Способы нахождения площади круга

Как найти площадь круга

Окружность — одна из самых совершенных фигур в геометрии. Построить ее очень просто — нужен только циркуль. Но при своем совершенстве окружность создает одну из самых сложных проблем — определение площади круга. Почему это является проблемой? Дело в том, что площадь измеряется в квадратных единицах (метрах, дециметрах, миллиметрах…). Но превратить круг в прямоугольник или квадрат практически невозможно. Задача эта беспокоила умы математиков и философов на протяжении тысячелетий и даже получала собственное название — квадратура круга.

Чтобы разобраться в проблеме нужно разделить понятия окружности и круга. Окружность — это замкнутая линия, все точки которой находятся на одинаковом расстоянии от центра. А круг — это часть плоскости, ограниченная этой окружностью. Для окружности мы ищем длину, а для круга — площадь. Какую бы часть круга, ограниченную окружностью, мы не выбрали, одна из сторон обязательно будет криволинейной. Это усложняет расчет площади, если не использовать интегрального исчисления.

Приблизительно, с высокой долей точности можно найти площадь окружности через диаметр по формуле:

Это самая простая формула, позволяющая найти площадь круга, когда известный радиус. Но может возникнуть вопрос, почему найденная площадь будет неточной? Сложность связана с числом π — это отношение длины окружности к диаметру, не имеющая конечного значения. Такие числа называют иррациональными. Еще в 1761 году Иоганн Ламберт доказал, что эта постоянная трансцендентная, то есть, если возвести ее в квадрат, все равно получится иррациональное число.

Сложное доказательство этого утверждения создали Феликс Клейн и профессор Линдеманн. Практическое значение этого открытия состоит в том, что любая формула для определения площади круга, где используется число π дает приблизительный результат, то есть, квадратура круга невозможна в принципе. На данный момент известно число «Пи» с точностью до 31, 4 триллиона знаков после запятой. Для вычислений используют значение 3, 14, а для более точных — 3, 1415926.

Способы вычисления площади круга

Для решения повседневных и большинство технических задач вполне достаточно формулы S= π∙ D 2 /4. Но в геометрии есть свои подходы к решению. Не всегда дано радиус (диаметр), а измерить эту величину можно только косвенным путем при помощи построений описанных и вписанных многоугольников, дополнительных построений и т.д. Рассмотрим наиболее популярные методы, как узнать площадь круга, более подробно. Сразу же оговоримся, способ интегрального исчисления затрагивать не будем, хотя он и наиболее точный. Воспользуемся только геометрическими способами решения.

Вычисление площади по радиусу

S = π∙r 2 — формула для вычисления площади круга, если известный радиус. Как видно, это просто запись предыдущего выражения с учетом того, что r = D/2, отсюда r 2 = (D/2) 2 = D 2 /4, что и использовано в основной формуле.

Как найти площадь круга через длину окружности

Для начала вспомним, как вычисляется длина окружности. Здесь, как и в других формулах для круга и окружности используется постоянная π. Нужно запомнить, что в математике и физике этот символ является непременным участником всех вычислений, связанных с кругом, окружностью, циклическими процессами, движением по дуге. В частности, длину окружности находим по формулам L=2 πR, или L= πD. Используя их, находим:

R=L/2 π; (1)

D=L/ π. (2)

Используя запись 1 в формуле S = π∙r2 получаем:

S = π(L/2 π) 2 = L/4 π.

Аналогичный результат получим, используя формулу 2.

Как вычислить площадь круга, описанного вокруг правильного многоугольника

В каждый круг легко вписать любой правильный многоугольник. Рассмотрим случаи с самыми простыми фигурами. Если в круг вписан квадрат, то формула будет выглядеть так:

S=​2​​π⋅a​ 2 ​​​​/2, где а – сторона квадрата.

Если в круг вписан равносторонний (правильный) треугольник, то формула будет выглядеть так:

S=π⋅​​​a​ 2 /3.

