ГЛАВА 7 КРИВЫЕ ЛИНИИ

Способы образования кривых линий ≈ Классификация кривых линий ≈ Способы задания кривых линий ≈ Касательная и нормаль к кривой линии ≈ Уравнения касательной и нормали ≈ Вектор-функция ≈ Кривизна кривой ≈ Круг кривизны ≈ Эволюта и эвольвента ≈ Кривизна окружности ≈ Кривые линии второго порядка ≈ Эллипс ≈ Парабола ≈ Гипербола ≈ Конические сечения ≈ Проекции кривых линий ≈ Эллипс – фигура, родственная окружности ≈ Окружность в плоскости общего положения ≈ Определение величины малой оси эллипса с помощью понятия родственного соответствия ≈ Определение величины малой оси эллипса методом замены плоскостей проекций ≈ Определение величины малой оси эллипса с применением линии наибольшего наклона

Инженеры для задания очертаний проектируемых изделий, а также деталей, входящих в них, широко применяют поверхности, получаемые кинематическим способом: поверхность образуется движением некоторой линии, которая, перемещаясь в пространстве по определенному закону, может менять свою форму. Свойства поверхности в этом случае во многом зависят от такой линии – ее непрерывности, гладкости и т. п. В связи с этим инженерупроектировщику необходимо уметь конструировать плоские и пространственные линии нужного качества.

Общее определение кривой представляет трудности, поэтому термин «кривая» в разных разделах математики дается по-разному и имеет свое, более конкретное выражение. Так, например, в геометрии кривая – это множество точек пространства, координаты которых являются функциями одной пере-

Г л а в а 7. Кривые линии

менной. В начертательной геометрии кривую рассматривают в зависимости от способа ее образования. Таких способов существует несколько. Рассмотрим некоторые из них.

1. СПОСОБЫ ОБРАЗОВАНИЯ КРИВЫХ ЛИНИЙ

Кривая линия может быть образована:

• как траектория точки, движущейся в плоскости или в пространстве. За такую точку может быть принято острие карандаша или ручки, проводящее линию на листе бумаги, летящий метеорит, снаряд, самолет и другой движущийся объект. Это кинематический способ образования кривой;

• как замена исходного дискретного множества точек, указанных какимлибо образом, например, в результате экспериментов, или являющихся узловыми точками контура объекта, заданного проектировщиком, т. е. кривой линией, обладающей определенными свойствами. Это образование кривой назы-

• как огибающая движущейся в пространстве прямой линии;

• как результат пересечения двух поверхностей, из которых хотя бы одна – кривая;

• как результат пересечения кривой поверхности плоскостью.

2. КЛАССИФИКАЦИЯ КРИВЫХ ЛИНИЙ

Среди множества линий имеется всего лишь одна прямая линия и необозримое разнообразие различных кривых. Эти кривые линии можно подразделить по некоторым признакам, хотя единой классификации нет. Так, например, по расположению в пространстве кривые линии разделяют на два класса: плоские и пространственные. Пример плоской кривой – окружность, пример пространственной кривой – винтовая линия, ее невозможно разместить в одной плоскости.

По возможности описания кривые линии разделяют на закономерные и незакономерные. В свою очередь закономерные линии подразделяют на алгебраические (задаются в декартовых координатах алгебраическими уравнениями

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИНЖЕНЕРНОЙ ГРАФИКИ

f ( x , y ) = 0 , где

f ( x , y ) – целый многочлен), например эллипс, парабола, ги-

пербола, и трансцендентные (задаются неалгебраическими уравнениями), например, синусоиды, спираль Архимеда и др.

(Трансцендентное число – иррациональное число, не могущее быть корнем никакого алгебраического уравнения с целыми коэффициентами, например, числа π , e – иррациональные (трансцендентные.)

Незакономерные кривые линии задаются только графически. Алгебраические кривые подразделяют по порядку, классу и роду (жанру) * . Порядок кривой: алгебраически – высшая степень уравнения; геометри-

чески – максимальное число точек пересечения с прямой линией (рис. 1).

