Чтобы без труда вычислить объём любой фигуры, нужно разобраться с определениями.
Объём — это количественная характеристика пространства, занимаемого телом или веществом.
Другими словами, это то, сколько места занимает предмет.
Объём измеряется в единицах измерения размера пространства, занимаемого телом, то есть в кубических метрах, кубических сантиметрах, кубических миллиметрах.
За единицу измерения объёма можно принять куб с ребром 1 см, то есть, кубический сантиметр (см 3 ), кубический миллиметр (1 мм 3 ), кубический метр (1 м 3 ).
Объём всегда выражается в положительных числах. Это число показывает, какое именно количество единиц измерения есть в теле. Например, сколько воды в бассейне, сока в графине, земли в клумбе.
Два свойства объёма
У равных тел равные объёмы. Если два тела одинаковы и имеют равные единицы измерения — их объёмы равны. Например, у двух одинаковых пакетов сока равные объемы.
Если геометрическое тело состоит из нескольких геометрических тел, то его объём равен сумме объёмов этих тел.
Любое объемное тело имеет объем. Получается, при желании мы можем вычислить объем кружки, смартфона, вазы, кота — чего угодно.
Объем прямоугольного параллелепипеда
Прямоугольный параллелепипед — это многогранник с шестью гранями, каждая из которых является параллелограммом.
Прямоугольным параллелепипедом называют параллелепипед, у которого основание — прямоугольник, а боковые ребра образуют с основаниями прямые углы.
Формула объема прямоугольного параллелепипеда
Чтобы вычислить объем прямоугольного параллелепипеда, найдите произведение его длины, ширины и высоты:
V = a × b × h
Чтобы не запутаться в формулах, запоминайте табличку с условными обозначениями.
Источник
Нахождение объема параллелепипеда: формула и задачи
В данной публикации мы рассмотрим, как можно найти объем параллелепипеда и разберем примеры решения задач для закрепления материала.
Формула вычисления объема параллелепипеда
1. Общая формула
Объем любого параллелепипеда равняется произведению площади его основания на высоту.
V = Sосн ⋅ h
Sосн – площадь основания (ABCD или EFHG, равны между собой);
h – высота.
Данная формула справедлива для всех видов геометрической фигуры:
наклонной – боковые грани не перпендикулярны основаниям;
прямой – все боковые грани (4 шт.) являются прямоугольниками;
прямоугольной – все грани (боковые и основания) являются прямоугольниками;
ромбоэдра – все грани являются равными ромбами;
куба – все грани представляют собой равные квадраты.
2. Объем прямоугольного параллелепипеда
Объем фигуры равен произведению его длины на ширину на высоту.
V = a ⋅ b ⋅ c
Формула следует из следующих утверждений:
Основанием фигуры является прямоугольник, площадь которого считается как произведение его длины (a) на ширину (b).
Высота фигуры – это длина боковой грани (c).
Примеры задач
Задание 1 Найдите объем параллелепипеда, если известно, что площадь его основания равняется 20 см 2 , а высота – 7 см.
Решение: Используем первую формулу, подставив в нее известные нам значения: V = 20 см 2 ⋅ 7 см = 140 см 3 .
Задание 2 Дан прямоугольный параллелепипед. Длина и ширина его основания равны 9 см и 5 см, соответственно, а высота составляет 6 см. Найдите объем фигуры.
Решение: Воспользуемся формулой для данного типа фигуры: V = 9 см ⋅ 5 см ⋅ 6 см = 270 см 3 .
Источник
Формулы вычисления объёма прямоугольника и параллелепипеда
Школа — это необъятная чаша знаний, которая включает в себя множество дисциплин, которые могут заинтересовать любого ребенка. Математика — царица точных наук. Строгая и дисциплинированная, она не терпит неточностей. Даже повзрослев, в обычной жизни мы можем столкнуться с разными математическими проблемами: вычисление квадратных метров для укладки плитки в ванной, кубических метров для определения объема бака и т. д., чего уж говорить о школьниках, которые только-только начинают свой математический путь.
