над видом не наносят (рис. 175, в).

Рис. 175. Расположение и обозначение дополнительных видов

Ответьте на вопросы

1. Как обозначают на чертежах дополнительные виды?

2. Чем отличается способ вращения от способа перемены плоскостей проекции? Для чего эти способы применяются?

Источник

Задание 3. Многогранники

4.1. Краткие теоретические сведения

Многогранниками называются тела, ограниченные плоскими n-угольниками, которые называются гранями . Линии пересечения граней называются ребрами , точки пересечения ребер – вершинами. Для всех многогранников справедлива формула Эйлера: сумма граней и вершин за минусом числа ребер есть величина постоянная: Г + В – Р = 2.

Наиболее распространенными в технике многогранниками являются правильные и неправильные, прямые и наклонные призмы и пирамиды. Призмой называется многогранник, в основании которого находится плоский n-угольник, а остальные грани являются в общем случае параллелограммами. Пирамидой называется многогранник, в основании которого находится плоский n-угольник, а боковыми гранями являются треугольники с общей вершиной. На эпюре многогранники задаются проекциями ребер, так называемой сеткой ребер .

Типовой задачей для многогранников является задача о пересечении многогранников плоскостями частного и общего положения. Для построения фигуры сечения многогранника плоскостью используют следующие приемы:

• • определение каждой вершины сечения, как точки пересечения ребер многогранника с секущей плоскостью ( способ ребер );

• построение стороны сечения, как линии пересечения с секущей плоскостью граней многогранника ( способ граней ).

Чаще применяется первый из заданных приемов, второй же целесообразно применять в тех случаях, когда грани многогранника являются проецирующими плоскостями, линии пересечения которых с секущей плоскостью общего положения строятся очень просто.

а б
Рисунок 4.1 – Пересечение пирамиды плоскостью (а — задание, б — результат)

В методе ребер несколько раз (по числу пересекаемых ребер) решается задача о пересечении прямой (ребра) с плоскостью (секущей плоскостью). В этом случае находятся точки 1, 2, 3 (рис. 4.1). Найденные точки являются вершинами сечения пирамиды плоскостью.

В методе граней несколько раз решается типовая задача о пересечении двух плоскостей (граней многогранника и секущей плоскости), в которой находят линии 1-2, 2-3, 3-1, являющиеся сторонами многоугольника (в данном примере, треугольника сечения). Если секущая плоскость является плоскостью частного положения, то задача решается упрощенно.

4.2. Способ перемены плоскостей проекций

Сущность способа перемены плоскостей проекций заключается в том, что положение геометрических элементов (точек, прямых, фигур, тел) в пространстве остается неизменным, а система плоскостей проекций заменяется новой, по отношению к которой эти элементы занимают положение, наиболее удобное для решения той или иной задачи.

В ряде случаев для решения задачи бывает достаточно заменить новой плоскостью одну из основных плоскостей проекций – фронтальную или горизонтальную. В других же случаях замена лишь одной плоскости проекций вопроса не разрешает и бывает необходимо последовательно заменить новыми плоскостями обе основные плоскости проекций.

При замене основной плоскости проекций новой плоскостью эта последняя должна располагаться по отношению к остающейся основной плоскости проекций перпендикулярно.

Рассмотрим способ перемены плоскостей проекций на примерах.

Для того чтобы данная прямая общего положения m=АВ оказалась линией уровня, следует ввести новую плоскость проекций π₄, которая была бы ей параллельна (рис. 4.2 и 4.3).

Рисунок 4.2 Рисунок 4.3

На Рисунке 4.2 введена плоскость π₄, параллельная прямой m и перпендикулярная к плоскости π₁; по новым линиям связи от оси π₁/π₄ откладываем расстояния от точек А и В до плоскости π₁ (отмеченное штрихом и D₁). В новой системе плоскостей проекций π₁/π₄ прямая m является линией уровня.

На Рисунке 4.3 плоскость π₄ параллельна прямой m=АВ и перпендикулярна к плоскости π₂. Прямая m в системе π₂/π₄ является линией уровня.