Если в равностороннем треугольнике неизвестна длина стороны, но известна высота, то используем формулу:

S=π⋅(​​​2⋅h​​/3)​ 2 ​ ​ .

Если треугольники неправильные, например, равнобедренные или разносторонние, то формулы получаются сложнее. Например, для вычисления площади по данным равнобедренного треугольника используется формула:

S=π⋅(​ a 4 /4⋅a​ 2 ​​−b​ 2 ​​​​)

В случае прямоугольного треугольника, мы используем формулу:

S=​π/4​​⋅(a​ 2 ​​+b​ 2 )​​.

Если круг описан вокруг равнобедренной трапеции, то рассчитать площадь можно по более сложной формуле:

S=π⋅( a⋅d⋅c/​4⋅√​p⋅(p−a)⋅(p−d)⋅(p−c)​​​​​).

Как видим, задачу вычисления площади круга можно решить при помощи готовых формул, рассчитанных практически для любого случая, используя вписанные или описанные простые геометрические фигуры. Приведем еще несколько из готовых формул, на этот раз, для фигур, внутри которых находится круг неизвестного радиуса:

S=π⋅​​​a​ 2​​ /12 – для равностороннего треугольника;

S=π⋅​​​b​ 2 /4 ​​​​ ⋅(tg​α​/2​​​​)​ 2 ​​ — для равнобедренной трапеции;

S=π⋅(​а/2​​)​ 2 ​​=​π⋅а​ 2 /4 ​​ — для квадрата.

Учитывая небольшой объем статьи, все формулы приводим без доказательств, как руководство для практического использования при решении геометрических или технических задач.

Часто возникает проблема определения площади полукруга. Это можно сделать очень просто, вычислив площадь полного круга и разделив ее на 2. Если использовать формулу, то выглядеть это будет так:

S = π∙r 2 /2, или

S= π∙ D 2 /4/2 = S= π∙ D 2 /8.

Для решения практических задач сложно пользоваться формулами, да и времени для этого найти не всегда получается. Лучше всего воспользоваться онлайн-калькуляторами на специализированных сайтах. Здесь важно правильно замерить нужные параметры в требуемых единицах. Нот для учеников и студентов такие сервисы не подходят — легкое получение готового результата отучает мыслить самостоятельно и никак не углубляет знаний.

Источник

Площадь круга

Прежде чем определится, как рассчитать площадь круга, необходимо хорошо усвоить и понять в чём разница между окружностью и кругом. Что называется окружностью, а что подразумевают под словом круг.

Замкнутая кривая ( линия ), чьи точки лежат на одинаковом расстоянии от одной точки её центра, называется окружностью.

Окружность разбивает плоскость на две области: внутреннюю и внешнюю.

Та часть плоскости, которая лежит внутри окружности (вместе с самой окружностью) называется кругом.

Другими словами, для простоты понимания, следует запомнить:

• окружность — это замкнутая линия ( граница круга).
• круг — это внутренняя область окружности.
• У окружности нельзя посчитать площадь! А у круга найти площадь, зная формулу, достаточно легко.

Как найти площадь круга

Для расчета площади круга используется формула:

• S = π R 2 , где R — радиус круга,
• S = π (
  

  D

  2

  ) 2 = π

  D 2

  2 2

  = π

  D 2

  4

  , где D — диаметр круга, т.к. R =

  D

  2

Как решать задачи на площадь круга

Теперь, зная, по какой формуле считается площадь круга, решим задачи на площадь круга.

Зубарева 6 класс. Номер 675(г)

Найдите площадь круга, радиус которого равен 1,2 см.

Воспользуемся формулой площади круга:
S = π R 2 = 3,14 · 1,2 2 = 3,14 · 1,44 = 4,5216 см 2

Обратите внимание, что площадь измеряется в квадратных единицах. Всегда проверяйте свои ответы, правильно ли вы указали единицы измерения.

