Способы определения критических точек

Критическая точка (математика) — Critical point (mathematics)

Критическая точка — это широкий термин, используемый во многих областях математики .

При работе с функциями действительного переменного , критическая точка является точкой в области функции , где функция либо не дифференцируема или производная равна нулю. При работе с комплексными переменными , критической точкой является, так же, точкой в области функции, где она либо не голоморфна или производная равна нуль. Аналогично, для функции нескольких действительных переменных , А критической точкой является значением в своей области , где градиент не определен или равен нулю.

Значение функции в критической точке является критическим значением .

Такое определение распространяется на дифференцируемые отображения между R м и R п , в критической точке бытием, в данном случае, в точке , где ранг из матрицы Якоби не максимален. Он распространяется далее на дифференцируемые отображения между дифференцируемыми многообразиями как точки, в которых ранг матрицы Якоби уменьшается. В этом случае критические точки также называют точками бифуркации .

В частности, если C — плоская кривая , определяемая неявным уравнением f ( x , y ) = 0, критические точки проекции на ось x , параллельную оси y, являются точками, в которых касательная к C параллельны оси y , то есть точкам, где . Другими словами, критические точки — это те, в которых теорема о неявной функции неприменима. ∂ ж ∂ у ( Икс , у ) знак равно 0 <\ displaystyle <\ frac <\ partial f><\ partial y>> (x, y) = 0>

Понятие критической точки позволяет математически описать астрономическое явление, которое было необъяснимо до времени Коперника . Стационарная точка на орбите планеты является точка траектории планеты на небесной сфере , где движение планеты , кажется, остановить перед перезапуском в другом направлении. Это происходит из-за критической точки проекции орбиты в окружность эклиптики .

СОДЕРЖАНИЕ

Критическая точка функции одной переменной

Критическая точка функции из одной вещественной переменной , ф ( х ), это значение х ₀ в области от F , где она не дифференцируема или его производное , равно 0 ( е ‘( х ₀ ) = 0). Критическое значение является образом при F критической точки. Эти понятия могут быть визуализированы с помощью графика из F : в критической точке, график имеет горизонтальную касательную , если можно назначить один на всех.

Обратите внимание на то, как, для дифференцируемой функции , критическая точка такой же , как стационарная точка .

Хотя это легко визуализировать на графике (который представляет собой кривую), понятие критической точки функции не следует путать с понятием критической точки в некотором направлении кривой ( подробное определение см. Ниже ). Если g ( x , y ) — дифференцируемая функция двух переменных, то g ( x , y ) = 0 — неявное уравнение кривой. Критическая точка такой кривой, для проекции параллельно у оси х (отображение ( х , у ) → х ), является точкой кривой , где . Это означает, что касательная к кривой параллельна оси y , и что в этой точке g не определяет неявную функцию от x до y (см. Теорему о неявной функции ). Если ( x ₀ , y ₀ ) — такая критическая точка, то x ₀ — соответствующее критическое значение . Такая критическая точка также называется точкой бифуркации , поскольку, как правило, при изменении x появляются две ветви кривой на стороне x ₀ и ноль на другой стороне. ∂ грамм ∂ у ( Икс , у ) знак равно 0 <\ displaystyle <\ frac <\ partial g><\ partial y>> (x, y) = 0>

Из этих определений следует, что дифференцируемая функция f ( x ) имеет критическую точку x ₀ с критическим значением y ₀ тогда и только тогда, когда ( x ₀ , y ₀ ) является критической точкой ее графика для проекции, параллельной x -оси с тем же критическим значением y ₀ . Если f не дифференцируема в точке x ₀ из-за того, что касательная становится параллельной оси y, то x ₀ снова является критической точкой f , но теперь (x ₀ , y ₀ ) является критической точкой его графика для проекции параллельно оси y .