Для того чтобы прямая линия была проецирующей прямой вводится плоскость проекций, перпендикулярная к ней. Для прямой общего положения требуется провести две замены плоскостей проекций. На Рисунке 4.4 прямая m=АВ спроецирована на параллельную ей плоскость π₄. Затем вводится плоскость проекций π₅, перпендикулярная m₄. В системе плоскостей проекций π₅/π₄ прямая m проецируется в точку.

Рисунок 4.4 – Проецирование отрезка прямой в точку

Чтобы определить натуральную величину плоской фигуры общего положения (Рисунок 4.5), требуется сначала ввести такую плоскость проекций π₄, чтобы образовалась система, в которой плоскость α, заданная треугольником АВС будет проецирующей. Данную подзадачу можно решить, введя дополнительную плоскость проекций π₄ перпендикулярно либо горизонтальной проекции горизонтали, либо фронтальной проекции фронтали. Затем вводится дополнительная плоскость π₅, перпендикулярная к плоскости π₄ и параллельная плоскости α .

Рисунок 4.5 – Определение натуральной величины треугольника

4.3. Развертывание поверхностей

Разверткой называется плоская фигура, получаемая путем совмещения с плоскостью чертежа поверхности тела.

Построение разверток имеет большое значение в таких областях техники, как котлостроение, судостроение, кровельное и жестяночное дело, продукция которых изготовляется из листового материала.

Точные развертки могут быть построены лишь для линейчатых поверхностей, смежные положения образующих которых параллельны (цилиндрическая поверхность) или пересекаются (коническая поверхность).

Для нелинейчатых поверхностей, образующей которых является кривая линия (например, сферическая поверхность), можно построить развертки лишь приближенные. С этой целью такие поверхности разбиваются на небольшие элементы, и каждая такая часть кривой поверхности заменяется плоскостью. Это означает, что данная кривая поверхность заменяется вписанным в нее многогранником, развертка которого приближенно принимается за развертку кривой поверхности.

Развертка боковой поверхности пирамиды (Рисунок 4.7) состоит из трех треугольников, представляющих в истинном виде боковые грани пирамиды.

Для построения развертки необходимо предварительно определить истинные длины боковых ребер пирамиды. Повернув эти ребра вокруг высоты пирамиды до положения параллельного плоскости ?₂, на фронтальной плоскости проекций получим их истинные длины в виде отрезков S₂ A ₂, S₂ B ₂, S₂ C ₂ (Рисунок 4.6).

Построив по трем сторонам S₂ A ₂, S₂ B ₂ и A₁B₁ грань пирамиды ASB (Рисунок 4.7), пристраиваем к ней смежную грань – треугольник BSC, а к последнему – грань CSA. Полученная фигура представит собою развертку боковой поверхности данной пирамиды.

Для получения полной развертки к одной из сторон основания пристраиваем основание пирамиды – треугольник АВС.

Для построения на развертке линии, по которой поверхность пирамиды пересечется плоскостью α (Рисунок 4.7), следует нанести на ребра SA, SB и SC, соответственно, точки 1, 2 и 3, в которых эта плоскость пересекает ребра, определив истинные длины отрезков S1, S2 и S3.

Рисунок 4.6 – Определение истинных длин ребер

Рисунок 4.7 – Построение развертки

4.4. Задание 3. Построение натурального вида сечения пирамиды плоскостью

4.4.1. Условие задания

Задание следует выполнять в соответствии с алгоритмом:

1. 1. По координатам вершин (Таблицы 3.1- 3.3) построить: две проекции пирамиды 1234S;

1. 1. Выполнить две проекции сечения пирамиды плоскостью общего положения АВС (Таблица 3.4);

1. 1. Найти натуральный вид сечения способом перемены плоскостей проекций;

1. Выполнить развертку верхней отсеченной части пирамиды.

4.4.2. Рекомендации по выполнению задания № 2

Порядок выполнения задачи следующий:

1. Построить горизонтальные и фронтальные проекции пирамиды и 1234S и плоскости ∆АBC (Рисунок 4.8);
2. Способом ребер или способом граней построить проекции сечения пирамиды 1234S плоскостью ∆АBC.

