Способы нахождения угла между плоскостями

Содержание

Как найти угол между двумя плоскостями?
Примеры решений
Угол между плоскостями
Углы между плоскостями — обозначение
Расположение плоскостей и формула вычисления угла между ними
Параллельность
Доказательство
Перпендикулярность
Доказательство
Доказательство
Угол между плоскостями
Примеры решения задач
Статья «Угол между плоскостями» (для учащихся 11 класса)

Как найти угол между двумя плоскостями?

Пусть заданы уравнениями две плоскости $$A_1 x + B_1 y + C_1 z + D_1 = 0$$ $$A_2 x + B_2 y + C_2 z + D_2 = 0$$

Запишем нормальные векторы этих плоскостей, каждая координата которых равна соответствующим коэффициентам в уравнениях плоскостей $$\overline_1 = (A_1,B_1,C_1)$$$$\overline_2 = (A_2,B_2,C_2)$$

Угол между плоскостями – это угол между двумя нормальными векторами этих плоскостей, вычисляемый по формуле: $$\cos \varphi = \frac<(\overline_1,\overline_2)><|\overline_2| \cdot |\overline_2|>$$

В числителе формулы стоит скалярное произведение векторов, вычисляемое путем суммирования произведений соответствующих координат

$$(\overline_1,\overline_2) = A_1 \cdot A_2 + B_1 \cdot B_2 + C_1 \cdot C_2$$

В знаменателе расположено произведение длин векторов, вычисляемых извлечением квадратного корня из суммы квадратов соответствующих координат векторов

Вычисляем скалярное произведение нормальных векторов $(\overline_1,\overline_2)$
Находим произведение модулей нормальных векторов $ |\overline_1| \cdot |\overline_2| $
Подставляем найденные значения в формулу косинуса угла между плоскостями $ \cos \varphi $

Примеры решений

Записываем нормальные векторы каждой из плоскостей. В качестве координат векторов подставляем коэффициенты из уравнений плоскостей

$$ \overline_1 = (3,-1,0) $$ $$ \overline_2 = (1,-2,5) $$

Вычисляем скалярное произведение, полученных векторов $\overline_1$ и $ \overline_2$. Выполняем сложение произведений соответствующих координат

$$(\overline_1,\overline_2) = 3\cdot 1 + (-1)\cdot (-2) + 0\cdot 5 = 5$$

Находим модули каждого из векторов. Извлекаем квадратный корень из суммы квадратов соответствующих координат

Подставляем полученные значения в формулу нахождения угла между плоскостями

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Источник

Угол между плоскостями

Углы между плоскостями — обозначение

Углом между плоскостями именуется такой угол, который образовался между перпендикулярными прямыми, опущенными в пределах этих плоскостей к линии их пересечения.

Рассмотрим данное понятие наглядно с помощью картинки:

Допустим, α и β — пересекающиеся плоскости. Проведем к линии с перпендикуляр a, который принадлежит α. Далее проведем прямую b, лежащую в β и образующую с прямой c угол в 90°. Угол между α и β равен углу, который образовался между а и b, обозначенному на картинке как φ. В записи это выглядит следующим образом:

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

На схеме видно, что при пересечении α и β возникают четыре угла, но углом между плоскостями считается острый угол. В случае, когда плоскости при пересечении создают прямые углы, они считаются перпендикулярными друг другу.

Расположение плоскостей и формула вычисления угла между ними

Существует несколько вариаций взаимного расположения двух плоскостей.

Параллельность

Две плоскости считаются параллельными в том случае, если у них отсутствуют общие точки.

Возьмем за условие, что плоскости α, расположенной в некоторой прямоугольной системе координат, соответствует общее уравнение: А₁х+В₁у+С₁z+D₁=0. А плоскость β определяется общим уравнением вида: А₂х+В₂у+С₂z+D₂=0.

Согласно теореме о параллельности плоскостей, чтобы α и β являлись параллельными, достаточно отсутствия решений системы линейных уравнений вида:

То есть приведенная выше система должна быть несовместной.

Доказательство

Допустим, указанные плоскости, соответствующие уравнениям А₁х+В₁у+С₁z+D₁=0 и А₂х+В₂у+С₂z+D₂=0 параллельны друг другу, следовательно, у них отсутствуют общие точки. Это значит, что нет ни одной точки в прямоугольной системе координат, находящейся в трехмерном пространстве, чьи координаты отвечали бы условиям обоих уравнений одновременно или:

не имеет решения.

В случае, если данная система уравнений не имеет решений, то в прямоугольной системе координат трехмерного пространства отсутствуют точки с координатами, одновременно отвечающими условиям обоих уравнений, входящих в рассматриваемую систему. Отсюда можно сделать вывод, что плоскости α и β с соответствующими им уравнениями А₁х+В₁у+С₁z+D₁=0 и А₂х+В₂у+С₂z+D₂=0 не обладают ни одной общей точкой, а значит, являются параллельными. Теорема доказана.

Перпендикулярность

Две плоскости перпендикулярны друг другу, в ситуации, когда они при взаимном пересечении образуют прямой угол, то есть угол в 90°.

Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, которая перпендикулярна другой плоскости, то такие плоскости являются перпендикулярными.

Доказательство

Пусть: AB∈α, AB⊥β, AB∩β=A.

Необходимо доказать, что α⊥β.

