Способы нахождения корней многочлена

Методы разложения многочленов на множители

Основа метода

Пусть

– многочлен степени n ≥ 1 от действительной или комплексной переменной z с действительными или комплексными коэффициентами a_i . Примем без доказательства следующую теорему.

Теорема 1

Уравнение P_n ( z ) = 0 имеет хотя бы один корень.

Докажем следующую лемму.

Лемма 1

Пусть P_n ( z ) – многочлен степени n , z ₁ – корень уравнения:
P_n ( z ₁) = 0 .
Тогда P_n ( z ) можно представить единственным способом в виде:
P_n ( z ) = ( z – z ₁) P_{n– 1} ( z ) ,
где P_{n– 1} ( z ) – многочлен степени n – 1 .

Доказательство

Для доказательства, применим теорему (см. Деление и умножение многочлена на многочлен уголком и столбиком), согласно которой для любых двух многочленов P_n ( z ) и Q_k ( z ) , степеней n и k , причем n ≥ k , существует единственное представление в виде:
P_n ( z ) = P_n–k ( z ) Q_k ( z ) + U_{k– 1} ( z ) ,
где P_n–k ( z ) – многочлен степени n–k , U_{k– 1} ( z ) – многочлен степени не выше k– 1 .

Положим k = 1 , Q_k ( z ) = z – z ₁ , тогда
P_n ( z ) = ( z – z ₁ ) P_{n– 1} ( z ) + c ,
где c – постоянная. Подставим сюда z = z ₁ и учтем, что P_n ( z ₁) = 0 :
P_n ( z ₁ ) = ( z ₁ – z ₁ ) P_{n– 1} ( z ₁ ) + c ;
0 = 0 + c .
Отсюда c = 0 . Тогда
P_n ( z ) = ( z – z ₁ ) P_{n– 1} ( z ) ,
что и требовалось доказать.

Разложение многочлена на множители

Итак, на основании теоремы 1, многочлен P_n ( z ) имеет хотя бы один корень. Обозначим его как z ₁ , P_n ( z ₁ ) = 0 . Тогда на основании леммы 1:
P_n ( z ) = ( z – z ₁ ) P_{n– 1} ( z ) .
Далее, если n > 1 , то многочлен P_{n– 1} ( z ) также имеет хотя бы один корень, который обозначим как z ₂ , P_{n– 1} ( z ₂ ) = 0 . Тогда
P_{n– 1} ( z ) = ( z – z ₂ ) P_{n– 2} ( z ) ;
P_n ( z ) = ( z – z ₁ )( z – z ₂ ) P_{n– 2} ( z ) .

Продолжая этот процесс, мы приходим к выводу, что существует n чисел z ₁ , z ₂ , . , z _n таких, что
P_n ( z ) = ( z – z ₁ )( z – z ₂ ) . ( z – z _n ) P ₀ ( z ) .
Но P ₀( z ) – это постоянная. Приравнивая коэффициенты при z n , находим что она равна a_n . В результате получаем формулу разложения многочлена на множители:
(1) P_n ( z ) = a_n ( z – z ₁ )( z – z ₂ ) . ( z – z _n ) .

Числа z_i являются корнями многочлена P_n ( z ) .

В общем случае не все z_i , входящие в (1), различны. Среди них могут оказаться одинаковые значения. Тогда разложение многочлена на множители (1) можно записать в виде:
(2) P_n ( z ) = a_n ( z – z ₁ ) n ₁ ( z – z ₂ ) n ₂ . ( z – z _k ) n_k ;
.
Здесь z_i ≠ z_j при i ≠ j . Если n_i = 1 , то корень z_i называется простым. Он входит в разложение на множители в виде ( z–z_i ) . Если n_i > 1 , то корень z_i называется кратным корнем кратности n_i . Он входит в разложение на множители в виде произведения n_i простых множителей: ( z–z_i )( z–z_i ) . ( z–z_i ) = ( z–z_i ) n_i .

Многочлены с действительными коэффициентами

Далее мы считаем, что многочлен

имеет действительные коэффициенты a_i .

Лемма 2

Если – комплексный корень многочлена с действительными коэффициентами, , то комплексно сопряженное число также является корнем многочлена, .

Доказательство

Действительно, если , и коэффициенты многочлена – действительные числа, то .

Таким образом, комплексные корни входят в разложение на множителями парами со своими комплексно сопряженными значениями:
,
где , – действительные числа.
Тогда разложение (2) многочлена с действительными коэффициентами на множители можно представить в виде, в котором присутствуют только действительные постоянные:
(3) ;
.

Методы разложения многочлена на множители

С учетом сказанного выше, для разложения многочлена на множители, нужно найти все корни уравнения P_n(z) = 0 и определить их кратность. Множители с комплексными корнями нужно сгруппировать с комплексно сопряженными. Тогда разложение определяется по формуле (3).