Очень часто, начав изучать математику, точнее, геометрию, ученики путают плоские фигуры с объемными. Куб называют квадратом, шар — кругом, параллелепипед обычным прямоугольником. И здесь есть свои тонкости.
Сложно помочь ребенку в выполнении домашнего задания, не зная точно, объем или площадь какой фигуры — плоской или же объемной, нужно найти. Невозможно найти объем плоских фигур, таких как квадрат, круг, прямоугольник. В их случае можно найти лишь площадь. Прежде чем переходить к выполнению задачи, следует подготовить нужные атрибуты:
Линейка, для того чтобы измерить необходимые нам данные.
Калькулятор, для того чтобы в дальнейшем подсчитать расчеты.
Вычисление объема прямоугольного параллелепипеда
Итак, вы знаете, что нужно рассчитать объем, но не забывайте, что обязательно нужно уточнить о какой именно фигуре идет речь: объем куба, или же объемного прямоугольника. Ведь расчет этих, казалось бы, одинаковых фигур, абсолютно разный.
Для начала рассмотрим само понятие объемного прямоугольника. Это параллелепипед. В его основании находится параллелограмм. Так как таковых у него шесть, следовательно все параллелограммы являются гранями параллелепипеда.
Что касается его граней, они могут отличаться, то есть, если прямые боковые грани представляют собой прямоугольники, тогда это прямой параллелепипед, ну, а если все шесть граней являются прямоугольниками, то перед нами прямоугольный параллелепипед.
После прочтения задачи, нужно определить что именно следует найти; длину фигуры, объем или же площадь.
Какая именно часть фигуры рассматривается в задаче — ребро, вершина, грань, сторона, а может быть, вся фигура целиком?
Определив все поставленные задачи, можно переходить непосредственно к вычислениям. Для этого нам понадобятся специальные формулы. Итак, для того чтобы найти объем прямоугольного параллелепипеда перемножается между собой длина, ширина и высота (то есть толщина фигуры). Формула вычисления объема прямоугольного параллелепипеда следующая:
V=a*b*h,
V является объемом параллелепипеда, где a — его длина b — ширина и h — высота соответственно.
Важно! Перед началом перевести все измерения в одну единицу исчисления. Ответ должен получится непременно в кубических единицах.
Пример первый
Определим объем бака для спирта, при следующих размерах:
длина три метра;
ширина два метра пятьдесят сантиметров;
высота триста сантиметров.
Для начала обязательно согласовываем единицы измерения и перемножаем их:
Перемножив данные, мы получим ответ в кубических метрах, то есть 3*2.5*3= 22.5 метра в кубе.
Пример второй
Шкаф имеет высоту четыре метра, ширину семьдесят сантиметров и глубину 80 сантиметров.
Зная формулу вычисления можно произвести умножение. Но не стоит торопиться, как и было сказано вначале, следует согласовать между собой единицы, то есть при желании вычислять в сантиметрах перевести все исчисления в сантиметры, ежели в метрах, то в метры. Сделаем оба варианта.
Итак, начнем с сантиметров. Переводим метры в сантиметры:
V = 2240000 сантиметров в кубе.
V = 2.24 метра в кубе.
Исходя из вышеперечисленных манипуляции, очевидно, что работа с кубическими метрами более легка и понятна.
Пример третий
Дана комната, объем которой должен быть вычислен. Длина этой комнаты равна пяти метрам, ширина — трем, а высота потолка 2,5. Опять используем известную нам формулу:
V = a * b * h;
где, а длина комната и равна 5, b- ширина и равна 3 и h высота, которая равна 2.5
Так как все единицы даны в метрах, можно сразу приступать к вычислениям. Перемножая между собой a, b и h:
V = 37.5 метра в кубе.
Итак, в качестве заключения, можно сказать, что зная основные математические правила для вычисления объема или же площади фигур, а также правильно определив фигуры (плоские или же объемные), умея переводить сантиметры в метры и наоборот — можно облегчить изучение геометрии вашему ребенку, что не может не сделать этот процесс более интересным и привлекательным, ведь все накопленные знания в школе, могут быть успешно использованы в самой обычной бытовой жизни в будущем.