Например, критические точки единичной окружности уравнения x 2 + y 2 — 1 = 0 — это (0, 1) и (0, -1) для проекции, параллельной оси x , и (1, 0) и (-1, 0) для направления, параллельного оси y . Если рассматривать верхний полукруг как график функции , то x = 0 — критическая точка с критическим значением 1 из-за того, что производная равна 0, а x = -1 и x = 1 — критические точки с критическим значением 0 из-за того, что производная не определена. ж ( Икс ) знак равно 1 — Икс 2 <\ displaystyle f (x) = <\ sqrt <1-x ^ <2>>>>

Примеры

• Функция f ( x ) = x 2 + 2 x + 3 дифференцируема всюду с производной f ′ ( x ) = 2 x + 2. Эта функция имеет единственную критическую точку −1, поскольку это единственное число x_0. для которых 2 х₀ + 2 = 0. Эта точка является глобальным минимумом из F . Соответствующее критическое значение равно f (−1) = 2. График f представляет собой вогнутую вверх параболу , критическая точка — это абсцисса вершины, где касательная линия горизонтальна, а критическое значение — ордината вершины. и может быть представлен пересечением этой касательной линии и оси y .
• Функция f ( x ) = x 2/3 определена для всех x и дифференцируема при x ≠ 0 с производной f ′ ( x ) = 2 x −1/3 / 3. Поскольку f не дифференцируема при x = 0 и f ‘(x) ≠ 0 в противном случае, это единственная критическая точка. График функции F имеет излом в этой точке с вертикальной касательной. Соответствующее критическое значение f (0) = 0.
• Функция абсолютного значения f (x) = | x | дифференцируема всюду, кроме критической точки x = 0, где она имеет точку глобального минимума с критическим значением 0.
• Функция f ( x ) = 1 / x не имеет критических точек. Точка x = 0 не является критической, потому что она не входит в область определения функции.

Расположение критических точек

По теореме Гаусса-Лукас , все критических точек полиномиальной функции в в комплексной плоскости находятся внутри выпуклая оболочка из корней функции. Таким образом, для полиномиальной функции только с действительными корнями все критические точки действительны и находятся между наибольшим и наименьшим корнями.

Гипотеза Сендова утверждает, что если все корни функции лежат в единичном круге на комплексной плоскости, то существует по крайней мере одна критическая точка в пределах единичного расстояния от любого заданного корня.

Критические точки неявной кривой

Критические точки играют важную роль в изучении плоских кривых , определяемое неявными уравнениями , в частности , для черчения их и определить их топологию . Понятие критической точки, которое используется в этом разделе, может показаться отличным от того, что использовалось в предыдущем разделе. Фактически это конкретизация простого случая приведенного ниже общего понятия критической точки .

Таким образом, мы рассматриваем кривую C, определяемую неявным уравнением , где f — дифференцируемая функция двух переменных, обычно двумерный многочлен . Точки кривой — это точки евклидовой плоскости , декартовы координаты которых удовлетворяют уравнению. Есть две стандартные проекции и , определяемые и, которые отображают кривую на оси координат . Их называют проекцией, параллельной оси y, и проекцией, параллельной оси x , соответственно. ж ( Икс , у ) знак равно 0 <\ displaystyle f (x, y) = 0> π у <\ displaystyle \ pi _ > π Икс <\ displaystyle \ pi _ > π у ( ( Икс , у ) ) знак равно Икс <\ Displaystyle \ пи _ <у>((х, у)) = х> π Икс ( ( Икс , у ) ) знак равно у , <\ Displaystyle \ пи _ <х>((х, у)) = у,>

Точка C является критической для , если касательная к C существует и параллельна оси y . В этом случае изображения по критической точки и касательной те же точки х Оу, называется критическим значением . Таким образом, точка является критической для, если ее координаты являются решением системы уравнений : π у <\ displaystyle \ pi _ > π у <\ displaystyle \ pi _ > π у <\ displaystyle \ pi _ >

ж ( Икс , у ) знак равно ∂ ж ∂ у ( Икс , у ) знак равно 0 <\ displaystyle f (x, y) = <\ frac <\ partial f><\ partial y>> (x, y) = 0>

Отсюда следует, что данное определение является частным случаем общего определения критической точки, которое дается ниже .