Источник

Способы образования кривых

Теория конических сечений. Задача о квадратуре сегмента параболы. Исследование геометрических свойств кривых. Декартов лист, кривые третьего порядка. Уравнение строфоиды в полярной системе координат. Овалы Кассини, улитка Паскаля, лемниската Бернулли.

Рубрика	Математика
Вид	реферат
Язык	русский
Дата добавления	15.10.2012
Размер файла	856,3 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

ВВЕДЕНИЕ

1. СПОСОБЫ ОБРАЗОВАНИЯ КРИВЫХ

2. КРИВЫЕ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА

3. КРИВЫЕ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

ВВЕДЕНИЕ

Что послужило поводом к этому открытию? Может быть, поиски решения знаменитой делосской задачи об удвоении куба, может быть практический вопрос о том, насколько должен быть вытянут овал, находящийся в качестве архитектурного сооружения на фронтоне здания, чтобы с известного места перед зданием он казался кругом.

Есть данные полагать, что Менехм знал свойства параболы и гиперболы, выражаемые в наши дни равенствами =2px и xy=c, и использовал эти свойства для делосской задачи удвоения куба. К сожалению это первое сочинение по теории конических сечений было утеряно. Также не дошла до нас работа греческого геометра Аристея, написавшего пять книг о пространственных местах», из которых много заимствовал Евклид для своей также утраченной) работы о конических сечениях.

Архимед решил задачу о квадратуре сегмента параболы. Сравнивая фигуры, вписанные в эллипс и в окружность, построенную на большой оси эллипса как на диаметре, он определил и площадь эллипса.

Однако все сведения о конических сечениях были ещё разрозненны. Первая методическая обработка конических сечений принадлежит Аполлонию Пергскому (3 — 2 в. до н.э.). Это был трактат «О конических сечениях». В своём трактате Аполлоний систематизировал всё, что было известно до него, и открыл ряд важных свойств, установил их названия.

Но не только конические сечения открыты греками. Ряд математиков в поисках решения великих проблем древности — задачи о трисекции угла, об удвоении куба и о квадратуре круга — использовал для образования кривых идею движения. Так возникли спираль Архимеда, циклоида, квадратрисса Динострата. В то же время первоначальный метод — образование кривых путём рассечения поверхности плоскостью был использован для образования кривых Персея как сечений тора.

В эпоху средневековья великие достижения греческих учёных были забыты.

К кривым математическая наука обратилась только в 17 веке, в связи с созданием аналитической геометрии.

1637 год — одна из великих дат в истории математики — год появления книги Р. Декарта «Геометрия», в которой были изложены основы метода координат. Открытие этого метода для исследования кривых было фактом первостепенного значения. Метод координат не только создал общий, единообразный способ символического задания каждой кривой в виде соответствующего ей уравнения, он давал также неограниченную возможность беспредельно увеличивать количество изучаемых кривых, поскольку каждое произвольно записанное уравнение, связывающее между собой две переменные величины, представляло теперь, вообще говоря, новую кривую.

Открытие метода координат подготовило в свою очередь открытие могущественного метода науки — исчисления бесконечно малых. Рождение дифференциального и интегрального исчисления имело особо важное значение для изучения свойств кривых. В связи с многочисленными проблемами механики, астрономии, геодезии, оптики, возникшие в 17 — 18 в., стимулировали интерес к исследованию инфинитезимальных свойств линий. Эти проблемы привели к открытию новых линий. Роберваль и Паскаль показывают, что дуга спирали Архимеда равна дуге параболы, выбранной определённым образом и что, следовательно, задача спрямления спирали идентична задаче спрямления параболы. Ферма обобщает это предложение на алгебраические спирали высших порядков, устанавливая, что их спрямление сводится к спрямлению парабол высших порядков. Нейль открывает алгебраическую кривую, которая спрямляется алгебраически (парабола Нейля). К этому же времени относится спрямление логарифмической спирали, выполненное Торичелли, спрямление эпи- и гипоциклоид, выполненное Де ла Гиром. Фаньяно в 1714 году, исследуя вопрос о спрямлении лемнискаты, заложил основы теории эллиптических функций.

