Способы обоснования истинности математических суждений

Способы обоснования истинности суждений

3.7. Способы обоснования истинности суждений

Непременным условием развивающего обучения является формирование у учащихся способности обосновывать (доказывать) те суждения, которые они высказывают. В практике эту способность обычно связывают с умением рассуждать, доказывать свою точку зрения.

Суждения бывают единичными: в них что–то утверждается или отрицается относительно одного предмета. Например: «Число 12 –четное; квадрат АВСD не имеет острых углов; уравнение 23–х = 30 не имеет решения (в рамках начальных классов) и т. д.».

Помимо единичных суждений различают суждения частные и общие. В частных что–то утверждается или отрицается относительно некоторой совокупности предметов из данного класса или относительно некоторого подмножества данного множества предметов. Например: «Уравнение х – 7 = 10 решается на основе взаимосвязи между уменьшаемым, вычитаемым и разностью». В этом суждении речь идет об уравнении частного вида, представляющего собой подмножество множества всех уравнений, изучаемых в начальных классах.

В общих суждениях что–то утверждается или отрицается относительно всех предметов данной совокупности. Например:

«В прямоугольнике противоположные стороны равны». Здесь речь идет о любом, т.е. о всех прямоугольниках. Поэтому суждение является общим, хотя в данном предложении слово «всех» отсутствует. Любое уравнение в начальных классах решается на основе взаимосвязи между результатами и компонентами арифметических действий. Это также общее суждение, так как охватывает всевозможные уравнения, встречающиеся в курсе математики начальных классов.

Предложения, выражающие суждения, могут быть различными по форме: утвердительными, отрицательными, условными (например: «если число оканчивается нулем, то оно делится на 10»).

Как известно, в математике все предложения, за исключением исходных, как правило, доказываются дедуктивно. Суть дедуктивных рассуждений сводится к тому, что на основе некоторого общего суждения о предметах данного класса и некоторого единичного суждения о данном объекте высказывается новое единичное суждение о том же объекте. Общее суждение принято называть общей посылкой, первое единичное суждение – частной посылкой, новое единичное суждение – заключением. Пусть, например, требуется решить уравнение: 7*x=14. Для нахождения неизвестного множителя используется правило: «Если значение произведения разделить на один множитель (известный), то получим другой (значение неизвестного множителя)».

Это правило (общее суждение) – общая посылка. В данном уравнении произведение равно 14, известный множитель 7. Это частная посылка.

Заключение: «нужно 14 разделить на 7, получим 2». Особенность дедуктивных рассуждений в начальных классах заключается в том, что они применяются в неявном виде, т. е. общая и частные посылки в большинстве случаев опускаются (не проговариваются), ученики сразу приступают к действию, которое соответствует заключению.

Поэтому, собственно, и создается впечатление, что дедуктивные рассуждения отсутствуют в курсе математики начальных классов.

Для сознательного выполнения дедуктивных умозаключений необходима большая подготовительная работа, направленная на усвоение вывода, закономерности, свойства в общем виде, связанная с развитием математической речи учащихся. Например, довольно длительная работа по усвоению принципа построения натурального ряда чисел позволяет учащимся овладеть правилом:

«Если к любому числу прибавить 1, то получим следующее за ним число; если из любого числа вычтем 1, то получим предшествующее ему число».

Составляя таблицы П+1 и П – 1, ученик фактически пользуется этим правилом как общей посылкой, выполняя тем самым дедуктивные рассуждения. Примером дедуктивных умозаключений в начальном обучении математике является и такое рассуждение:

«4 или =, чтобы получилась верная запись:

учащиеся предпочитают заменять рассуждения вычислениями:

125–87 . 127–87 246–93 . 249–93 584–121. 588– 121

4. Сравни выражения и поставь знаки или = :

304:8 . 3044 243:9 . 243:3 1088:4 . . 1088:2

5. Как быстро найти сумму в каждом столбике:

9999 12 15 12 16 30 30 32 32 40 40 40 40 Ответ: 91.

Таким образом, дедуктивные рассуждения могут являться одним из способов обоснования истинности суждений в начальном Курсе математики. Учитывая, что они доступны не всем младшим школьникам, в начальных классах используются и другие способы обоснования истинности суждений, которые в строгом смысле нельзя отнести к доказательствам. К ним относятся эксперимент, вычисления и измерения.