Определение критической точки аналогично. Если C — график функции , то ( x , y ) является критическим тогда и только тогда, когда x является критической точкой g , и что критические значения совпадают. π Икс <\ displaystyle \ pi _ > у знак равно грамм ( Икс ) <\ Displaystyle у = г (х)> π Икс <\ displaystyle \ pi _ >

Некоторые авторы определяют критические точки из С как точками , которые имеют решающее значение для любого или , хотя они зависят не только от С , но и от выбора осей координат. Также от авторов зависит, будут ли особые точки рассматриваться как критические. Фактически особые точки — это точки, удовлетворяющие π Икс <\ displaystyle \ pi _ > π у <\ displaystyle \ pi _ >

ж ( Икс , у ) знак равно ∂ ж ∂ Икс ( Икс , у ) знак равно ∂ ж ∂ у ( Икс , у ) знак равно 0 <\ displaystyle f (x, y) = <\ frac <\ partial f><\ partial x>> (x, y) = <\ frac <\ partial f><\ partial y>> (x, y) = 0> ,

и, таким образом, являются решениями любой системы уравнений, характеризующих критические точки. В этом более общем определении критические точки для — это именно те точки, где теорема о неявной функции не применяется. π у <\ displaystyle \ pi _ >

Использование дискриминанта

Когда кривая C является алгебраической, то есть когда она определяется двумерным многочленом f , дискриминант является полезным инструментом для вычисления критических точек.

Здесь мы рассматриваем только проекцию ; Аналогичные результаты применимы к замене x и y . π у <\ displaystyle \ pi _ > π Икс <\ displaystyle \ pi _ >

Пусть будет дискриминант из F рассматривается как многочлен у с коэффициентами , которые являются многочленами от х . Таким образом, этот дискриминант является многочленом от x, который имеет критические значения среди своих корней. Диск у ⁡ ( ж ) <\ displaystyle \ operatorname _ (f)> π у <\ displaystyle \ pi _ >

Точнее, простой корень либо критическое значение такой соответствующей критической точки является точка , которая не является особой , ни точки перегиба, или х координаты на асимптоте , которая параллельна у оси х и касается » на бесконечности »до точки перегиба (асимптота перегиба). Диск у ⁡ ( ж ) <\ displaystyle \ operatorname _ (f)> π у <\ displaystyle \ pi _ >

Множественный корень дискриминанта соответствует либо нескольким критическим точкам, либо асимптотам перегиба, имеющим одно и то же критическое значение, либо критической точке, которая также является точкой перегиба, либо особой точке.

Несколько переменных

Для функции нескольких вещественных переменных точка P (то есть набор значений для входных переменных, который рассматривается как точка в R n ) является критической, если это точка, в которой градиент не определен или градиент равен нулю. . Критические значения — это значения функции в критических точках.

Критическая точка (где функция дифференцируема) может быть либо локальным максимумом , либо локальным минимумом, либо седловой точкой . Если функция по меньшей мере , дважды непрерывно дифференцируемые различные случаи могут быть выделены путем рассмотрения собственных значений на гессенском матрицы вторых производных.

Критическая точка, в которой матрица Гессе невырождена , называется невырожденной , а знаки собственных значений гессиана определяют локальное поведение функции. В случае функции одной переменной гессиан — это просто вторая производная , рассматриваемая как матрица 1 × 1, которая неособа тогда и только тогда, когда она не равна нулю. В этом случае невырожденная критическая точка является локальным максимумом или локальным минимумом, в зависимости от знака второй производной, которая положительна для локального минимума и отрицательна для локального максимума. Если вторая производная равна нулю, критическая точка обычно является точкой перегиба , но также может быть точкой волнистости , которая может быть локальным минимумом или локальным максимумом.

