Способы описания движения материальной точки уравнение движения

Три способа описания движения материальной точки. Векторный способ. Определение скорости и ускорения

Теоретическая механика как наука. Три основных раздела ТМ. Кинематика. Основные задачи кинематики.

Теоретическая механика – наука об общих законах механических взаимодействий между материальными телами, а также об общих законах движения тел по отношению друг к другу.

Теоретическая механика, преподаваемая в техническом вузе, содержит три раздела: кинематику, статику и динамику:

Кинематика – часть механики, в которой изучаются зависимости между величинами, характеризующими состояние движения систем, но не рассматриваются причины, вызывающие изменение состояния движения.

Статика – это учение о равновесии совокупности тел некоторой системы отсчета.

Динамика – часть механики, в которой рассматривается влияние сил на состояние движения систем материальных объектов.

Основная задача кинематики заключается в установлении (при помощи тех или иных математических методов) способов задания движения точек или тел и в определении по уравнениям их движений соответствующих кинематических характеристик движения, таких, как траектории, скорости и ускорения движущихся точек, угловые скорости и угловые ускорения вращающихся тел и др.

Три способа описания движения материальной точки. Векторный способ. Определение скорости и ускорения.

Естественный способ. Этим способом пользуются, если из­вестна траектория движения точки. Траекторией называется совокупность точек пространства, через которые проходит движущаяся материальная частица. Это линия, которую она вычерчивает в пространстве.

Координатный способ. Будем задавать положение точки с помощью координат. Если точка движется, то ее координаты изменяются с течением времени. Так как координаты точки зависят от времени, то можно сказать, что они являются функциями времени. В зависимости от формы траектории все движения точки делятся на прямолинейные и криволинейные. Если траекторией является прямая линия, движение точки называется прямолинейным, а если кривая — криволинейным.

Математически это принято записывать в виде:

Векторный способ. Положение точки можно задать, как известно, и с помощью радиус-вектора. При движении материальной точки радиус-вектор, определяющий ее положение, с течением времени изменяется, т. е. является функцией времени: r=r(t) (стрелочки над ними нужны). Одна такая функция равняется трем функциям (1.1). Если ввести единичные векторы i, j, k ( i = j = k = 1), направленные соответственно вдоль осей x, y и z то, очевидно, закон движения может быть представлен в виде:

r(t) = x(t)i + y(t)j + z(t)k.

Преимущество векторной формы записи перед координатной в компактности (вместо трех величин оперируют с одной) и часто в большей наглядности.

Источник

Способы описания движения материальной точки уравнение движения

Движение. Виды движений. Описание движения. Система отсчета.

Механическим движением тела (точки) называется изменение его положения в пространстве относительно других тел с течением времени.

А) Равномерное прямолинейное движение материальной точки.

Б) Равноускоренное прямолинейное движение материальной точки.

В) Движение тела по дуге окружности с постоянной по модулю скоростью.

Г) Гармоническое колебательное движение. Важным случаем механического движения являются колебания, при которых параметры движения точки (координаты, скорость, ускорение) повторяются через определенные промежутки времени.

1. Векторный способ описания движения

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Векторный способ описания движения – это описание изменения радиус-вектора материальной точки в пространстве с течением времени.

Рассмотрим движение точки М в некоторой системе отсчета Oxyz (рис.1). Зададим радиус-вектор точки r — вектор, соединяющий начало координат с этой точкой.

При движении точки M вектор r будет с течением времени изменяться, т.е. будет каким-то образом зависеть от времени. Эта зависимость r = r ( t ) представляет собой закон движения в векторном виде.

В процессе движения конец радиус-вектора будет описывать траекторию, а его изменение – перемещение s точки.

2. Координатный способ описания движения

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Координатный способ описания движения – описание изменения во времени координат точки в выбранной системе отсчета.

В декартовой системе координат положение точки определяется тройкой чисел ( x , y , z ) — ее декартовыми координатами.

Чтобы задать закон движения точки, необходимо знать значения ее координат в каждый момент времени. Закон движения в координатном виде в общем случае представляет собой систему трех уравнений: x = x ( t ), y = y ( t ), z = z ( t )

Между векторным и координатным способом описания движения существует непосредственная связь, а именно: числовые значения проекций радиус-вектора движущейся точки на координатные оси системы с тем же началом отсчета равны координатам точки: r_x = x , r_y = y , r_z = z .

3. Естественный способ описания движения

ОПРЕДЕЛЕНИЕ: Естественный способ описания движения – описание движения вдоль траектории. Этим способом пользуются, когда траектория точки заранее известна.