Таким образом, метод разложения многочлена на множители заключается в следующем:
1. Находим корень z ₁ уравнения P_n ( z ₁) = 0 .
2.1. Если корень z ₁ действительный, то в разложение добавляем множитель ( z – z ₁) и делим многочлен P_n(z) на ( z – z ₁) . В результате получаем многочлен степени n – 1 :
.
Далее повторяем процесс для многочлена P_{n– 1} (z) , начиная с пункта 1, пока не найдем все корни.
2.2. Если корень комплексный, то и комплексно сопряженное число является корнем многочлена. Тогда в разложение входит множитель

,
где b ₁ = – 2 x ₁ , c ₁ = x ₁ 2 + y ₁ 2 .
В этом случае, в разложение добавляем множитель ( z 2 + b ₁ z + c ₁) и делим многочлен P_n(z) на ( z 2 + b ₁ z + c ₁) . В результате получаем многочлен степени n – 2 :
.
Далее повторяем процесс для многочлена P_{n– 2} (z) , начиная с пункта 1, пока не найдем все корни.

Нахождение корней многочлена

Главной задачей, при разложении многочлена на множители, является нахождение его корней. К сожалению, не всегда это можно сделать аналитически. Здесь мы разберем несколько случаев, когда можно найти корни многочлена аналитически.

Корни многочлена первой степени

Многочлен первой степени – это линейная функция. Она имеет один корень. Разложение имеет только один множитель, содержащий переменную z :
.

Корни многочлена второй степени

Чтобы найти корни многочлена второй степени, нужно решить квадратное уравнение:
P ₂( z ) = a ₂ z 2 + a ₁ z + a ₀ = 0 .
Если дискриминант 0″ style=»width:167px;height:22px;vertical-align:-12px;background-position:-392px -473px»> , то уравнение имеет два действительных корня:
, .
Тогда разложение на множители имеет вид:
.
Если дискриминант D = 0 , то уравнение имеет один двукратный корень:
;
.
Если дискриминант D 0 , то корни уравнения комплексные,
.

Многочлены степени выше второй

Существуют формулы для нахождения корней многочленов 3-ей и 4-ой степеней. Однако ими редко пользуются, поскольку они громоздкие. Формул для нахождения корней многочленов степени выше 4-ой нет. Несмотря на это, в некоторых случаях, удается разложить многочлен на множители.

Нахождение целых корней

Если известно, что многочлен, у которого коэффициенты – целые числа, имеет целый корень, то его можно найти, перебрав все возможные значения.

Лемма 3

Пусть многочлен
,
коэффициенты a_i которого – целые числа, имеет целый корень z ₁ . Тогда этот корень является делителем числа a ₀ .

Доказательство

Перепишем уравнение P_n ( z ₁) = 0 в виде:
.
Тогда – целое,
M z ₁ = – a ₀ .
Разделим на z ₁ :
.
Поскольку M – целое, то и – целое. Что и требовалось доказать.

Поэтому, если коэффициенты многочлена – целые числа, то можно попытаться найти целые корни. Для этого нужно найти все делители свободного члена a ₀ и, подстановкой в уравнение P_n ( z ) = 0 , проверить, являются ли они корнями этого уравнения.
Примечание. Если коэффициенты многочлена – рациональные числа, , то умножая уравнение P_n ( z ) = 0 на общий знаменатель чисел a_i , получим уравнение для многочлена с целыми коэффициентами.

Нахождение рациональных корней

Если коэффициенты многочлена – целые числа и целых корней нет, то при a_n ≠ 1 , можно попытаться найти рациональные корни. Для этого нужно сделать подстановку
z = y/a_n
и умножить уравнение на a_n n- 1 . В результате мы получим уравнение для многочлена от переменной y с целыми коэффициентами.Далее ищем целые корни этого многочлена среди делителей свободного члена. Если мы нашли такой корень y_i , то перейдя к переменной x , получаем рациональный корень
z_i = y_i /a_n .

Полезные формулы

Приведем формулы, с помощью которых можно разложить многочлен на множители.

В более общем случае, чтобы разложить многочлен
P_n ( z ) = z n – a ₀ ,
где a ₀ – комплексное, нужно найти все его корни, то есть решить уравнение:
z n = a ₀ .
Это уравнение легко решается, если выразить a ₀ через модуль r и аргумент φ :
.
Поскольку a ₀ не изменится, если к аргументу прибавить 2 π , то представим a ₀ в виде:
,
где k – целое. Тогда
;
.
Присваивая k значения k = 0, 1, 2, . n– 1 , получаем n корней многочлена. Тогда его разложение на множители имеет вид:
.

Биквадратный многочлен

Рассмотрим биквадратный многочлен:
.
Биквадратный многочлен можно разложить на множители, без нахождения корней.

