Способы нахождения стороны треугольника

Все формулы для треугольника

1. Как найти неизвестную сторону треугольника

Вычислить длину стороны треугольника: по стороне и двум углам или по двум сторонам и углу.

a , b , c — стороны произвольного треугольника

α , β , γ — противоположные углы

Формула длины через две стороны и угол (по теореме косинусов), ( a ):

* Внимательно , при подстановке в формулу, для тупого угла ( α >90), cos α принимает отрицательное значение

Формула длины через сторону и два угла (по теореме синусов), ( a):

2. Как узнать сторону прямоугольного треугольника

Есть следующие формулы для определения катета или гипотенузы

a , b — катеты

c — гипотенуза

α , β — острые углы

Формулы для катета, ( a ):

Формулы для катета, ( b ):

Формулы для гипотенузы, ( c ):

Формулы сторон по теореме Пифагора, ( a , b ):

3. Формулы сторон равнобедренного треугольника

Вычислить длину неизвестной стороны через любые стороны и углы

b — сторона (основание)

a — равные стороны

α — углы при основании

β — угол образованный равными сторонами

Формулы длины стороны (основания), (b ):

Формулы длины равных сторон , (a):

4. Найти длину высоты треугольника

Высота— перпендикуляр выходящий из любой вершины треугольника, к противоположной стороне (или ее продолжению, для треугольника с тупым углом).

Высоты треугольника пересекаются в одной точке, которая называется — ортоцентр.

H — высота треугольника

a — сторона, основание

b, c — стороны

β , γ — углы при основании

p — полупериметр, p=(a+b+c)/2

R — радиус описанной окружности

S — площадь треугольника

Формула длины высоты через стороны, ( H ):

Формула длины высоты через сторону и угол, ( H ):

Формула длины высоты через сторону и площадь, ( H ):

Формула длины высоты через стороны и радиус, ( H ):

Источник

Как найти сторону треугольника — в помощь школьнику

Есть несколько способов решения этой геометрической задачи. Они описаны в статье.

При помощи сторон и углов

Итак, первый способ нахождения сторон треугольника — это по нескольким сторонам и углу между ними (и аналогично с углами и одной прилежащей стороной). Данный способ подойдет для старшей школы, так как здесь используются такие понятия, как синус, косинус, квадрат числа и корень. Итак, как найти сторону треугольника, который является произвольным? Для начала нарисуем эту самую фигуру. Теперь давайте обзовем элементы нашей фигуры. Стороны будут a, b и c. Угол, находящийся напротив стороны a, у нас будет «альфа», напротив b -«бета», напротив c — «гамма».

Равнобедренный треугольник

Что такое равнобедренный треугольник? Сам по себе он имеет две одинаковые стороны и так называемое основание. Стороны-близнецы обозначим буквой a, основание — b. Стало быть, раз у треугольника есть два «бедра» одной величины, то и углы на «фундаменте» тоже будут одинаковыми. Их назовем «альфа». Для того чтобы ответить, как найти сторону равнобедренного треугольника, необходимо ввести еще одну величину — угол, образованный между равными «бедрами».
Так как он располагается напротив b, то назвать его лучше всего «бета». Здесь при поиске неизвестных сторон можно пользоваться несколькими формулами. Давайте же посмотрим, какими именно. Первые две — это те, по которым можно вычислить длину стороны основания равнобедренного треугольника. Основана она на знаниях ученика о синусах и косинусах.

Прямоугольный треугольник

Наверное, каждый школьник, который только начал изучение геометрии, знает, что такое прямоугольный треугольник. С первого взгляда в данной фигуре нет ничего особенного, сложного и непонятного. Но вот когда «теряются» данные о той или иной стороне сего геометрического объекта, начинаются проблемы. Дело все в том, что вопрос: «Как найти сторону прямоугольного треугольника?» — затрагивает не только понятия синуса и косинуса, а еще и тангенсов углов. Таким образом, вычисления становятся намного сложнее и больше. Итак, сначала обозначим два катета нарисованного прямоугольного треугольника через a и b. Углы, лежащие напротив этих сторон, как и принято было прежде, назовем «альфа» и «бета» соответственно. Нашей гипотенузой будет служить сторона c. Угол, лежащий против него, нам не понадобится — он будет прямым. Вариантов вычислений тут несколько. Первый называется классическим. Для катета a формулы выглядит как: a=c*cos»бета»=c*sin»альфа»=b*tg»альфа».

Итоги

Итак, сегодня мы разобрались, как найти сторону треугольника, и выучили много новых формул. Для того чтобы лучше их запомнить, запишите их на какую-нибудь бумажку, по которой потом будет проще учить все наизусть. Не стоит пугаться «страшных» цифр и больших вычислений. Все проще, чем кажется.

Источник

Решение треугольников онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно решить треугольники, т.е. найти неизвестные элементы (стороны, углы) треугольника. Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Решение треугольников − это нахождение всех его элементов (трех сторон и трех углов) по трем известным элементам (сторонам и углам). В статье Треугольники. Признаки равенства треугольников рассматриваются условия, при которых два треугольника оказываются равными друг друга. Как следует из статьи, треугольник однозначно определяется тремя элементами. Это:

1. Три стороны треугольника.
2. Две стороны треугольника и угол между ними.
3. Две стороны и угол противостоящий к одному из этих сторон треугольника.
4. Одна сторона и любые два угла.

Заметим, что если у треугольника известны два угла, то легко найти третий угол, т.к. сумма всех углов треугольника равна 180°.

Решение треугольника по трем сторонам

Пусть известны три стороны треугольника a, b, c (Рис.1). Найдем .

(1)

(2)

Из (1) и (2) находим cosA, cosB и углы A и B (используя калькулятор). Далее, угол C находим из выражения

.

Пример 1. Известны стороны треугольника ABC: Найти (Рис.1).

Решение. Из формул (1) и (2) находим:

.

.

, .

И, наконец, находим угол C:

Решение треугольника по двум сторонам и углу между ними

Пусть известны стороны треугольника a и b и угол между ними C (Рис.2). Найдем сторону c и углы A и B.

Найдем сторону c используя теорему косинусов:

.

.

Далее, из формулы

.

.

(3)

Далее из (3) с помощью калькулятора находим угол A.

Поскольку уже нам известны два угла то находим третий:

.

Пример 2. Известны две стороны треугольника ABC: и (Рис.2). Найти сторону c и углы A и B.

Решение. Иcпользуя теорму косинусов найдем сторону c:

,

.

Из формулы (3) найдем cosA:

.

Поскольку уже нам известны два угла то находим третий:

.

Решение треугольника по стороне и любым двум углам

Пусть известна сторона треугольника a и углы A и B (Рис.4). Найдем стороны b и c и угол C.

Так как, уже известны два угла, то можно найти третий:

.

Далее, для находждения сторон b и c воспользуемся тероемой синусов:

, .

, .

Пример 3. Известна одна сторона треугольника ABC: и углы (Рис.3). Найти стороны b и c и угол С.

Решение. Поскольку известны два угла, то легко можно найти третий угол С:

Найдем сторону b. Из теоремы синусов имеем:

Найдем сторону с. Из теоремы синусов имеем:

Источник