Пусть точка М движется вдоль траектории АВ в системе отсчета Oxyz (рис.3). Выберем на траектории какую-нибудь неподвижную точку О 1 , которую будем считать началом отсчета, и определим положительное и отрицательное направления. Тогда положение точки M будет определяться расстоянием S от точки О 1 . При движении точка М переместится в точку М 1 , соответственно изменится ее расстояние от точки О 1 . Таким образом, расстояние S зависит от времени, а характер этой зависимости позволит определить положение точки М на траектории в любой момент времени. Закон движения в этом случае имеет вид: s = s ( t ) .

Под системой отсчета понимают тело отсчета, которое условно считается неподвижным, систему координат, связанную с телом отсчета, и часы, также связанные с телом отсчета. В кинематике система отсчета выбирается в соответствии с конкретными условиями задачи описания движения тела.

Источник

Уравнение движения материальной точки

Движение материальной точки в пространстве – это изменение ее положения относительно других тел с течением времени.

Имеет смысл говорить только о движении в некоторой системе отсчета.

Система отсчета. Системы координат

Точки, располагаемые в пустом пространстве, не различаются. Поэтому о точке рассуждают при условии нахождения в ней материальной точки. Определить ее положение можно при помощи измерений в системе координат, где и проводится нахождение пространственных координат. Если рассматривать в виде примера поверхность Земли, то следует учитывать широту и долготу располагаемой точки.

В теории используется декартова прямоугольная система координат, где определение точки возможно при наличии радиус-вектора r и трех проекций x , y , z – ее координат. Могут быть применены другие:

• сферическая система с положением точек и ее радиус-вектором, определенных координатами r , υ , φ ;
• цилиндрическая система с координатами p , z , α ;
• на полярной плоскости с параметрами r , φ .

В теории зачастую не принимают во внимание реальную систему отсчета, а сохраняют только ту, которая представляет собой ее математическую модель, применяемую во время практических измерений.

Кинематическое уравнение движения материальной точки

Любая система отсчета или координат предполагает определение координат материальной точки в любой момент времени.

При условии положения и определения материальной точки в данной системе отсчета считается, что ее движение задано или описано.

Это возможно при использовании кинематического уравнения движения:

Аналитически положение точки определяется совокупностью трех независимых между собой чисел. Иначе говоря, свободная точка имеет три степени свободы движения.

Ее перемещение по уравнению ( 1 ) определено, если имеется указанное положение в любой момент времени t . Для этого следует задавать декартовы координаты точки в качестве однозначных и непрерывных функций времени:

x ( t ) = x , y ( t ) = y , z ( t ) = z ( 2 ) .

Прямоугольные декартовы координаты x , y , z — это проекции радиус-вектора r ¯ , проведенного из начала координат. Очевидно, что длину и направление r ¯ можно найти из соотношений, где a , β , γ являются образованными радиус-вектором углами с координатными осями.

Равенства ( 2 ) считают кинематическими уравнениями движения материальной точки в декартовых координатах.

Они могут быть записаны в другой системе координат, которая связана с декартовой взаимно однозначным преобразованием. Если движение точки происходит в плоскости О х у , тогда применимы полярные координаты r , φ , относящиеся к декартовым преобразованиям. Данный случай подразумевает использование уравнения движения точки следующего вида:

r = r ( t ) , φ = φ ( t ) ( 3 ) .

Кинематическое уравнение движения точки в криволинейных координатах q 1 , q 2 , q 3 , связанных с декартовыми преобразованиями вида x = x ( q 1 , q 2 , q 3 ) , y = y ( q 1 , q 2 , q 3 ) , z = z ( q 1 , q 2 , q 3 ) ( 4 ) , записывается как

q 1 = q 1 ( t ) , q 2 = q 2 ( t ) , q 3 = q 3 ( t ) ( 5 ) .

Кривая радиус-вектора, описываемая концом вектора r при движении точки, совпадает с ее траекторией. Параметрическое уравнение траектории с t представлено кинематическими уравнениями ( 2 ) , ( 5 ) . Чтобы получить координатное уравнение траектории следует исключить время из кинематических уравнений.

Определение движения точки возможно с помощью задания траектории и мгновенного положения точки на ней. Ее положение на кривой определяется с помощью указания только одной величины: расстояния вдоль кривой от некоторой начальной точки с положительным направлением:

Это и есть уравнение движения точки по траектории. Способ его задания относят к естественному или траекторному.

Понятия координатного и естественного способа задания движения точки физически эквивалентны. С математической стороны это рассматривают как возможность применения разных методов, исходя из случая математической задачи.

Задание такого закона возможно аналитическим, графическим путем или с использованием таблицы, последние два из которых зачастую рассматривают в виде графиков и расписаний движений поездов.