α∩β=AC, причем AB⊥AC по условию.
Проведем прямую AD, принадлежащую плоскости β и перпендикулярную AC.
∠BAD=90°, поскольку AB⊥β. Следовательно, заданные плоскости перпендикулярны, что и требовалось доказать.

Плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две заданные плоскости, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей.

Явность перпендикулярных пересекающихся плоскостей достигается при необходимом и достаточном условии, что нормальные векторы данных плоскостей при пересечении образовали прямой угол.

Доказательство

Допустим, в трехмерном пространстве существует некоторая прямоугольная система координат. При наличии нормальных векторов заданных плоскостей α и β с координатами:

то необходимо и достаточно, чтобы эти векторы приняли вид:

$\left(\overrightarrow,\overrightarrow<\;n_2>\right)=0\Leftrightarrow A_1\times A_2+B_1\times B_2+C_1\times C_2=0$

Отсюда следует, что:

— нормальные векторы плоскостей α и β. Чтобы заданные плоскости были перпендикулярными, достаточно, чтобы скалярное произведение данных векторов ровнялось нулю, то есть принимало вид:

$\left(\overrightarrow,\overrightarrow<\;n_2>\right)=0\Leftrightarrow A_1\times A_2+B_1\times B_2+C_1\times C_2=0$

Угол между плоскостями

Для вычисления угла между двумя пересекающимися плоскостями используют метод координат. Суть данного способа заключается в нахождении косинуса угла, образованного при пересечении плоскостей.

Предположим, что плоскости P₁ и P₂ заданы следующими уравнениями:

Найдем косинус угла между P₁ и P₂ по формуле:

Запишем в ответе модуль косинуса угла, поскольку за величину угла между плоскостями принимают острый угол.

Примеры решения задач

Задача №1

Плоскости заданы уравнениями:

Определить пересекаются ли α и β. В случае пересечения заданных плоскостей найти угол между ними.

Найдем угол между заданными плоскостями:

Далее вычислим косинус угла между α и β:

В ответе запишем модуль найденной величины.

Ответ: плоскости α и β пересекаются, а косинус угла между ними равен ½.

Задача №2

Плоскость α проходит через точку A(1,1,−1) и перпендикулярна к плоскостям, заданным уравнениями:

Составьте уравнение плоскости α.

Необходимым и достаточным условием перпендикулярности α к плоскостям β и φ является параллельность α к нормалям β и φ — N₁ и N₂, иными словами, α должна быть перпендикулярна к произведению векторов [N₁,N₂].

Следующим шагом выпишем уравнение плоскости α, проходящей через точку A(1,1,−1) и перпендикулярную вектору [N₁,N₂]=(−14,7,7):

Источник

Статья «Угол между плоскостями» (для учащихся 11 класса)

Угол между плоскостями.

Пусть плоскости α и β пересекаются по прямой с.
Угол между плоскостями — это угол между перпендикулярами к линии их пересечения, проведенными в этих плоскостях.

Другими словами, в плоскости α мы провели прямую а, перпендикулярную с. В плоскости β — прямую b, также перпендикулярную с. Угол между плоскостями α и β равен углу между прямыми а и b.

Заметим, что при пересечении двух плоскостей вообще-то образуются четыре угла. В качестве угла между плоскостями мы берем острый угол.

Угол между плоскостями равен углу, образованному нормальными векторами этих плоскостей.

Если векторы n ₁ и n ₂ — нормальные векторы данных плоскостей, то угол между плоскостями вычисляется по формуле

Если заданы уравнения плоскостей A ₁ x + B ₁ y + C ₁ z + D ₁ = 0 и A ₂ x + B ₂ y + C ₂ z + D ₂ = 0, то и — нормальные векторы этих плоскостей.

Тогда угол между плоскостями можно найти, используя следующую формулу

Задача. В правильной четырехугольной призме со стороной основания 12 и высотой 21 на ребре АА ₁ взята точка М так, что АМ=8 . На ребре ВВ ₁ взята точка K так, что В ₁ К = 8 . Найдите угол между плоскостью D ₁ MK и плоскостью CC ₁ D ₁ .

cos γ = ====, откуда γ=45 0 .

Использование теоремы о площади ортогональной проекции многоугольника.

Угол между плоскостями α и β можно вычислить, используя формулу

Три способа решения одной задачи.

Задача. На ребре AA ₁ прямоугольного параллелепипеда ABCDA ₁ B ₁ C ₁ D ₁ взята точка E так, что A ₁ E : EA = 4 : 3. Точка T — середина ребра B ₁ C ₁ . Известно, что AB = 5, AD = 8, AA ₁ = 14.

а) В каком отношении плоскость ETD ₁ делит ребро BB ₁ ?

б) Найдите угол между плоскостью ETD ₁ и плоскостью AA ₁ B ₁ .

Решение. 1 способ — геометрический

а) Так как и то и

Плоскость сечения пересекает параллельные плоскости и по параллельным прямым, поэтому ∥ Значит, треугольники и подобны( по углам с соответственно параллельными сторонами). = , откуда = = =4

Значит, QB = BB ₁ — QB ₁ = 14-4=10 и QB : QB ₁ =10:4=5:2.

б) Так как прямая ⊥ опустим проведём ⊥ — линии пересечения плоскостей. ETD ₁ и AA ₁ B ₁ . По теореме о трех перпендикулярах так как ⊥ ,то и D ₁ H ⊥ . Угол будет искомым.