Эксперимент обычно связан с применением наглядности и предметных действий. Например, ребенок может обосновать суждение 7 > 6, выложив в одном ряду 7 кругов, под ним – 6. Установив между кругами первого и второго ряда взаимно–однозначное соответствие, он фактически обосновывает свое суждение (в первом ряду один круг без пары, «лишний», значит, 7>6). Ребенок может обращаться к предметным действиям и для обоснования истинности полученного результата при сложении, вычитании, умножении и делении, при ответе на вопросы: «На сколько одно число больше (меньше) другого?», «Во сколько раз одно число больше (меньше) другого?». Предметные действия могут быть заменены графическими рисунками и чертежами. Например, для обоснования результата деления 7:3=2 (ост.1) он может использовать рисунок:

Для формирования у учащихся умения обосновывать свои суждения полезно предлагать им задания на выбор способа действия (при этом оба способа могут быть: а) верными, б) неверными, в) один верным, другой неверным). В этом случае каждый предложенный способ выполнения задания можно рассматривать как суждение, для обоснования которого учащиеся должны использовать различные способы доказательств.

Например, при изучении темы «Единицы площади» учащимся предлагается задание (М2И):

Во сколько раз площадь прямоугольника АВСD больше прямоугольника КМЕО? Запиши ответ числовым равенством.

Маша записала такие равенства: 15:3=5, 30:6=5.

Миша – такое равенство: 60:12=5.

Кто из них прав? Как рассуждали Миша и Маша?

Для обоснования суждений, высказанных Мишей и Машей, учащиеся могут использовать как способ дедуктивных рассуждений, где в качестве общей посылки выступает правило кратного сравнения чисел, так и практический. В этом случае они опираются на приведенный рисунок.

Предлагая способ решения задачи, учащиеся также высказывают суждения, используя для их доказательства математическое содержание, данное в сюжете задачи. Прием выбора готовых суждений активизирует эту деятельность. В качестве примера можно привести такие задания:

Туристы в первый день прошли 18 км, во второй день, двигаясь с той же скоростью, они прошли 27 км. С какой скоростью шли туристы, если они затратили на весь путь 9 ч?

Миша записал решение задачи так:

3) 2+3=5 (км/ч) Маша – так:

2) 45:9=5 (км/ч) Кто из них прав: Миша или Маша?

Сколько картофелин собрали с 10 кустов, если с трех собрали по 7 картофелин, с четырех по 9, с шести по 8, а с семи по 4 картофелины? Маша решила задачу так:

3) 21+28=49 (к.) Ответ: 49 картофелин собрали с 10 кустов. А Миша так решил задачу:

3) 36+48=84 (к.) Ответ: 84 картофелины собрали с 10 кустов. Кто из них прав?

Процесс выполнения любого задания должен всегда представлять цепочку суждений (общих, частных, единичных), для обоснования истинности которых учащиеся используют различные способы.

Покажем это на примере заданий:

V Вставь числа в «окошки», чтобы получились верные равенства:

П : 6 = 27054 П:7= 4083 (ост. 4)

Учащиеся высказывают общее суждение: «если значение частного умножим на делитель, то получим делимое». Частное суждение: «значение частного – 27054, делитель – б». Заключение:

Теперь в качестве общей посылки выступает алгоритм письменного умножения, находится результат: 162324. Высказывается суждение: 162324:6=27054.

Истинность этого суждения можно проверить, выполнив деление «уголком» или воспользовавшись калькулятором.

Аналогично поступают со второй записью.

Составь верные равенства, используя числа: 6, 7, 8, 48, 56.

Учащиеся высказывают суждение:

6*8=48 (обоснование – вычисления) 56 – 48=8 (обоснование – вычисления)

8*6=48 (для обоснования суждения можно воспользоваться общей посылкой: «от перестановки множителей значение произведения не изменится»).

48:8=6 (тоже возможна общая посылка и т.д.)’ Таким образом, в большинстве случаев для обоснования истинности суждений в начальном курсе математики учащиеся обращаются к вычислениям и дедуктивным рассуждениям. Так, обосновывая результат при решении примера на порядок действия, они пользуются общей посылкой в виде правила порядка действий, затем выполняют вычисления.