Наряду с исследованием геометрических свойств кривых исследуются и их механические свойства. Гюйгенс открывает изохронность циклоиды. И. Бернулли показывает, что циклоида является брахистохроной в пустом пространстве. Исследуются механические свойства параболы Нейля, цепной линии, овалов Кассини, овалов Декарта и целого ряда других теперь хорошо известных кривых.

Не только практические потребности века — запросы промышленности, конструирование машин и механизмов, постройка плотин и шлюзов — постоянный и глубокий интерес к исследованию кривых у этих учёных, но и та «радость созерцания формы», которая, по словам Клейна, характеризует истинного геометра.

Увлечение аналитическим методом исследования кривых, особенно характерное для 17 века, с течением времени вызвало реакцию со стороны некоторых учёных. Как недостаток этого метода отмечалось то обстоятельство, что употребление его не раскрывает естественного происхождения кривой, так как объектом исследования фактически является не сама кривая, а соответствующее ей уравнение. Плодотворные попытки возвратиться к синтетическому методу древних породили новое направление в исследовании свойств кривых второго порядка. Первые достижения здесь связываются с именами Дезарга и Паскаля. Дезарг, исследуя проективные свойства фигур и используя установленное им понятие инволюции, обогатил теорию кривых второго порядка новыми открытиями. Пскаль открывает свою знаменитую теорему о соотношении между шестью точками конического сечения, согласно которой во всяком шестиугольнике, вписанном в кривую второго порядка, точки пересечения противоположных сторон лежат на одной прямой. Де ла Гир приходит к важному предложению о том, что директриса кривой второго порядка является полярой её фокуса.

Новые методы исследования свойств кривых второго порядка развиваются в 19 столетии. Брианшон доказывает теорему, двойственную теореме Паскаля, и изучает проективные свойства гиперболы. Понселе исследует кривые второго порядка с помощью открытого им метода проективных соответствий. Штейнер и Шаль исследуют проективные свойства этих кривых на основе понятия двойного отношения и рассматривают их как производные от образов первой ступени.

Критика аналитического метода исследования формы и свойств кривых была основана, как было уже сказано, на том обстоятельстве, что при пользовании этим методом отсутствует наглядный образ этой кривой и исчезают геометрические построения. Она дополнялась и другими соображениями. Указывалось, что система координат является посторонним элементом исследования, с которым кривая связывается искусственно.

Крупнейшим достижением этого направления в исследовании кривых было создание общей теории алгебраических кривых. Особые достижения в развитии этой теории связываются с именем Плюккера. Однако в алгебраической геометрии полностью отрешиться от системы координат как постороннего элемента всё-таки не удалось.

В заключение о плодотворной идее использования векторного аппарата при исследовании свойств линий, которая связывается с именем Грассмана, и о топологическом методе исследования кривых, имеющих наиболее сложные формы.

СПОСОБЫ ОБРАЗОВАНИЯ КРИВЫХ

Исследование особенностей формы кривой и её свойств средствами дифференциальной геометрии возможно, когда кривая выражена в аналитической форме, т.е. уравнением. Однако, прежде чем исследовать уравнение кривой, необходимо его составить на основании некоторых данных. Для этого надо рассмотреть способы образования кривых.

Кривая определяется как линия пересечения данной поверхности и плоскостью

В истории развития учения о кривых этот способ является первым. Греки определяли кривые второго порядка как сечения кругового конуса. Таково же происхождение кривых Персея, получаемых в результате сечений плоскостью поверхности тора. Эвольвента круга может быть определена как линия пересечения поверхности касательных к винтовой линии, перпендикулярной к её оси и т.д.

Кривая определяется как геометрическое место точек.

Этот способ особенно употребителен. Он широко практиковался ещё греческими математиками; так Евклид рассматривал конические сечения как геометрические места точек, сохраняющих постоянное отношение расстояний от данной точки и от данной прямой. Как геометрическое место точек была определена Диоклесом его циссоида. Таким же способом определяет Никомед конхоиду. Такие линии, как овалы Декарта, овалы Кассини, улитка Паскаля, строфоида, верзиера и целый ряд других кривых, определяются обычно как геометрические места.

