Способы описания случайной величины

2.1. Описание случайных величин. Определение и способы задания случайной величины

Одним из основных понятий теории вероятности является понятие случайной величины. Рассмотрим некоторые примеры случайных величин:

1) число попаданий в цель при трех выстрелах.

Возможные результаты таковы: 0,1,2 или 3 раза попадания.

2) число вызовов, поступивших на телефонную станцию за сутки. Значениями может быть любое число от 1, 2, 3,….

Случайной величиной называется такая величина, которая в результате опыта может принимать различные значения, причем заранее неизвестно, какое именно, и известны вероятности, с которыми случайная величина принимает каждое конкретное значение.

Определение. Любое соотношение, устанавливающее связь между всеми возможными значениями случайной величины и их вероятностями, называется Законом распределения случайной величины.

Чтобы задать случайную величину, надо указать ее закон распределения. Случайные величины принято обозначать греческими буквами x, h, q, а их возможные значения – латинскими буквами с индексами Xi, Yi, Zi.

Пример 2.1. Обозначим буквой x число гербов, выпавших при подбрасывании монеты три раза. Это число зависит от случайных результатов подбрасывания и поэтому будет случайной величиной. В этом примере случайная величина x может принять четыре значения 0,1,2,3, но невозможно предсказать какое из них. Найдем вероятности этих значений. Пространство элементарных событий в этом примере состоит из восьми упорядоченных троек

=<ω1= ГГГ, ω2= ГГЦ, ω3= ГЦГ, ω4= ЦГГ, ω5= ГЦЦ, ω6= ЦГЦ, ω7= ЦЦГ, ω8= ЦЦЦ>,

Где Г Обозначает выпадение герба при одном подбрасывании, а Ц – Выпадение цифры.

Обозначим через АI Событие, в котором при подбрасывании монеты появились I Гербов ( I=0,1,2,3). Каждое событие АI является составным событием и содержит все элементарные события ωi, которые привели к появлению I Гербов:

АI=<>.

A0=<>=<ЦЦЦ>, A1=<>=<ГЦЦ, ЦГЦ, ЦЦГ>,

A2=<>=<ГГЦ, ГЦГ, ЦГГ>, A3=<>=<ЦЦЦ>.

Дополнительно предположим, что подбрасывают правильную монету. Тогда из независимости испытаний следует, что вероятность каждого элементарного события ωI Равна **=. Из классического определения вероятности события Ai имеют вероятности, равные

P0 =P(A0)= P<ЦЦЦ>=, P1=P(A1)=P<ГЦЦ, ЦГЦ, ЦЦГ> = ,

P2=P(A2)=P<ГГЦ,ГЦГ,ЦГГ>=, p3=P(A3)=P<ЦЦЦ>= .

Отметим, что все события Ai несовместны и составляют пространство элементарных несовместных событий , т. е.

Из аксиом вероятности следует равенство

Составим таблицу из полученных возможных значений этой случайной величины и соответствующих вероятностей :

Источник

Случайные величины и способы их описания

1. Дискретные и непрерывные случайные величины.

Среди задач, решаемых ТВ, очень много таких, в которых исход опыта выражается некоторым числом.

Случайной величиной (СВ) называется величина, которая при каждом осуществлении опыта принимает то или иное числовое значение, заранее неизвестно, какое именно.

Обозначение: X, Y, Z,… — случайные величины. Возможные значения случайных величин: x, y, z,… Каждой случайной величине соответствует некоторое множество возможных значений.

Примеры: 1) Опыт — бросание игрального кубика. СВ — число выпавших очков на верхней грани. Возможные значения: 1,2,3,4,5,6.

2) Покупается n лотерейных билетов. СВ – число выигрышей. Возможные значения: 0,1,2,…,n

3) Электрическая лампочка испытывается на длительность горения. СВ – длительность горения лампочки. Возможные значения: любое неотрицательное число.

4) Некто приходит на станцию метро и ожидает поезда. СВ – время ожидания ближайшего поезда. Возможные значения: [0;2мин].

Из примеров видно, что СВ различаются по множеству возможных значений.

Случайная величина называется дискретной(ДСВ), если множество её возможных значений счетно (в частности конечно), то есть может быть занумеровано. Примеры 1, 2 – ДСВ.

Случайная величина называется непрерывной (НСВ), если её возможные значения сплошь заполняют некоторый промежуток (или несколько промежутков) числовой оси. Примеры 3, 4 – НСВ. Различные СВ могут иметь одно и то же множество возможных значений. Поэтому для полного описания СВ необходимо знать, как часто СВ принимает то или иное свое значение.

2. Законы распределения СВ.

Законом распределения СВ называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями СВ и соответствующими им вероятностями.

Закон распределения ДСВ.

Для ДСВ закон распределения можно задать таблично, аналитически и графически.

1) Табличный способ – это таблица, в которой перечислены в порядке возрастания все возможные значения СВ и соответствующие вероятности принятия этих значений.

х1 х2 … хi … хn … …

)

Эта таблица называется ряд распределения ДСВ.

(так как события X=; X=; …; X=образуют полную группу)

Если множество возможных значений случайной величины бесконечно (но счетно), то ряд сходится, и его сумма = 1.

Опыт — бросание игрального кубика. СВ — число выпавших очков на верхней грани. Ряд распределения:

хi
	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

2) Аналитический способ – задаётся формула, по которой находится вероятность каждого возможного значения случайной величины.

Например, если опыт проводится по схеме Бернулли, то вероятности возможных значений могут быть найдены по формуле:

3) Графический способ.

Закон распределения можно изобразить графически, если по оси абсцисс откладывать значения СВ, а по оси ординат – их вероятности. Соединив точки (отрезками прямых, получим ломаную, называемую многоугольником или полигоном распределения вероятностей.

Закон распределения НСВ.

Под законом распределения НСВ понимают задание функции f(x), называемой плотностью распределения вероятности, такой, что вероятность попадания СВ в промежуток [a;b] равна P(a≤X≤b)=.

Свойства плотности вероятности:

1) f(x)≥0 (следует из аксиом вероятности);

2) (вероятность достоверного события);

3) P(X=a)= (для НСВ говорят о вероятности попасть в промежуток, вероятность попасть в точку принимают = 0) =>

P(a ≤ X ≤ b) = P(a

4) F(x) – неубывающая функция;

F(x)=x |.

4. Операции над СВ.

Введём математические операции над ДСВ. Для НСВ вводится аналогично.

Пусть X — ДСВ, принимающая возможные значения с вероятностями , то есть =. Пусть Y — ДСВ, принимающая возможные значения с вероятностями , то есть P(Y=.

Произведением ДСВ X и постоянной величины С, называется ДСВ С∙Х, которая принимает возможные значения C∙с теми же вероятностями

Суммой двух ДСВ X и Y называется ДСВ X+Y, которая принимает возможные значения с вероятностями ).

Произведением двух ДСВ X и Y называется ДСВ X∙Y, которая принимает возможные значения с вероятностями .

Две СВ называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая случайная величина.

Для независимых СВ X и Y выполняется:

Пусть дана ДСВ Х и функция φ(x), определенная на всей вещественной оси, тогда функцией от ДСВ Х называется ДСВ Y= φ(Х), которая принимает возможные значения с вероятностями

(где сумма по всем k таким, что значения φ(совпадают со значением ).

Пример: пусть даны дискретные случайные величины

0,4

0,6

-1
0,3	0,7

Тогда ДСВ 5X будет иметь ряд распределения:

Источник