Измерение как способ обоснования истинности суждений обычно применяется при изучении величин и геометрического материала. Например, суждения: «синий отрезок длиннее красного», «стороны четырехугольника равны», «одна сторона прямоугольника больше другой» дети могут обосновать измерением.

• Задание 93. Опишите способы обоснований истинности суждений. высказанных учащимися при выполнении следующих заданий. При изучении каких вопросов курса математики начальных классов целесообразно предложить эти задания 9

Можно ли, не выполняя вычислений, утверждать, что значения выражений в каждом столбике одинаковы:

9*7+9+5 8*6+8+3 7*9+9+5 8*7+3 9*8+5 7*8+3

Можно ли утверждать, что значения выражений в каждом столбике ‘одинаковы:

12*5 16*4 (8+4)*5 (8+8)*4 (7+5)*5 (9+7)*4 (10+2)*5 (10+6)*4

Вставь знаки или =, чтобы получились верные записи:

(14+8)*3 . 14*3+8*3 (27+8)*6 . 27*6+8 (36+4)*18 . 40*18 .

Какие знаки действий нужно вставить в «окошки», чтобы получить верные равенства

8*8=8П7П8 8*3=8П4П8 8*6=6П8П0 8*5=8П0П32

Можно ли утверждать, что значения выражений в каждом столбике одинаковы:

8*(4*6) (9*3)*3 8*24 2*27 (8*4)*6 9*(3*2) 6*32 (2*3)*9

Источник

Различные способы обоснования истинности предложений в начальном обучении математике

Страницы работы

Содержание работы

В. Н. МЕДВЕДСКАЯ.Различные способы обоснования истинности предложений в начальном обучении математике//Начальная школа, 1983. — №2. – С.26-31.

Развивающее обучение предполагает систе­матическое и целенаправленное руководство, интеллектуальным ростом учащихся и воору­жение их в процессе учения приемами и методами познавательной деятельности. Одним из средств решения поставленных задач являются доказательства.

Впервые с математическим доказательством учащиеся встречаются в курсе геометрии VI класса. Сложность мыслительной деятельности по доказыванию требует заблаговременной, длительной подготовки. Пропедевтиче­ская работа в этом направлении может быть начата в курсе математики начальной школы. Объяснительная записка к программе этого курса ориентирует учителей на необходимость полного использования всех заложенных в нем предпосылок для формирования у детей таких приемов умственной деятельности, как сравнение, моделирование, получение выводов доказательства включаются в систему методов путем наблюдений и логических рассуждений

Для планомерного управления формированием доказывающего мышления у младших школьников учителю необходимо иметь четкие представления о сущности доказательства, о возможностях его применения в начальном обучении математике, о значении такой работы в целях подготовки учащихся к изу­чению математики в средней школе.

Под доказательством в логике понимают логическую операцию по обоснованию истин­ности одного суждения с помощью других ис­тинных суждений. Поэтому традиционным яв­ляется деление доказательства на три струк­турные части: 1) доказываемое суждение (те­зис); 2) основание доказательства (достовер­ные суждения, из которых следует тезис); 3) способ доказательства (демонстрация).

В математических доказательствах основа­ниями для тезиса могут быть только опреде­ления, аксиомы или ранее доказанные теоре­мы. Основной способ таких доказательств — дедуктивный вывод. В начальной же матема­тике, как известно, нет ни аксиом, ни тео­рем, да и определений немного. Значит, ос­нования для установления истинности высказываемых суждений здесь должны быть ины­ми.

Отбор таких оснований определяется осо­бенностями восприятия младших школьников, уровнем их знаний, а также степенью сформированности тех или иных мыслительных операций Наглядный, конкретный характер мышления детей 7—10 лет, ограниченность их знаний ориентируют на использование в ка­честве критериев истины опыта, наблюдений, измерений, практики. По мере увеличения объема знаний основаниями доказательства могут служить результаты вычислений, ранее выведенные правила, свойства арифметиче­ских действий.