Кривая определяется как траектория точки.

Кинематический способ образования линий был также хорошо известен греческим учёным. Как траекторию точки, участвующей одновременно в двух равномерных движениях, одно из которых совершается по прямой, а другое — по окружности, определил Архимед свою спираль. Все циклоидальные кривые являются траекториями точки, жёстко связанной с кругом, который катится без скольжения по окружности другого круга. Кинематическим путём определяется квадратриса Динострата как траектория точки пересечения вращающегося радиуса окружности с хордой, двигающейся параллельно самой себе. Лемниската Бернулли может быть определена как траектория середины большого звена шарнирного антипараллелограмма, противоположное звено которого закреплено. Кинематически определяются розы, кривые скольжения и многие другие линии. Кинематический способ задания кривой полагался Декартом в основу определения кривых методом координат.

Кривая определяется заданием её дифференциальных свойств.

Непосредственно задаваемое по условию задачи или вытекающее из этого условия соотношение между бесконечно малыми элементами кривой выражается сначала в виде некоторого дифференциального уравнения. Последующее интегрирование этого уравнения приводит к обычному уравнению искомой кривой. Такой способ определения уравнения кривой характерен для многочисленных задач геометрии, механики, физики, техники. Так показательная кривая может быть определена как линия, у которой подкасательная для всех точек имеет одно и то же значение. Трактриса характеризуется постоянством длины касательной. Радиоидальная спираль определяется как линия, для которой радиус кривизны обратно пропорционален длине дуги. На основании геометрических соображений и законов механики выводятся дифференциальные уравнения цепной линии, изогнутой оси балки и т.д.

Кривая определяется как линия, получаемая в результате того или иного геометрического преобразования уже известной кривой.

Этот способ образования кривых является наиболее эффективным. Он не только даёт неиссякаемые средства для определения новых кривых, но и позволяет определять свойства но вой кривой как отражение свойств преобразуемой кривой.

К числу основных геометрических преобразований относятся аффинное, проективное, инверсия, квадратичное, двойственное, касательное.

2. КРИВЫЕ ТРЕТЬЕГО ПОРЯДКА

В общем случае уравнение кривой линии третьего порядка можно записать так: х3+а1у3+а2х2у+а3ху2+а4х2+а5у2+а6ху+а7х+а8у+а9=0.

Декартовым листом называется кривая 3-го порядка. Уравнение в прямоугольных координатах: x3 + y3 — 3аху = 0. Координаты х и у входят в уравнение декартова листа симметрично, откуда следует, что кривая симметрична относительно биссектрисы у=х.

Историческая справка. Впервые в истории математики кривая, названная впоследствии декартовым листом, определяется в письме Декарта к Ферма в 1638 г. как кривая, для которой сумма объемов кубов, построенных на абсциссе и ординате каждой точки, равняется объему параллелепипеда, построенного на абсциссе, ординате и некоторой константе. Форма кривой устанавливается впервые Робервалем, который находит узловую точку кривой, однако в его представлении кривая состоит лишь из петли. Повторяя эту петлю в четырех квадрантах, он получает фигуру, напоминающую ему цветок с четырьмя лепестками. Поэтическое название кривой «лепесток жасмина», однако, не привилось. Полная форма кривой с наличием асимптоты, проходящей через точки ( —а, 0) и (0, —а), была определена позднее (1692) Гюйгенсом и И. Бернулли. Название «декартов лист» прочно установилось только с начала 18 века.

Пусть имеется круг с диаметром OC = -а и отрезок BDM, построенный так, что ОВ : BD = OC : ВМ; геометрическое место точек М представляет собой локон Аньези (или верзиеру). уравнение в прямоугольных координатах: у = a3/(a2 + x2). Исследование этой К. связано с именем итальянской женщины-математика Марии Аньези (1748).

Аньйзи Мария Гаэтана (Agnesi Maria Gaetana), род. 16.05.1718, Милан — ум. 09.01.1799, там же. Итальянский математик, профессор университета в Болонье (с 1750). Сочинение Аньези «Основания анализа для употребления итальянского юношества» («Instituzioni analitiche ad uso della gioventъ italiana», v.1-2, Mil., 1748) содержит изложение аналитической геометрии, в частности там рассмотрена кривая третьего порядка, названная «локоном Аньези» (или верзиера), уравнение которой y=a3 / (x2 +a2) .

