Способы нахождения линий пересечения плоскостей

Контрольные задания по теме: Эпюр № 1 (вариант назначает преподаватель)

Две плоскости параллельны, когда две взаимно пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум взаимно пересекающимся прямым другой плоскости.

Рисунок 26

На рисунке 26 даны две плоскости. Одна задана треугольником АВС, а другая двумя пересекающимися прямыми l и m. Эти плоскости параллельны, т.к прямая l // ВС, а m // АС.

Прямая линии пересечения двух плоскостей определяется двумя точками, каждая из которых принадлежит обеим плоскостям. Для того чтобы определить общую точку, принадлежащую обеим плоскостям, вводят вспомогательную плоскость. Затем определяют линии пересечения вспомогательной плоскости и двух данных. Точка пересечения этих линий будет общей точкой плоскостей.

На практике обычно пользуются другим способом — находят точки пересечения двух прямых, принадлежащих одной плоскости с другой плоскостью, и через них проводят линию пересечения плоскостей. Возьмем для примера две плоскости в виде треугольников и построим линию их пересечения таким способом. На рисунке 27 даны две непрозрачные пластины АВС и EFG. Первая вспомогательная секущая плоскость S берется по стороне EG. Она пересекает плоскость треугольника АВС по линии 12. Строим горизонтальную проекцию линии 12 и находим точку пересечения ее со стороной EG.

Рисунок 27

Получаем точку М – горизонтальную проекцию точки пересечения. Вторая точка К находится аналогично, путем введения вспомогательной секущей плоскости S´ по стороне АВ. Затем определяется видимость плоскостей при помощи конкурирующих точек. Для того чтобы придать чертежу наглядность, одну из пластин можно заштриховать.

1. Сформулируйте условие параллельности плоскостей.

2. Сколько можно провести плоскостей параллельных данной через какую-либо точку пространства?

3. Как решается задача на построение линии пересечения плоскостей?

4. Как определить видимость плоскостей?

Источник

Построение линии пересечения плоскостей, заданных различными способами

Две плоскости пересекаются друг с другом по прямой линии. Чтобы её построить, необходимо определить две точки, принадлежащие одновременно каждой из заданных плоскостей. Рассмотрим, как это делается, на следующих примерах.

Найдем линию пересечения плоскостей общего положения α и β для случая, когда пл. α задана проекциями треугольника ABC, а пл. β – параллельными прямыми d и e. Решение этой задачи осуществляется путем построения точек L₁ и L₂, принадлежащих линии пересечения.

Вводим вспомогательную горизонтальную плоскость γ₁. Она пересекает α и β по прямым. Фронтальные проекции этих прямых, 1»C» и 2»3», совпадают с фронтальным следом пл. γ₁. Он обозначен на рисунке как f₀_γ₁ и расположен параллельно оси x.
Определяем горизонтальные проекции 1’C’ и 2’3′ по линиям связи.
Находим горизонтальную проекцию точки L₁ на пересечении прямых 1’C’ и 2’3′. Фронтальная проекция точки L₁ лежит на фронтальном следе плоскости γ.
Вводим вспомогательную горизонтальную плоскость γ₂. С помощью построений, аналогичных описанным в пунктах 1, 2, 3, находим проекции точки L₂.
Через L₁ и L₂ проводим искомую прямую l.

Стоит отметить, что в качестве пл. γ удобно использовать как плоскости уровня, так и проецирующие плоскости.

Пересечение плоскостей, заданных следами

Найдем линию пересечения плоскостей α и β, заданных следами. Эта задача значительно проще предыдущей. Она не требует введения вспомогательных плоскостей. Их роль выполняют плоскости проекций П₁ и П₂.

Находим точку L’₁, расположенную на пересечении горизонтальных следов h₀_α и h₀_β. Точка L»₁ лежит на оси x. Её положение определяется при помощи линии связи, проведенной из L’₁.
Находим точку L»₂ на пересечении фронтальных следов пл. α и β. Точка L’₂ лежит на оси x. Её положение определяется по линии связи, проведенной из L»₂.
Проводим прямые l’ и l» через соответствующие проекции точек L₁ и L₂, как это показано на рисунке.

Таким образом, прямая l, проходящая через точки пересечения следов плоскостей, является искомой.

Пересечение плоскостей треугольников

Рассмотрим построение линии пересечения плоскостей, заданных треугольниками ABC и DEF, и определение их видимости методом конкурирующих точек.

Через прямую DE проводим фронтально-проецирующую плоскость σ: на чертеже обозначен ее след f_0σ. Плоскость σ пересекает треугольник ABC по прямой 35. Отметив точки 3»=A»B»∩f_0σ и 5»=A»С»∩f_0σ, определяем положение (∙)3′ и (∙)5′ по линиям связи на ΔA’B’C’.
Находим горизонтальную проекцию N’=D’E’∩3’5′ точки N пересечения прямых DE и 35, которые лежат во вспомогательной плоскости σ. Проекция N» расположена на фронтальном следе f_0σ на одной линии связи с N’.

