Как можно вычислить значение числа Пи
В данной работе описаны практические способы вычисления значения числа Пи.
Скачать:
| Вложение | Размер |
|---|---|
| mou_chislo_pi_1.docx | 777.71 КБ |
Предварительный просмотр:
Муниципальное казённое образовательное учреждение
« Южно – Подольская средняя общеобразовательная школа »
научное общество учащихся « Поиск»
Выполнила: Филиппова Анастасия,
МКОУ « Южно-Подольская СОШ».
Учитель: Москавчук О.А.,
Вычисление значения числа П ………………………. 4-7
Из истории открытия …………………………… 4
Способы вычисления числа П……………………… 5-6
Число П в стихах ……………………………………. 7
Простейшее измерение …………………………… 8
Измерение с помощью взвешивания……………… . 8
С этим необычным числом мы сталкиваемся уже в младших классах школы, когда начинаем изучать круг и окружность. В цифровом выражении π начинается как 3,141592. и имеет бесконечную математическую продолжительность.
В повседневных вычислениях мы пользуемся упрощенным написанием числа, оставляя только два знака после запятой, — 3.14. Число π — математическая константа, выражающая отношение длины окружности к длине ее диаметра.
В учебнике геометрии сказано, что число Пи является бесконечной непериодической десятичной дробью. Рациональное число является приближённым значением числа Пи с точностью до 0,002. Это приближённое значение было найдено ещё в 3 веке до нашей эры великим греческим учёным Архимедом. При решении задач обычно пользуются приближённым значением Пи с точностью до 0,01:П=3,14. *
Мне стало интересно, а какими способами можно измерить число Пи?
Цели: рассмотреть практические способы вычисления значения числа Пи.
Задачи: 1) изучить литературу и найти сведения из истории о открытии числа Пи;
2) рассмотреть практические способы вычисления числа Пи.
*Л.С. Атанасян Учебник геометрия7-9класс. М: Просвещение ,1991г.
2.Вычисление числа П .
2.1 Из истории открытия числа Пи.
Число пи выражает отношение длины окружности к диаметру и приблизительно равно 3,14. Впервые его обозначил греческой буквой π англичанин Уильям Джонс в труде «Обозрение достижений математики», напечатанном в 1706 году. Он руководствовался тем, что с нее начинается слово περιμετρέο — «измеряю вокруг». Широкое распространение это обозначение получило благодаря великому математику Леонарду Эйлеру (1707–1783), который часто им пользовался. Как и когда было открыто само число, неизвестно. То, что отношение длины окружности к ее диаметру — число постоянное, известно с незапамятных времен. Вавилоняне в III тысячелетии до н. э. уже знали, что пи равно или чуть больше трех. Оно использовалось при строительстве знаменитой Вавилонской башни. Однако, недостаточно точное исчисление значения «Пи» привело к краху всего проекта. Возможно, что эта математическая константа лежала в основе строительства легендарного Храма царя Соломона.
Вычислить значение этого числа с точностью до трех знаков удалось лишь в III веке до н. э. Архимеду. А в XVIII веке Иоганн Ламберт доказал, что пи нельзя выразить в виде отношения двух целых чисел, то есть в виде конечной или периодической десятичной дроби. Ко времени Ламберта пи уже было вычислено с точностью до ста с лишним знаков. А летом этого года была достигнута точность 5 триллионов знаков.
π ≈ 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399 375
2.2 Способы вычисления числа П.
Простейшее измерение. Начертим на плотном картоне окружность радиуса R, вырежем получившийся круг и обмотать вокруг него тонкую нить. Измерив длину одного полного оборота нити, разделим полученное число на длину диаметра окружности. Получившееся частное будет приближённым значением числа П.
Измерение с помощью взвешивания. На листе картона начертим квадрат. Впишем в него круг. Вырежем квадрат. Определим массу картонного квадрата с помощью школьных весов. Вырежем из квадрата круг. Взвесим и его. Зная массы квадрата (m кв ) и вписанного в него круга (m кр ), воспользуемся формулами m = ρ*V, V =S*h, где ρ, h- соответственно плотность и толщина картона, S- площадь фигуры. Рассмотрим равенства: m кв = ρ* S кв * h = ρ* 4R 2 * h , m кр = ρ* S кр * h = ρ* П*R 2 * h. Отсюда m кр/ m кв = П/4, т.е. П= 4 m кр / m кв.