Зубарева 6 класс. Номер 677(б)

Определите радиус круга, площадь которого равна 1,1304 см 2 .

Выразим из формулы радиус:
S = π R 2
R = √ S / π = √ 1,1304 / 3,14 = √ 0,36 = 0,6 см

Источник

Площадь круга – формулы, примеры расчетов

Определение величины

Площадь — это величина, характеризующая размер геометрической фигуры. Её определение — одна из древнейших практических задач. Древние греки умели находить площадь многоугольников: так, каменщикам, чтобы узнать размер стены, приходилось умножать её длину на высоту.

По прошествии долгих лет трудом многих мыслителей был выработан математический аппарат для расчета этой величины практически для любой фигуры.

На Руси существовали особые единицы измерения: копна, соха, короб, верёвка, десятина, четь и другие, так или иначе связанные с пахотой. Две последних получили наибольшее распространение. Однако от древнерусских землемеров нам досталось только само слово — «площадь».

С развитием науки и техники появилось не только множество формул для расчёта площадей любых геометрических фигур, но и приборы, которые делают это за человека. Такие приборы называют планиметрами.

Окружность и круг — в чём отличие?

Часто понятия круг и окружность путают, хотя это разные вещи. Окружность — это замкнутая линия, а круг — это плоская фигура, ограниченная окружностью. Таким образом, гимнастический обруч или колечко — это окружности, а монета или вкусный блин — это круги.

Окружность — замкнутая плоская кривая, все точки которой равноудалены от одной заданной точки — центра окружности.

Круг — бесконечное множество точек на плоскости, которые удалены от заданной точки, называемой центром круга, на значение, не превышающее заданного неотрицательного числа, называемого радиусом этого круга.

Площади фигур

Расчет площади квадрата, прямоугольника, параллелограмма, треугольника, трапеции, ромба, круга (площадь фигур). Площади фигур

Уравнение окружности

r 2 = ( x – a ) 2 + ( y – b ) 2

3. Параметрическое уравнение окружности с радиусом r и центром в точке с координатами ( a, b ) в декартовой системе координат:

<	x = a + r cos t
	y = b + r sin t

Найти площадь кругаОнлайн калькулятор

Радиус круга r

Диаметр – это удвоенный радиус, следовательно, подставляя его в формулу вместо последнего, нужно разделить его обратно на два.
Длина окружности представляет собой удвоенное произведение радиуса и числа π: P=2πr, обратным методом получаем, что радиус равен длине окружности, разделенной на его множитель.

Формула площади круга через диаметр

• S=π*d 2 /4, где
• S – площадь круга
• π – постоянное число, равное 3,14
• d – диаметр окружности

Формула площади круга через радиус

Таблица с формулами площади круга

исходные данные (активная ссылка для перехода к калькулятору)	эскиз	формула
1	радиус
2	диаметр
3	длина окружности
4	сторона квадрата вписанного в круг
5	сторона квадрата, в который вписан круг
6	стороны треугольника
7	сторона равностороннего треугольника
8	высота равностороннего треугольника
9	боковая сторона и основание равнобедренного треугольника
10	стороны при прямом угле треугольника
11	боковая сторона и основание равнобедренного треугольника
12	боковые стороны равнобедренного треугольника и угол между ними
13	стороны прямоугольного треугольника
14	сторона и угол при основании треугольника
15	сторона равностороннего треугольника
16	сторона и угол при основании трапеции
17	боковые стороны и диагональ трапеции
18	стороны прямоугольника
19	сторона и количество сторон многоугольника
20	сторона шестиугольника

Длина окружности круга

Множество точек удаленных от центра круга на расстояние, не превышающее радиус круга, называется кругом. Отношение длины любой окружности C к ее диаметру d всегда будет равно одному и тому же числу. Это число – всем известное число π («пи»), которое примерно равно 3,14. Так же, справедлива формула определения числа π , как отношение длины окружности C к двум ее радиусам r . Исходя из этого, выводится формула длины окружности C , которая равна произведения числа π и диаметра d окружности или 2-м ее радиусам r .