Через прямую BC проводим фронтально-проецирующую плоскость τ: на чертеже обозначен ее след f_0τ. С помощью построений, аналогичных тем, что описаны в пунктах 1 и 2 алгоритма, находим проекции точки K.

Через N и K проводим искомую прямую NK – линию пересечения ΔABC и ΔDEF.

Фронтально-конкурирующие точки 4 и 5, принадлежащие ΔDEF и ΔABC соответственно, находятся на одной фронтально-проецирующей прямой, но расположены на разном удалении от плоскости проекций π₂. Так как (∙)5′ находится ближе к наблюдателю, чем (∙)4′, то отсек ΔABC с принадлежащей ему (∙)5 является видимым в проекции на пл. π₂. С противоположной стороны от линии N»K» видимость треугольников меняется.

Горизонтально-конкурирующие точки 6 и 7, принадлежащие ΔABC и ΔDEF соответственно, находятся на одной горизонтально-проецирующей прямой, но расположены на разном удалении от плоскости проекций π₁. Так как (∙)6» находится выше, чем (∙)7», то отсек ΔABC с принадлежащей ему (∙)6 является видимым в проекции на пл. π₁. С противоположной стороны от линии N’K’ видимость треугольников меняется.

Источник

Пересечение плоскостей. Два способа нахождения линии пересечения плоскостей.

В случае задания плоскостей их следами: если хотя бы одна пара одноименных следов пересекается, то плоскости пересекаются.

Если плоскости заданы другим способом:

Общий способ нахождения линии пересечения (основан на использовании вспомогательных плоскостей-посредниц)

1. Задаем вспомогательную плоскость и находим линии ее пересечения с заданными плоскостями – 12 и 34

2. Находим точку пересечения прямых 12 и 34 – первую искомую точку М

3. Задаем вторую вспомогательную плоскость и находим линии ее пересечения с заданными плоскостями – прямые 56 и 78

4. Находим точку пересечения прямых 56 и 78 – вторую искомую точку N

5. Через точки М и N проводим линию пересечения плоскостей

Нахождение линии пересечения на основе пересечения прямой и плоскости.

На одной из плоскостей, заданных например плоской фигурой, выделить сторону и рассматривать ее как прямую, пересекающую вторую плоскость. Аналогично берется вторая прямая и строится вторая точка пересечения плоскостей.

Алгоритм захождения точки пересечения прямой и плоскости:

1. Заключаем прямую во вспомогательную плоскость

2. Находим линию пересечения заданной и вспомогательной плоскости – прямую 12

3. Точка пересечения М и 12 – точка К – искомая точка пересечения (точка пересечения прямой и плоскости)

4. Определяем видимость прямой

Перпендикулярность прямой и плоскости. Теорема о проекциях прямого угла.

Определение
Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой, которая лежит в данной плоскости и проходит через точку пересечения.

ПРИЗНАК ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ ПРЯМОЙ И ПЛОСКОСТИ.
Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум прямым в этой плоскости, проходящим через точку пересечения данной прямой и плоскости, то она перпендикулярна плоскости.

Для того, чтобы прямая m была перпендикулярна плоскости s, необходимо и достаточно, чтобы горизонтальная проекция прямой m₁ была перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали (m₁ перпендикулярна h₁), а фронтальная проекция прямой m₂ – фронтальной проекции фронтали (m₂ перпендикулярна f₂).

Теорема о проецировании прямого угла:

Если хотя бы одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а вторая ей не перпендикулярна, то угол на эту плоскость проецируется в натуральную величину.

Следствие: если прямоугольная проекция угла, одна сторона которого параллельна плоскости проекций, — прямой угол, то проецируемый угол также прямой.

Перпендикулярность плоскостей. Перпендикулярность прямых.

Две плоскости называются перпендикулярными, если двугранный угол между ними равен 90 градусам.

— Если плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

— Если из точки, принадлежащей одной из двух перпендикулярных плоскостей, провести перпендикуляр к другой плоскости, то этот перпендикуляр полностью лежит в первой плоскости.

— Если в одной из двух перпендикулярных плоскостей провести перпендикуляр к их линии пересечения, то этот перпендикуляр будет перпендикулярен второй плоскости.

Построение плоскости β, перпендикулярной к плоскости α, может быть произведено двумя способами

1. пл.β проводится через прямую, перпендикулярную плоскости к пл.α

2. пл.β проводится перпендикулярно к прямой, лежащей в пл.α или параллельной этой плоскости

Перпендикулярность прямых

Две взаимно-перпендикулярные прямые (пересекающиеся или скрещивающиеся) тогда и только тогда проецируются на горизонтальную плоскость в виде перпендикулярных прямых, когда хотя бы одна из этих прямых является горизонталью.

Аналогично для фронтальной и профильной плоскостей.

13. Преобразование ортогональных проекций: методы вращения и замены плоскостей. Использование методов преобразования для решения типовых задач.

1. Метод замены плоскостей проекций: сущность метода заключается в том, что положение точек, линий, плоских фигур, поверхностей в пространстве остается неизменным, а система П1, П2 дополняется плоскостями, образующими с П1 или П2, или между собой системы двух взаимно перпендикулярных плоскостей, принимаемых за плоскости проекций.