Суммирование площадей прямоугольников, вписанных в полукруг. Пусть А(а,0), В(b,0). Опишем на АВ полуокружность как на диаметре. Разделим отрезок АВ на п равных частей точками х 1 , х 2 , …х п-1 и восстановим из них перпендикуляры до пересечения с полуокружностью. Длин каждого перпендикуляра — это значение функции f(x) = . Из рисунка 1(Приложение1) видно, что площадь S полукруга можно вычислить по формуле: S= ((f(x 0 )+f(x 1 ) +…+f(x n-1 )). В нашем случае b= 1, a = -1. Тогда П
Метод Монте — Карло . Это фактически метод статистических испытаний. Своё экзотическое название он получил от города Монте-Карло в княжестве Монако, знаменитого своими игорными домами. Дело в том, что метод требует применения случайных чисел, а одним из простейших приборов , генерирующих случайные числа , может служить рулетка. Впрочем , можно получить случайные числа и при помощи дождя. Для опыта можно взять кусок картона , нарисовать на нём квадрат и вписать в него четверть круга. Если такой чертёж подержать некоторое время подождем, то на его поверхности останутся следы капель. Подсчитаем число следов внутри квадрата и внутри четверти круга . их отношение будет приближённо равно отношению площадей этих фигур , так как попадание капель в различные места чертежа равновероятно. Пусть N кр – число капель в круге, N кв –число капель в квадрате, тогда П
4* N кр / N кв . В этом способе можно использовать вместо дождя таблицу случайных чисел, которая составляется с помощью компьютера по специальной программе. ( Приложение 2)
2.3 Число Пи в стихах. Число Пи бесконечная непериодическая дробь, значение которой многие хотят знать наизусть. Поэтому сложено много стихотворений для лёгкого запоминания. Хочется привести несколько примеров.
Чтобы нам не ошибиться,
Нужно правильно прочесть:
Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девяносто два и шесть
Нужно только постараться,
И запомнить все, как есть:
Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девяносто два и шесть.
Если очень постараться,
Можно сразу пи прочесть:
Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девяносто два и шесть.
Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девять, два, шесть, пять, три, пять.
Чтоб наукой заниматься,
Это каждый должен знать.
Можно просто постараться
И почаще повторять:
«Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девять, двадцать шесть и пять.»
Для запоминания можно использовать запоминалки. Для восстановления числа нужно подсчитать число символов в каждом из слов и записать по порядку.
Что я знаю о кругах (5 знаков)
Это я знаю и помню прекрасно:
Пи многие знаки мне лишни, напрасны.
Доверимся знаньям громадным
Тех, пи кто сосчитал, цифр армаду. (21 знак!)
Я построила на картоне окружность радиуса 3,3см, затем аккуратно вырезала круг. Далее намотала на окружность тонкую нить , отрезала и её длина оказалась равна 22,2см. Вычислила П по формуле: П =С/2R= 2/2 =22,2/2*3,3=3,36
Полученное мною значение П оказалось больше 3,14 на 0,22. Данный довольно грубый способ даёт в обычных условиях приближённое значение П с точностью до единиц.
Измерение с помощью взвешивания. Из листа бумаги я вырезала квадрат со стороной 4см. Затем с помощью весов (лабораторных)и гирь определила его массу 500мг=0,5г. Далее я вписала в круг окружность и вырезала её . Определила массу круга 410мг = 0,41г. Полученные мной значения масс я подставила в формулу : П= 4 m кр / m кв. П= 4*0,41/0,5=1,64/0,5 = 3,28 .