Для того чтобы построить эту линию, надо нарисовать окружность радиусом a с центром в точке (0,a). Затем из начала координат проводят прямые и отмечают две точки. Точка А (;) — точка пересечения прямой и окружности, точка B (2а) точка пересечения прямой и верхней горизонтальной касательной к окружности. Затем строится точка кривой (;).

Английский математик Джон Колсон взял на себя труд переводить «Начала анализа» с итальянского. Однако для него, европейца XVIII века, было нелегко воспринять, что автор книги — женщина, и что для нее, для автора, кривая может ассоциироваться с прической. В результате в англоязычной литературе кривая получила название — witch of Agnesi. — что-то из области полетов на лысую гору.

Строфоида (от греч. strуphos — кручёная лента и йidos — вид)

Пусть имеется неподвижная прямая АВ и точка С вне её на расстоянии CO = а; вокруг С вращается прямая, пересекающая АВ в переменной точке N. Если от точки N отложить по обе стороны прямой АВ отрезки NM = NM’ = NO, то геометрическое место точек М и М’ для всех положений вращающегося луча CN и есть строфоида. Уравнение в прямоугольных координатах:

в полярных координатах:

r = —a cos 2j/cosj.

Уравнение строфоиды в полярной системе координат:

Параметрическое уравнение строфоиды:

Площадь петли строфоиды слева от оси ординат

Площадь между строфоидой и асимптотой справа от оси ординат

Считается, что строфоида впервые была рассмотрена французским математиком Жилем Робервалем в 1645 году. Роберваль называл эту кривую — «птероида» (от греч. рфеспн— крыло). Название «строфоида» было введено в 1849 году.

3. КРИВЫЕ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА

парабола кривая геометрический координата

Кардиоида (от греч. kardнa — сердце и йidos — вид)

Кардиоида впервые встречается в трудах французского учёного Луи Карре (Louis Carrи, 1705 г.). Название кривой дал Джованни Сальвемини ди Кастиллоне (Giovanni Salvemini di Castiglione, упоминается также как Johann Francesco Melchiore Salvemini Castillon) в 1741 г.

«Спрямление», то есть вычисление длины кривой, выполнил Ла Ир (Philippe de La Hire), который открыл кривую независимо, в 1708 г. Также независимо описал кардиоиду голландский математик Й. Коерсма (J. Koersma, 1741 г.). В дальнейшем к кривой проявляли интерес многие видные математики XVIII-XIX веков.

Кардиоиду можно определить как траекторию точки, лежащей на окружности круга радиуса r, который катится по окружности неподвижного круга с таким же радиусом.

Уравнение в прямоугольных координатах: (x2 + y2 — 2ах)2 = 4a(x2 + y2); в полярных координатах: r = 2а (1 + cos j).

Лемниската Бернулли (от лат. lemniscatus, буквально — украшенный лентами)

Кривая, имеющая форму восьмёрки; геометрическое место точек, произведение расстояний которых от фокусов F1 ( — а, 0) и F2 (а, 0) равно а2. уравнение в прямоугольных координатах:(x2 + y2)2 — 2a2 (x2 — y2) =0, в полярных координатах: r2 = 2а2 cos 2j. Впервые рассматривалась Я. Бернулли (1694). Лемниската является частным случаем овалов Кассини и синус-спиралей.

Геометрические места точек М, произведение расстояний которых от двух данных точек постоянно. Пусть F1 и F2 точки на оси абсцисс, F1F2 = 2b, а произведение MF1ЧMF2 = а2. уравнение в прямоугольных координатах:

(x2 + y2)2 — 2b2 (x2 — y2) = a4 — b4.

Если , то овал Кассини — выпуклая кривая; если b 0 кривая состоит из m лепестков, каждый из которых лежит внутри угла, равного p/m, при рациональном m > 0 лепестки могут частично покрывать друг друга; если m

Источник