Для функции n переменных количество отрицательных собственных значений матрицы Гессе в критической точке называется индексом критической точки. Невырожденная критическая точка является локальным максимумом тогда и только тогда, когда индекс равен n , или, что то же самое, если матрица Гессе отрицательно определена ; это локальный минимум, если индекс равен нулю или, что то же самое, если матрица Гессе положительно определена . Для других значений индекса невырожденная критическая точка — это седловая точка , то есть точка, которая является максимумом в одних направлениях и минимумом в других.

Приложение к оптимизации

По теореме Ферма все локальные максимумы и минимумы непрерывной функции находятся в критических точках. Следовательно, чтобы найти локальные максимумы и минимумы дифференцируемой функции, теоретически достаточно вычислить нули градиента и собственные значения матрицы Гессе в этих нулях. Это не очень хорошо работает на практике , поскольку она требует решений в нелинейную систему из системы уравнений , которая является сложной задачей. Обычные численные алгоритмы гораздо более эффективны для поиска локальных экстремумов, но не могут подтвердить, что были найдены все экстремумы. В частности, при глобальной оптимизации эти методы не могут подтвердить, что результат действительно является глобальным оптимумом.

Когда минимизируемая функция является многомерным полиномом , критические точки и критические значения являются решениями системы полиномиальных уравнений , и современные алгоритмы решения таких систем обеспечивают конкурентоспособные сертифицированные методы поиска глобального минимума.

Критическая точка дифференцируемой карты

Учитывая дифференцируемое отображение F из R т в R п , то критические точки из F являются точками R м , где ранг матрицы Якоби из F не является максимальным. Изображение критической точки при f называется критическим значением . Точка в дополнении набора критических значений называется регулярным значением . Теорема Сарда утверждает, что множество критических значений гладкого отображения имеет нулевую меру .

Некоторые авторы дают несколько иное определение: критическая точка из F является точкой R м , где ранг матрицы Якоби из F меньше , чем п . Согласно этому соглашению, все точки являются критическими, когда m V и W соответствующих размерностей m и n . В окрестностях точки р из V и в е ( р ) , графики являются диффеоморфизмами и точка р является критическим для F , если имеет решающее значение для этого определения не зависит от выбора диаграмм , так как переходы карты , являющихся диффеоморфизмов, их Якобиевы матрицы обратимы, и умножение на них не меняет ранг якобиевой матрицы. Если M — гильбертово многообразие (не обязательно конечномерное) и f — вещественнозначная функция, то мы говорим, что p — критическая точка f, если е это не погружение в воду на р . ж : V → W <\ displaystyle f: V \ rightarrow W> φ : V → р м <\ displaystyle \ varphi: V \ rightarrow \ mathbf ^ > ψ : W → р п . <\ displaystyle \ psi: W \ rightarrow \ mathbf ^ .> φ ( п ) <\ displaystyle \ varphi (p)> ψ ∘ ж ∘ φ — 1 . <\ displaystyle \ psi \ circ f \ circ \ varphi ^ <- 1>.> ψ ∘ ж ∘ φ — 1 . <\ displaystyle \ psi \ circ f \ circ \ varphi ^ <- 1>.>

Приложение к топологии

Критические точки имеют основополагающее значение для изучения топологии из многообразия и вещественных алгебраических многообразий . В частности, они являются основным инструментом для теории Морса и теории катастроф .

Связь между критическими точками и топологией появляется уже на более низком уровне абстракции. Пусть , например, быть суб-многообразие и Р будет точкой вне квадрата расстояния до P из точки является дифференциальной картой таким образом, что каждая компонента связности содержит , по меньшей мере , критическую точку, где расстояние является минимальным. Отсюда следует, что число связных компонент матрицы ограничено сверху числом критических точек. V <\ displaystyle V> р п , <\ displaystyle \ mathbb ^ ,> V . <\ displaystyle V.> V <\ displaystyle V> V <\ displaystyle V> V <\ displaystyle V>

В случае вещественных алгебраических многообразий это наблюдение, связанное с теоремой Безу, позволяет нам ограничить количество компонент связности функцией степеней многочленов, определяющих многообразие.

Источник