2. Метод вращения

Некоторая фигура вращается вокруг некоторой неподвижной прямой(ось вращения). И при вращении каждая точка вращаемой фигуры перемещается в плоскости перпендикулярной к оси вращения(плоскость вращения). Точка перемещается по окружности, центр которой находится в точке пересечения оси с плоскостью вращения (центр вращения), а радиус окружности равняется расстоянию от вращаемой точки до центра ( это радиус вращения). Если какая-либо точка данной системы находится на оси вращения, то при вращении системы эта точка считается неподвижной. Ось вращения может быть задана или выбрана.

Источник

Линия пересечения плоскостей онлайн

С помощю этого онлайн калькулятора можно найти линию пересечения плоскостей. Дается подробное решение с пояснениями. Для нахождения уравнения линии пересечения плоскостей введите коэффициенты в уравнения плоскостей и нажимайте на кнопку «Решить». Теоретическую часть и численные примеры смотрите ниже.

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Линия пересечения плоскостей − теория, примеры и решения

Две плоскости в пространстве могут быть параллельными, могут совпадать или пересекаться. В данной статье мы определим взаимное расположение двух плоскостей, и если эти плоскости пересекаются, выведем уравнение линии пересечения плоскостей.

Пусть задана декартова прямоугольная система координат Oxyz и пусть в этой системе координат заданы плоскости α₁ и α₂:

α₁: A₁x+B₁y+C₁z+D₁=0,

(1)

α₂: A₂x+B₂y+C₂z+D₂=0,

(2)

Найдем уравнение линии пересеченя плоскостей α₁ и α₂. Для этого рассмотрим следующие случаи:

Умножив уравнение (2) на λ, получим:

α₂: A₁x+B₁y+C₁z+λD₂=0,

(3)

Если векторы n₁ и n₂ не коллинеарны, то решим систему линейных уравнений (1) и (2). Для этого переведем свободные члены на правую сторону уравнений и составим соответствующее матричное уравнение:

(4)

Как решить уравнение (4) посмотрите на странице Метод Гаусса онлайн или Метод Жоржана-Гаусса онлайн.

Так как в системе линейных уравнений (4) векторы n₁=<A₁, B₁, C₁> и n₂=<A₂, B₂, C₂> не коллинеарны, то решение этой системы линейных уравнений имеет следующий вид:

(5)

Равенство (5) можно записать в следующем виде:

(6)

Мы получили параметрическое уравнение прямой, которое является линией пересечения плоскостей α₁ и α₂. Полученное уравнение прямой можно записать в каноническом виде:

Пример 1. Найти линию пересечения плоскостей α₁ и α₂:

Поскольку направляющие векторы n₁ и n₂ неколлинеарны, то плолскости α₁ и α₂ пересекаются.

Для нахождения линии пересечения влоскостей α₁ и α₂ нужно решить систему линейных уравнений (7) и (8). Для этого составим матричное уравнение этой системы:

(9)

Решим систему линейных уравнений (9) отностительно x, y, z. Для решения системы, построим расширенную матрицу:

(10)

Обозначим через a_ij элементы i-ой строки и j-ого столбца.

Первый этап. Прямой ход Гаусса.

Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже элемента a₁₁. Для этого сложим строку 2 со строкой 1, умноженной на −2:

Второй этап. Обратный ход Гаусса.

Исключим элементы 2-го столбца матрицы выше элемента a₂₂. Для этого сложим строку 1 со строкой 2, умноженной на −2/5:

Делим каждую строку матрицы на соответствующий ведущий элемент (если ведущий элемент существует):

(11)

где t− произвольное действительное число.

Запишем (11) в следующем виде:

(12)

Получили уравнение линии пересечения плоскостей α₁ и α₂ в параметрическом виде. Запишем ее в каноническом виде.

(13)

Из равентсв выше получим каноническое уравнение прямой:

Ответ. Уравнение линии пересечения плоскостей α₁ и α₂имеет вид:

Пример 2. Найти линию пересечения плоскостей α₁ и α₂:

(14)

(15)

Поскольку направляющие векторы n₁ и n₂ коллинеарны (n₁ можно получить умножением n₂ на число 1/2), то плоскости α₁ и α₂ параллельны или совпадают.

При умножении уравнения на ненулевое число уравнение не изменяется. Преобразуем уравнение плоскости α₂ умножив на число 1/2:

(16)

Так как нормальные векторы уравнений (14) и (16) совпадают, а свободные члены разные, то плоскости α₁ и α₂ не совпадают. Следовательно они параллельны, т.е. не пересекаются.

Пример 3. Найти линию пересечения плоскостей α₁ и α₂:

(17)

(18)

Поскольку направляющие векторы n₁ и n₂ коллинеарны (n₁ можно получить умножением n₂ на число 1/3), то плоскости α₁ и α₂ параллельны или совпадают.

При умножении уравнения на ненулевое число уравнение не изменяется. Преобразуем уравнение плоскости α₂ умножив на число 1/3:

(19)

Так как нормальные векторы уравнений (17) и (19) совпадают, и свободные члены равны, то плоскости α₁ и α₂ совпадают.

Источник