Вокруг нас находится огромное множество объектов — «физических тел».
Все реальные тела занимают некоторое место в пространстве, поэтому часто приходиться сталкиваться с таким понятием как объем.
На этом уроке мы попытаемся выяснить, что такое объем.
Определим его основные свойства.
Узнаем, в каких единицах измерения объем выражается.
Выясним, как взаимосвязаны между собой единицы объема.
Научимся находить объем прямоугольного параллелепипеда и применим эти знания при решении задач.
Объем. Объем прямоугольного параллелепипеда
Итак, любое тело в пространстве характеризуется объемом.
Давайте разберемся, что же такое объем.
Объем слово многозначное.
Выделяют два основных значения слова «объем».
1. Объемом называют величину, которая характеризует содержание чего-либо или количество содержащегося.
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
Приведем несколько примеров:
Объем книги- это количество листов. Он измеряется условными единицами- листами (печатными, авторскими, учетно-издательскими).
Объем книги характеризуется количеством текста и иллюстраций.
Объем производства- результат деятельности предприятия по производству продукции или предоставлению услуг.
Объем производства может выражается в натуральных, трудовых или стоимостных единицах.
Объем работ- это количество различных действий и операций и частота их выполнения.
Часто объем выполненных работ приходится определять при строительстве, ремонте и других работах, что позволяет заказчику отслеживать и контролировать выполнение каждого этапа этих работ.
Объем крови- количество крови в теле человека.
Зависит от возраста, половой принадлежности, массы, роста, состояния и массы мышц.
Например, у спортсмена объем крови в организме больше, чем у того, кто ведет малоподвижный образ жизни; у мужчины немного больше, чем у женщин.
Измерение объема крови осуществляется в литрах.
Определять объем крови необходимо при донорстве или перед проведение операции для расчета анестезии.
Объем легких (по-другому, легочная емкость)- это количество воздуха, который проходит через легкие.
Емкость легкого измеряют в литрах.
В медицине часто измеряют объем легких для диагностирования различных легочных заболеваний и в других медицинских исследованиях.
Объем информации (объем данных) определяется количеством символов, заключенных в тексте, и количеством информации, которой обладает каждый символ.
Объем информации выражают в специальных единицах памяти компьютера: битах, байтах и т.д
В математике объем имеет несколько другое значение.
Рассмотрим понятие объема с геометрической точки зрения.
2. Объем- это величина, характеризующая размер тела в пространстве.
Другими словами, объем- это величина, которая показывает сколько места тело занимает в пространстве.
Обычно объем обозначается латинской буквой V (от лат. volume- объем, наполнение).
Объем тела определяется его формой и размером.
Объем, как и любую другую величину, можно измерять.
Известно, чтобы измерить величину некоторой фигуры, необходимо определить сколько раз в ней помещается другая фигура, принятая за единицу измерения.
На прошлых уроках мы выяснили, что при измерении длины используют линейные меры длины (1 мм, 1 см, 1 дм и т.д.), площадь измеряют квадратными единицами длины (1 мм 2 , 1 см 2 , 1 дм 2 и т.д.).
Квадратная единица представляет собой квадрат, стороны которого выражены линейными единицами.
Общее количество таких единичных квадратов, содержащихся в фигуре, — это площадь фигуры.
Аналогично дело обстоит с измерением объема фигуры.
Однако, чтобы определить размеры фигуры на плоскости, необходимо знать только две величины: ширину и длину, а для определения размеров пространственной фигуры кроме длины и ширины необходимо знать третью линейную меру — высоту.
Объем измеряют кубическими единицами.
Кубическая единица представляет собой куб, стороны которого выражены линейными единицами. Другими словами, объем измеряется кубическими единицами длины.
Измерить объем фигуры- это значит найти сколько кубических единиц содержится в данной фигуре.
Определим объем уже известной нам пространственной фигуры- прямоугольного параллелепипеда.
Прямоугольный параллелепипед- это объемная геометрическая фигура, многогранник, состоящий из шести граней-прямоугольников, причем противоположные грани его попарно равны.