Анализ учебников математики для I— III классов, соответствующей им методиче­ской литературы и наблюдения уроков по­зволяют выделить следующие способы o6основания истинности предложений, используемых в начальном обучении математике: экспери­мент, неполный индуктивный вывод, измере­ние, умозаключение по аналогии, дедуктивный вывод, вычисление. Назовем их способами предматематического доказательст­ва. Приставка пред указывает на отличие такого доказательства от математического и на его роль в предварительной, предшествую­щей подготовке младших школьников к проведению строгих логических доказательств. Все названные способы предматематического доказательства приемов, позволяющих полнее реализовать заложенные в программе возможности интеллектуального развития учащихся. Рас­смотрим каждый из них в отдельности.

1. Эксперимент — самый распростра­ненный в начальной математике способ полу­чения новых знаний, истинность которых ус­танавливается путем сопоставления их с действительностью, с результатами непосредственного чувствительного восприятия.

Экспериментально[1] доказываются предложе­ния вида 2 1 2 3 4

Источник

Различные способы обоснования истинности предложений в начальном обучении математике , страница 4

Все рассмотренные нами способы обоснова­ния истинности предложений не считаются в математике способами доказательства, так они могут привести к ложному заключению (о причинах говорилось выше). Но мы их от­носим к способам предматематического дока­зательства, потому что они: 1) доступны и убе­дительны для младших школьников; 2) позво­ляют вооружить учащихся основами научных знаний; 3) приобщают к методам математиче­ской деятельности, поскольку используются для выдвижения гипотез; 4) их использование в начальном обучении математике готовит уча­щихся к строгим математическим доказатель­ствам.

Способы, о которых речь пойдет ниже, при­знаются в математике логически достоверными.

5. Дедуктивный вывод. В процессе дедуктивного умозаключения мысль движется от общего к частному, при этом отдельные ча­стные факты подводятся под соответствующее общее правило, закон, понятие.

Повышение теоретического уровня математи­ческих знаний младших школьников открывает широкие возможности использования дедуктивных умозаключений при обосновании ис­тинности частных суждений, при решении при­меров, задач, уравнений.

Примером одного из первых дедуктивных умозаключений в начальном обучении матема­тике является рассуждение: «2 трех. Заключение: 2 70:10 мо­жет служить только вычисление.

Но совсем другой подход предполагается при выполнении заданий по сравнению значе­ний выражений вида: 56*10*4 и 56*14, где от третьеклассников в первую очередь требуется проведение дедуктивных рассуждений. Вычис­ления в этом случае играют лишь вспомогатель­ную роль, являясь своего рода подкреплением убедительности сделанного дедуктивного вы­вода.

В изолированном друг от друга виде спосо­бы предматематического доказательства при­меняются редко. Чаще всего они в одном я том же рассуждении взаимодействуют, дополняя друг друга. Это можно было обнаружить и в приведенных нами выше примерах доказа­тельств.

Таким образом, современный начальный курс математики позволяет на простых примерах познакомить учащихся с элементами математи­ческого доказательства, сознательное овладений которым способствует развитию их логическо­го мышления и успешному усвоению математи­ки в средней школе. Систематическое исполь­зование различных способов предматематиче­ского доказательства позволяет воспитывать у учащихся потребность в обосновании истинно­сти своих суждений, что является важным ка­чеством культуры мышления, необходимым в любой деятельности.

[1] В случаях когда речь идет о способах предматематического доказательства, к учащимся лучше обращаться с заданиями «Объясни», «Покажи», .а не «Докажи», кото­рыми учителя довольно часто пользуются на уроках математики. — Ред.