Для примера решим простую задачу, где нужно найти длину окружности, у которой известен радиус r =2 см.

Подставляем известные данные в формулу длины окружности и получаем, что длина окружности примерно равна 12,56 см.

Площадь круга описанного вокруг квадрата

Очень легко можно найти площадь круга описанного вокруг квадрата.

Для этого потребуется только сторона квадрата и знание простых формул. Диагональ квадрата будет равна диагонали описанной окружности. Зная сторону a ее можно найти по теореме Пифагора: отсюда .
После того, как найдем диагональ – мы сможем рассчитать радиус: .
И после подставим все в основную формулу площади круга описанного вокруг квадрата:

Зная несколько простых правил и теорему Пифагора, мы смогли рассчитать площадь описанной вокруг квадрата окружности.

Центральный угол, вписанный угол и их свойства

Основные свойства касательных к окружности

3. Если две касательные, с точками соприкосновения B и C, на одной окружности не параллельны, то они пересекаются в точке A, а отрезок между точкой соприкосновения и точкой пересечения одной касательной равен таком же отрезке на другой касательной:

Также, если провести прямую через центр окружности О и точку пересечения A этих касательных, то углы образованный между этой прямой и касательными будут равны:

Способы расчета

Чтобы получить круглое поперечное сечение, необходимо разрезать объёмную фигуру перпендикулярно оси вращения. В случае с цилиндром площади всех поперечных сечений будут равны между собой — как, например, кружки колбасы, нарезанные поперек батона, одинаковы.

Шар, по сути, представляет собой напластование блинчиков-кругов различного диаметра от точечного до заданного и обратно до точки. Чтобы найти S какого-либо из блинчиков, необходимо определить его радиус. Принцип его расчёта сводится к решению теоремы Пифагора, где гипотенузой выступает радиус шара, а искомый радиус становится одним из катетов.

При расчёте площади сечений конуса необходимо найти радиус или диаметр каждого из кругов, учитывая, что в продольном разрезе конус — это равнобедренный треугольник.

Цилиндр, конус и шар — базовые объемные фигуры. Однако существуют более сложные фигуры, например, тор. Тор, или тороид, при первом приближении являет собой не что иное, как бублик или баранку. Разломив его пополам, на торцах можно увидеть два одинаковых круга. Площадь такого поперечного сечения можно получить, удвоив имеющуюся (на рисунке серая область справа). Если взять нож и рассечь баранку вдоль, на срезе получится кольцо. В случае с такой фигурой необходимо найти площадь круга по внешней окружности и вычесть из нее «дырку от бублика» (показано серым на рисунке слева).

Площадь круглого поперечного сечения рассчитывается исходя из имеющихся характеристик. Она сводится к трем основным формулам. Их можно представить таким образом:

1. Самая популярная, легкая в применении и часто используемая формула. Чтобы узнать площадь фигуры, если известен её радиус, нужно возвести это значение в квадрат и умножить на число π. Для бытовых расчетов достаточно двух знаков после запятой, то есть π = 3,14.
2. Иногда оперируют диаметром, а не радиусом круга. В этом случае к вычислениям добавляется одна операция: диаметр умножают сам на себя, затем на число π, а произведение делят на 4.
3. Если известна длина окружности С и ее радиус R и нужно выяснить площадь круга, ограниченного этой окружностью, не понадобится даже π. Используют следующую формулу: значение С делят пополам и умножают на R. Полученное чисто и будет искомой величиной.

Способов определения того, чему равна площадь круга, достаточно много. Чаще всего, если возникает подобная задача, на ум приходит знакомая еще со школьной скамьи формула «эс равно пи эр квадрат».

Источник