Способ ребер заключается в том, что ребро пирамиды (например, 1S) заключается во фронтально-проецирующую плоскость γ: γπ₂≡1₂S₂. Затем выполняется построение точки 8 пересечения ребра 1S с плоскостью γ:

Аналогично выполняется построение остальных точек искомого сечения.

Способом граней строятся линии пересечения с помощью плоскостей-посредников;

Рисунок 4.8 – Построение сечения

1. Способом перемены плоскостей проекций найти натуральный вид сечения 56789.

Сущность способа перемены плоскостей проекций состоит в том, что положение геометрического образа (прямой, плоскости, поверхности) в пространстве остается неизменным, а система плоскостей проекций π₁/π₂ дополняется плоскостями, образующими с π₁ или π₂, либо между собой системы двух взаимно перпендикулярных плоскостей проекций. Расположение новой плоскости проекций по отношению к геометрическим образам выбирается в зависимости от условия задачи.

В данной задаче необходимо дважды ввести новые плоскости проекций: в системе плоскостей π₁/π₄ сечение 56789 станет проецирующей плоскостью, а в системе плоскостей проекций π₄/π₅ – плоскостью уровня;

Рисунок 4.9 – Пересечение пирамиды плоскостью общего положения

1. Выполнить развертку нижней отсеченной части пирамиды.

Видеопример выполнения задания №3

4.5. Варианты задания 3

Таблица 3.1– Значения координат точек (для вариантов с 1 по 10)

S	1	2	3	4
X	50	90	30	10	70
Y	50	50	5	70	80
Z	90	10	10	10	10

Таблица 3.2– Значения координат точек (для вариантов с 11 по 20)

S	1	2	3	4
X	50	90	30	10	70
Y	50	50	5	70	80
Z	90	0	0	0	0

Таблица 3.3– Значения координат точек (для вариантов с 21 по 30)

S	1	2	3	4
X	50	100	25	5	80
Y	50	50	5	70	80
Z	100	10	10	10	10

Таблица 3.4– Значения координат точек

Вариант	Координаты (x, y, z) точек			Вариант	Координаты (x, y, z) точек
	А	В	С		А	В	С
1	100;15;30	35; 85; 90	10; 45; 30	16	90; 0; 0	100; 50; 70	5; 55; 40
2	65; 10; 0	100; 50; 80	20; 80; 80	17	95; 35; 40	50; 35; 0	5; 65; 50
3	100; 25;40	15; 90; 90	50; 15; 0	18	50; 50; 45	0; 55; 0	100; 20; 5
4	30; 80; 90	20; 25; 0	100; 25; 40	19	30; 90; 60	90; 30; 20	0; 35; 0
5	100; 15; 20	100; 60; 90	10; 45; 20	20	95; 15; 0	5; 60; 20	70; 85; 80
6	90; 0; 0	100; 50; 80	5; 55; 40	21	100;15;30	35; 85; 90	10; 45; 30
7	95; 35; 50	50; 35; 0	5; 65; 50	22	65; 10; 0	100; 50; 80	20; 80; 80
8	50; 50; 55	0; 55; 5	100; 20; 5	23	100; 25;40	15; 90; 90	50; 15; 0
9	30; 90; 70	90; 30; 30	0; 35; 0	24	30; 80; 90	20; 25; 0	100; 25; 40
10	95; 15; 10	5; 60; 30	70; 85; 80	25	100; 15; 20	100; 60; 90	10; 45; 20
11	100;15;20	35; 85; 80	10; 45; 30	26	90; 0; 0	100; 50; 80	5; 55; 40
12	65; 10; 0	100; 50; 70	20; 80; 80	27	95; 35; 50	50; 35; 0	5; 65; 50
13	100; 25;30	15; 90; 80	50; 15; 0	28	50; 50; 55	0; 55; 5	100; 20; 5
14	30; 80; 80	20; 25; 0	100; 25; 40	29	30; 90; 70	90; 30; 30	0; 35; 0
15	100; 15; 10	100; 60; 80	10; 45; 20	30	95; 15; 10	5; 60; 30	70; 85; 80

Рисунок 4.10 – Пример оформления задания 3

Источник