• АлтГТУ 419
• АлтГУ 113
• АмПГУ 296
• АГТУ 267
• БИТТУ 794
• БГТУ «Военмех» 1191
• БГМУ 172
• БГТУ 603
• БГУ 155
• БГУИР 391
• БелГУТ 4908
• БГЭУ 963
• БНТУ 1070
• БТЭУ ПК 689
• БрГУ 179
• ВНТУ 120
• ВГУЭС 426
• ВлГУ 645
• ВМедА 611
• ВолгГТУ 235
• ВНУ им. Даля 166
• ВЗФЭИ 245
• ВятГСХА 101
• ВятГГУ 139
• ВятГУ 559
• ГГДСК 171
• ГомГМК 501
• ГГМУ 1966
• ГГТУ им. Сухого 4467
• ГГУ им. Скорины 1590
• ГМА им. Макарова 299
• ДГПУ 159
• ДальГАУ 279
• ДВГГУ 134
• ДВГМУ 408
• ДВГТУ 936
• ДВГУПС 305
• ДВФУ 949
• ДонГТУ 498
• ДИТМ МНТУ 109
• ИвГМА 488
• ИГХТУ 131
• ИжГТУ 145
• КемГППК 171
• КемГУ 508
• КГМТУ 270
• КировАТ 147
• КГКСЭП 407
• КГТА им. Дегтярева 174
• КнАГТУ 2910
• КрасГАУ 345
• КрасГМУ 629
• КГПУ им. Астафьева 133
• КГТУ (СФУ) 567
• КГТЭИ (СФУ) 112
• КПК №2 177
• КубГТУ 138
• КубГУ 109
• КузГПА 182
• КузГТУ 789
• МГТУ им. Носова 369
• МГЭУ им. Сахарова 232
• МГЭК 249
• МГПУ 165
• МАИ 144
• МАДИ 151
• МГИУ 1179
• МГОУ 121
• МГСУ 331
• МГУ 273
• МГУКИ 101
• МГУПИ 225
• МГУПС (МИИТ) 637
• МГУТУ 122
• МТУСИ 179
• ХАИ 656
• ТПУ 455
• НИУ МЭИ 640
• НМСУ «Горный» 1701
• ХПИ 1534
• НТУУ «КПИ» 213
• НУК им. Макарова 543
• НВ 1001
• НГАВТ 362
• НГАУ 411
• НГАСУ 817
• НГМУ 665
• НГПУ 214
• НГТУ 4610
• НГУ 1993
• НГУЭУ 499
• НИИ 201
• ОмГТУ 302
• ОмГУПС 230
• СПбПК №4 115
• ПГУПС 2489
• ПГПУ им. Короленко 296
• ПНТУ им. Кондратюка 120
• РАНХиГС 190
• РОАТ МИИТ 608
• РТА 245
• РГГМУ 117
• РГПУ им. Герцена 123
• РГППУ 142
• РГСУ 162
• «МАТИ» — РГТУ 121
• РГУНиГ 260
• РЭУ им. Плеханова 123
• РГАТУ им. Соловьёва 219
• РязГМУ 125
• РГРТУ 666
• СамГТУ 131
• СПбГАСУ 315
• ИНЖЭКОН 328
• СПбГИПСР 136
• СПбГЛТУ им. Кирова 227
• СПбГМТУ 143
• СПбГПМУ 146
• СПбГПУ 1599
• СПбГТИ (ТУ) 293
• СПбГТУРП 236
• СПбГУ 578
• ГУАП 524
• СПбГУНиПТ 291
• СПбГУПТД 438
• СПбГУСЭ 226
• СПбГУТ 194
• СПГУТД 151
• СПбГУЭФ 145
• СПбГЭТУ «ЛЭТИ» 379
• ПИМаш 247
• НИУ ИТМО 531
• СГТУ им. Гагарина 114
• СахГУ 278
• СЗТУ 484
• СибАГС 249
• СибГАУ 462
• СибГИУ 1654
• СибГТУ 946
• СГУПС 1473
• СибГУТИ 2083
• СибУПК 377
• СФУ 2424
• СНАУ 567
• СумГУ 768
• ТРТУ 149
• ТОГУ 551
• ТГЭУ 325
• ТГУ (Томск) 276
• ТГПУ 181
• ТулГУ 553
• УкрГАЖТ 234
• УлГТУ 536
• УИПКПРО 123
• УрГПУ 195
• УГТУ-УПИ 758
• УГНТУ 570
• УГТУ 134
• ХГАЭП 138
• ХГАФК 110
• ХНАГХ 407
• ХНУВД 512
• ХНУ им. Каразина 305
• ХНУРЭ 325
• ХНЭУ 495
• ЦПУ 157
• ЧитГУ 220
• ЮУрГУ 309

Полный список ВУЗов

Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).

Источник