Выводы. В ходе выполнения исследовательской работы я узнала о истории открытия числа П – вавилонскими магами, способах его вычисления. Мною было вычислено значение числа П двумя способами: простейшее измерение и с помощью взвешивания. Полученное опытным путём (измерение с помощью взвешивания ) значение числа П =3,28. Оно отличается от приближённого значения, используемого в повседневной жизни на 0,14. (Погрешность измерения составила 3,28-3,14= 0,14, что составляет 4%). Число П, полученное в результате простейшего измерения , составило 3,36, что составляет 7% от значения П, используемого при решении задач.
Источник
Приближения числа Пи
Напомним: число π («пи») определяется как отношение длины окружности C к ее диаметру d = 2r. Это кратко выражается формулой для вычисления длины окружности C = πd, или C = 2πr. Другая известная формула, в которой встречается π, – формула площади круга S = πr2, или S = πd2/4. В принципе π можно было бы определить как отношение площади круга к квадрату радиуса. За этими формулами скрываются три нетривиальных математических факта:
1) длина окружности пропорциональна ее диаметру;
2) площадь круга пропорциональная квадрату радиуса;
3) коэффициенты пропорциональности в двух последних случаях совпадают.
Десятичная дробь, выражающая число π, бесконечна, хотя можно вычислить различные конечные дроби – десятичные приближения для π. Наиболее популярное приближение – с точностью до сотых: π ≈ 3,14.
Самое простое приближение для π полагает его равным 3 [2] (несмотря на грубость этого приближения, его ошибка менее 5 %). Такое приближение использовалось, например, в Древнем Вавилоне в III–II вв. до н. э.: длину окружности находили по правилу, которое в современных обозначениях можно записать C = 3d, площадь круга находили по правилу S = C2/12. Значение π = 3 используется и древними иудеями: библейский автор упоминает, что при строительстве храма при царе Соломоне мастер Хирам из Тира в числе других храмовых украшений «сделал литое из меди море, – от края его до края его десять локтей, – совсем круглое. и шнурок в тридцать локтей обнимал его кругом» (3 Цар 7, 23). Позже для более точных вычислений использовалось геометрическое приближение: от площади квадрата, описанного вокруг круга, отнимались площади треугольников с длиной стороны, равной трети стороны квадрата, получалось довольно точное значение π = 3 + 1/9 = 3,11.
Геометрические приближения площади круга, Древний Вавилон
В Древнем Египте для вычисления площади круга использовалось правило S = (8d / 9)2, что соответствует значению π = 4 ∙ (8/9)2 ≈ 3,1605. Ошибка при этом составляет менее 1 %. Как получали это правило, неизвестно.
Геометрическое приближение площади круга, Древний Египет
У древнегреческих математиков с их превалирующим интересом к геометрическим построениям и доказательствам, а не к вычислениям, вопрос о численном значении π был не столь важным, нежели проблема квадратуры круга, т. е. построения квадрата, равновеликого данному кругу, если удастся, то с помощью циркуля и линейки, а в противном случае – с помощью каких-то других инструментов. Задача о квадратуре круга имела широкую известность не только среди математиков: например, о ней говорится в комедии Аристофана «Птицы».
Изучая задачу о квадратуре круга, Гиппократ Хиосский (V в. до н. э.) нашел некоторые случаи [3], когда с помощью циркуля и линейки можно найти квадратуру определенных частей круга, ограниченных кривыми линиями (а именно, двумя окружностями). Такие части называются луночками. Самый простой случай – это луночка между окружностью, описанной около равнобедренного прямоугольного треугольника, и другой окружностью, диаметром которой служит катет этого треугольника.
Нетрудно видеть, что, по теореме Пифагора, AB 2 = 2BC 2 , а потому площадь круга, построенного на AB, равна двум площадям круга, построенного на BC, а значит, площадь полукруга, построенного на BC, равна площади четверти круга, построенного на AB. Поэтому, вырезав из этих фигур их общую часть – сегмент BC – получим равновеликие фигуры: таким образом, площадь луночки равна площади прямоугольного треугольника BOC.