Объем прямоугольного параллелепипеда- это число, которое показывает, какое количество кубических единиц помещается в этот прямоугольный параллелепипед.
Таким образом, если разбить фигуру на n равных единичных кубиков, то объем будет равен n кубических единиц.
Пусть прямоугольный параллелепипед имеет следующие размеры:
Ширина а =3 (ед. длины)
Длина b=6 (ед. длины)
Высота h=2 (ед. длины)
Высота прямоугольного параллелепипеда- это расстояние между нижним и верхним основанием.
Выложим на нижнее основание прямоугольного параллелепипеда вдоль самой длинной стороны ряд из единичных кубиков (ребро каждого такого кубика равно одной единице длинны).
В такой ряд поместиться 6 единичных кубиков.
Чтобы закрыть все нижнее основание прямоугольного параллелепипеда, необходимо выложить 3 таких ряда по 6 кубиков в каждом.
Количество единичных кубиков, выложенных в основании, будет определяться выражением 6 ∙ 3.
Найдем значение данного выражения:
6 ∙ 3 = 18 (ед. кубиков).
Слой кубиков, из которых выложено дно прямоугольного параллелепипеда, состоит из 18 единичных кубиков.
Сколько таких слоев можно поместить в прямоугольный параллелепипед зависит от его высоты.
В нашем случае высота прямоугольного параллелепипеда равна двум единицам длины.
Следовательно, в измеряемом прямоугольном параллелепипеде можно уместить 2 слоя (каждый по 18 единичных кубиков).
Общее количество единичных кубиков будет определяться выражением 2 ∙ 18.
Найдем значение данного выражения:
2 ∙ 18 = 36 (ед. кубиков).
Следовательно, объем всего прямоугольного параллелепипеда равен 36 кубическим единицам.
По сути, чтобы найти объем прямоугольного параллелепипеда, нам пришлось перемножить длины трех его сторон: ширины а = 3 (ед. длины), длины b=6 (ед. длины), высоты h=2 (ед. длины).
V =a∙b∙h = 3 ∙ 6 ∙ 2 = 36 (кубических единиц).
Запишем правило нахождения объема прямоугольного параллелепипеда.
Правило: объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений (трех его сторон: ширины а, длиныb, высотыh), выраженных в одинаковых единицах измерения.
Запишем правило в виде формулы.
Формула объема прямоугольного параллелепипеда выглядит так:
Таким образом, чтобы найти объем прямоугольного параллелепипеда, не обязательно разбивать его на кубические единицы и считать их общее количество, необходимо просто знать длину, ширину и высоту этой фигуры.
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
Нам известно, что нижняя грань прямоугольного параллелепипеда с ребрами a и b— это его нижнее основание, и оно прямоугольной формы.
Так как основание параллелепипеда- это прямоугольник, то произведение (a∙b)- это ничто иное, как площадь основания прямоугольного параллелепипеда.
Sосн = a∙b— площадь основания прямоугольного параллелепипеда.
Заменим в формуле объема прямоугольного параллелепипеда V = (a∙b)∙h произведение (a∙b) на Sосн , получим правило:
Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади его основания на высоту.
Запишем правило в виде формулы.
Выясним, как выглядит формула объема для куба.
Известно, что куб- это прямоугольный параллелепипед, состоящий из шести одинаковых квадратов, следовательно, все ребра куба равны между собой; значит, ширина, длина и высота имеют одинаковые значения.
Таким образом, вычислить объем куба довольно просто, если знать значение его ребра.
Пусть а— это длина ребра куба.
Тогда для куба справедливо следующее: b= а,h= а.
Формула объема прямоугольного параллелепипеда V=a∙b∙h для куба примет вид:
V=a∙ а ∙ а = а 3
Умножив ширину на длину и на высоту, получим произведение трех равных по значению множителей.
Произведение трех множителей — это куб числа.
Правило: чтобы вычислить объем куба, нужно перемножить значения трех его ребер или просто возвести ребро куба в третью степень.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