Далее раскладываем квадратные многочлены на множители, если соответствующие многочлены имеют действительные корни.

Бикубический и многочлены, приводящиеся к квадратному

Рассмотрим многочлен:
.
Его корни определяются из уравнения:
.
Оно приводится к квадратному уравнению подстановкой t = z n :
a _{2 n} t 2 + a_n t + a ₀ = 0 .
Решив это уравнение, найдем его корни, t ₁ , t ₂ . После чего находим разложение в виде:
.
Далее методом, указанным выше, раскладываем на множители z n – t ₁ и z n – t ₂ . В заключении группируем множители, содержащие комплексно сопряженные корни.

Возвратные многочлены

Многочлен называется возвратным, если его коэффициенты симметричны:

Пример возвратного многочлена:
.

Если степень возвратного многочлена n – нечетна, то такой многочлен имеет корень z = –1 . Разделив такой многочлен на z + 1 , получим возвратный многочлен степени n – 1 .
Если степень возвратного многочлена n – четна, то подстановкой , он приводится к многочлену степени n/ 2 . См. Пример с возвратным многочленом >>>.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 11-06-2015 Изменено: 30-04-2016

Источник

Разложение многочлена на множители. Часть 3. Теорема Безу и схема Горнера

Разложение многочлена на множители. Теорема Безу и схема Горнера

При решении уравнений и неравенств нередко возникает необходимость разложить на множители многочлен, степень которого равна трем или выше. В этой статье мы рассмотрим, каким образом это сделать проще всего.

Как обычно, обратимся за помощью к теории.

Теорема Безу утверждает, что остаток от деления многочлена на двучлен равен .

Но для нас важна не сама теорема, а следствие из нее:

Если число является корнем многочлена , то многочлен делится без остатка на двучлен .

Перед нами стоит задача каким-то способом найти хотя бы один корень многочлена, потом разделить многочлен на , где — корень многочлена. В результате мы получаем многочлен, степень которого на единицу меньше, чем степень исходного. А потом при необходимости можно повторить процесс.

Эта задача распадается на две: как найти корень многочлена , и как разделить многочлен на двучлен.

Остановимся подробнее на этих моментах.

1. Как найти корень многочлена.

Сначала проверяем, являются ли числа 1 и -1 корнями многочлена.

Здесь нам помогут такие факты:

Если сумма всех коэффициентов многочлена равна нулю, то число является корнем многочлена.

Например, в многочлене сумма коэффициентов равна нулю: . Легко проверить, что является корнем многочлена.

Если сумма коэффициентов многочлена при четных степенях равна сумме коэффициентов при нечетных степенях, то число является корнем многочлена. Свободный член считается коэффициентом при четной степени, поскольку , а — четное число.

Например, в многочлене сумма коэффициентов при четных степенях : , и сумма коэффициентов при нечетных степенях : . Легко проверить, что является корнем многочлена.

Если ни 1, ни -1 не являются корнями многочлена, то двигаемся дальше.

Для приведенного многочлена степени (то есть многочлена, в котором старший коэффициент — коэффициент при — равен единице) справедлива формула Виета:

, где — корни многочлена .

Если многочлен не является приведенным, то его можно сделать таковым, разделив на старший коэффициент.

Есть ещё формул Виета, касающихся остальных коэффициентов многочлена, но нас интересует именно эта.

Из этой формулы Виета следует, что если корни приведенного многочлена целочисленные, то они являются делителями его свободного члена, который также является целым числом.

Исходя из этого, нам надо разложить свободный член многочлена на множители, и последовательно, от меньшего к большему, проверять, какой из множителей является корнем многочлена.

Рассмотрим, например, многочлен .

Для этого многочлена произведение корней равно

Делители числа : ; ; 2-3+5-14\ne 0 x -3-14=-17 x 2+5=7-17\ne7 2\cdot <2>^3-3\cdot <2>^2+5\cdot <2>-14=0 2x^3-3x^2+5x-14 x-2 2x^3-3x^2+5x-14 x-2

P(x)=a_0+a_1>+a_2>+. +a_n x- <\alpha> Q(x)=b_0>+b_1>+b_2>+. +b_ Q(x)

\alpha P(x) x- <\alpha> \alpha P(x) x- <\alpha> x^4-15x^2-10x+24=0 <\pm>1,

<\pm>12,<\pm>24 1-15-10+24=0 x-1 x^3 x^3

x^3+x^2-14x-24 x^3+x^2-14x-24

x^3+x^2-14x-24 x-2 x^3+x^2-14x-24

x^3+x^2-14x-24 x+2

x^3+x^2-14x-24 x+2 x^2-x-12 x_1=4,

x_2=-3 x^4-15x^2-10x+24=0 <1;-2;4;-3> 1;-2;4;-3$>

Источник