Дано уравнение движения материальной точки x = 0 , 4 t 2 . Произвести запись формулы зависимости υ x ( t ) , построить график зависимости скорости от времени. На графике отметить площадь, численно равную пути, пройденному точкой за 4 секунды, произвести вычисление.

Дано: x = 0 , 4 t 2 , t = 4 c

Найти: υ x ( t ) , S — ?

Решение

При решении необходимо учитывать зависимость скорости от времени:

υ x = υ 0 x + a x t .

Зависимость координаты от времени и сравнение уравнения с заданным принимает вид:

x = x 0 + υ 0 x t + a x t 2 2 , x = 0 , 4 t 2 .

Очевидно, что x 0 = 0 , υ 0 x = 0 , a x = 0 , 8 м / с 2 .

После подстановки данных в уравнение:

Определим точки, изобразим график:

υ x = 0 , t = 0 , υ x = 4 , t = 5

Путь, по которому двигалось тело, равняется площади фигуры, ограниченной графиком, и находится с помощью формулы:

Источник

Способы описания движения материальной точки уравнение движения

«Физика — 10 класс»

Какими величинами можно описать механическое движение тела?

Если тело можно считать точкой, то для описания его движения нужно научиться рассчитывать положение точки в любой момент времени относительно выбранного тела отсчёта.

Существует несколько способов описания, или, что одно и то же, задания движения точки. Рассмотрим два из них, которые наиболее часто применяются.

Координатный способ.

Будем задавать положение точки с помощью координат. Если точка движется, то её координаты изменяются с течением времени. Так как координаты точки зависят от времени, то можно сказать, что они являются функциями времени.

Математически это принято записывать в виде

Уравнения (1.1) называют кинематическими уравнениями движения точки, записанными в координатной форме.

Если уравнения движения известны, то для каждого момента времени мы сможем рассчитать координаты точки, а следовательно, и её положение относительно выбранного тела отсчёта. Вид уравнений для каждого конкретного движения будет вполне определённым.

Основной задачей кинематики является определение уравнения движения тел.

Количество выбираемых для описания движения координат зависит от условий задачи. Если движение точки происходит вдоль прямой, то достаточно одной координаты и, следовательно, одного уравнения, например, x(t). Если движение происходит на плоскости, то его можно описать двумя уравнениями — x(t) и y(t). Уравнения описывают движение точки в пространстве.

Векторный способ.

Положение точки можно задать, и с помощью радиус-вектора.

Радиус-вектор — это направленный отрезок, проведённый из начала координат в данную точку.

При движении материальной точки радиус-вектор, определяющий её положение, с течением времени изменяется (поворачивается и меняет длину), т. е. является функцией времени:

= (t)

На рисунке радиус-вектор определяет положение точки в момент времени t₁, а радиус-вектор ₂ — в момент времени t₂.

Вышеприведенная формула и есть уравнение движения точки, записанное в векторной форме.

Если оно известно, то мы можем для любого момента времени рассчитать радиус-вектор точки, а значит, определить её положение.

Задание трёх скалярных уравнений равносильно заданию одного векторного уравнения.

Итак, мы знаем, что положение точки в пространстве определяется её координатами или её радиус-вектором.

Модуль и направление любого вектора находят по его проекциям на оси координат. Чтобы понять, как это делается, вначале необходимо ответить на вопрос: что понимают под проекцией вектора на ось?

Изобразим ось ОХ. Опустим из начала А и конца В вектора перпендикуляры на ось ОХ. Точки А₁ и В₁ есть проекции соответственно начала и конца вектора на эту ось.

Проекция вектора

Проекцией вектора на какую-либо ось называется длина отрезка А₁В₁ между проекциями начала и конца вектора на эту ось, взятая со знаком «+» или «—».

Проекцию вектора мы будем обозначать той же буквой, что и вектор, но, во-первых, без стрелки над ней и, во-вторых, с индексом внизу, указывающим, на какую ось проецируется вектор. Так, а_х и а_у — проекции вектора на оси координат ОХ и OY.

Согласно определению проекции вектора на ось можно записать:

Проекция вектора на ось представляет собой алгебраическую величину. Она выражается в тех же единицах, что и модуль вектора.

Условимся считать проекцию вектора на ось положительной, если от проекции начала вектора к проекции его конца надо идти в положительном направлении оси проекций.
В противном случае она считается отрицательной.

Проекция вектора на ось будет положительной, когда вектор составляет острый угол φ с направлением оси проекций, и отрицательной, когда вектор составляет с направлением оси проекции тупой угол φ.

Иногда нужно находить составляющие вектора, например векторы _x, и _y.

Сумма составляющих равна вектору :

= _x + _y.

Источник: «Физика — 10 класс», 2014, учебник Мякишев, Буховцев, Сотский

Кинематика — Физика, учебник для 10 класса — Класс!ная физика

Источник