Древнейшие известные попытки собственно квадратуры круга принадлежат Антифонту и Бризону (V в. до н. э.). Антифонт последовательно вписывал в круг правильные многоугольники, каждый раз удваивая количество сторон, и полагал, что в конце концов многоугольник совпадет с окружностью. Бризон строил два квадрата – вписанный в окружность и описанный вокруг нее – и считал, что площадь квадрата, лежащего между ними, равна площади круга. Разумеется, в буквальном понимании и Антифонт, и Бризон заблуждались. Однако их идеи оказались весьма плодотворными: действительно, вписывая в окружность правильные многоугольники со все большим числом сторон, можно сколь угодно близко подойти к площади круга и длине окружности; смысл есть и в том, чтобы рассматривать не только вписанные, но и описанные многоугольники: при этом площадь круга будет лежать между площадями вписанных и описанных многоугольников, а длина окружности – между периметрами тех и других.
Площадь круга – предел площади описанных и вписанных многоугольников
В дальнейшем именно вписанные и описанные правильные многоугольники стали активно применяться как для теоретических исследований, так и для конкретного вычисления числа π. Именно с помощью таких многоугольников было сформулировано строгое доказательство того, что площади кругов относятся как квадраты их диаметров, найденное, по-видимому, Евдоксом и приведенное в «Началах» Евклида. Архимед доказал, что площадь круга равна половине произведения длины окружности на ее радиус. Кроме того, с помощью вычисленных им периметров вписанных и описанных правильных многоугольников (от 6-угольника до 96-угольника) Архимед нашел, что:
Источник
Тема: Способы приближенного вычисления числа ПИ
Тема: Способы приближенного вычисления числа ПИ.
Тип урока: Комбинированный.
- образовательная – изучить способы приближенного вычисления числа ПИ, продолжать учить применять на практике имеющиеся знания и использовать различные формы представления информации (в том числе и электронные); развивающая – способствовать развитию отдельных составляющих информационных и коммуникативных компетенций учащихся; воспитательная – развитие познавательного интереса, алгоримического мышления.
- по источнику новых знаний: словесные (беседа), наглядные (демонстрация), практические (упражнения);по способу мыслительной деятельности: репродуктивный, эвристический, объяснительно-иллюстративный.
Формы организации деятельности учащихся:
- фронтальная;самостоятельная работа;групповая работа.
Требования к знаниям и умениям:
Учащиеся должны знать:
- метод половинного деления, итерационные циклы. Основные алгоритмические конструкции.
Учащиеся должны уметь:
- получать случайные числа в Excel и среде программирования; вводить и копировать формулы в электронной таблице; владеть навыками программирования;
Стандартное оборудование компьютерного класса.
Компьютер + проектор у учителя для демонстрации. Раздаточный материал для учащихся
Организационный момент Актуализация знаний Разминка Объяснение материала Выполнение практических заданий. Обобщение материала и подведение итогов. Домашнее задание Рефлексия
1. Организационный момент. Проверка готовности к уроку. Учащиеся сразу разбиты на 4 группы.
2. Актуализация знаний
Презентация 1 Презентация, по которой предлагается угадать какому замечательному числу посвящен урок (мнемоническая подсказка)
Чтобы нам не ошибаться,
Надо правильно прочесть:
Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девяносто два и шесть.
Надо только постараться
И запомнить всё как есть:
Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девяносто два и шесть.
Три, четырнадцать, пятнадцать,
Девять, два, шесть, пять, три, пять.
Чтоб наукой заниматься,
Это каждый должен знать .
Тема урока записывается в тетрадь «Приближенные методы вычисления числа Пи».
Цель и план урока доводятся до учащихся (выведены на экран)
Цели урока: научиться вычислять число ПИ с заданной точностью различными способами , продолжать отрабатывать навыки программирования и основные приемы работы в электронной таблице.
Проверка необходимых знаний (случайные числа в Excel , цикл, ветвление).
Экспресс-тест. Тест дается на 4 варианта. В тетрадях для контрольных работ. Время выполнения 2-3 минуты. Затем учащимся раздается ключ и проверяется правильность выполнения задания. Самые сложные вопросы разбираются. Учащиеся выставляют себе нужный балл за тест. (Максимально 12 баллов)
Источник
