Способы модуляции цифровых сигналов

Цифровая модуляция

Сведения о системах модуляции

В настоящее время все абонентские терминалы преобразуют сигналы в цифровую форму. Одна из важнейших проблем, как на абонентском участке, так и участке соединительных линий обеспечить максимальную скорость передачи цифровой информации.

Существующая абонентская проводная сеть имеет громадный объем. Замена ее на более скоростную среду передачи, например, на оптоволоконную среду, подобна замене песка на всех пляжах мира и не всегда возможна по экономическим причинам.

Поэтому основная задача, которую успешно решают связисты мира увеличение пропускной способности существующей.

Всегда возникает основной вопрос, телефонная связь уже существует более 150 лет. Эта проводная сеть рассчитана на диапазон человеческого голоса или точнее на пропускание аналоговой частоты в диапазоне от 0,3 до 3,4 кГц.

Как же удалось сегодня многократно увеличить этот диапазон и сделать возможным передачу информации, которая требует ресурс в более чем 100 раз. Это достигнуто различными способами, но в основном благодаря разработке способов модуляции.

Наиболее применяемый в настоящее время класс модуляции фазовый. Мы постепенно рассмотрим этот вид. Начиная от простейших видов такой модуляции, а потом рассмотрим наиболее применяемые методы.

Многоуровневая передача сигналов

Цифровое преобразование сигналов подразумевает двоичное кодирование сигналов. Когда же нужно получить высокую скорость передачи данных в условиях ограниченной полосы прибегают к методам повышения информационной емкости передаваемых символов. Одним из таких методов является многоуровневая система, когда каждый сигнал может принимать несколько уровней амплитуды в зависимости от значения исходного символа. Скорость передачи данных в многоуровневой системе передачи равна.

( 4.1)

• – уровней, которые могут быть выбраны для передачи сигналов в данном интервале,
• –длительность интервала сигнала.

Скорость передачи сигнала, равная обычно называется скоростью передачи символов и измеряется в бодах. На практике понятие «бод» обычно понимают как синоним скорости в битах. Однако, строго говоря, скорость передачи в битах равна скорости передачи в бодах только в случае двоичной передачи (один бит за один интервал сигнала).

На рис.4.1 показан пример восьмиуровневого сигнала. Это позволяет увеличить скорость передачи 3 бита на сигнальный интервал (т.е. 3 бита на бод).

Многоуровневые передающие системы увеличивают скорость передачи данных в пределах заданной полосы частот, но требуют значительного увеличения уровня сигнал шум. Известно, что при большом уровне помех наиболее уязвима амплитуда сигнала. Поэтому такая система не получила распространения.

В современных системах примером применения такой системы может служить организация цифровой абонентской линии в системе ISDN (Integrated Services Digital Network ), в которой для достижения скорости 160 кбит/с. используется четырехуровневая передача [ 2 ]

Фазовые методы модуляции

Фазовые методы модуляции XE «Фазовые методы модуляции » являются, в какой — то степени аналогами многоуровневой передачи сигналов, поскольку тоже позволяют увеличить информационную емкость передаваемого символа.

Фазовая манипуляция

Фазовая модуляция связана с манипуляцией фазы. При такой манипуляции для получения бинарного сигнала в каждом тактовом интервале используется одна из фаз, отличающаяся на 180 градусов.

Возможна также многоуровневая ФМ. Фазовая манипуляция XE «Фазовая манипуляция» в настоящее время – наиболее распространенная форма модуляции.

Популярность этого типа модуляции определяется, прежде всего, наличием постоянной огибающей, что обеспечивает то, что она нечувствительна к изменениям уровня сигнала, влиянию затухания и характеристикам аппаратуры усиления и обеспечивает хорошую характеристику. С точки зрения отношения сигнал шум () системы фазовой модуляции обеспечивают оптимальные (теоретически) значения характеристик ошибок.

Общий вид n-уровневой фазовой манипуляции отображается формулой

( 4.1)

• -величина, на которую отличаются фазы соседних сигналов;
• — симметричный n –уровневый сигнал «без возвращения к нулю» ( NRZ – non return to zero) c уровнями и т.д.

На рис.4. 2 показаны примеры типичных 2-ФМ и 4-ФМ – сигналов. На рисунке скорость передачи при 4-ФМ, в два раза меньше, чем 2-ФМ, что обеспечивает одинаковую скорость передачи данных (из-за увеличения информационной емкости). На этом рисунке приведены фазовые диаграммы для косинусоидального сигнала (см. формулу 4.1).

Источник

Курс лекций «Основы цифровой обработки сигналов»

Часто ко мне обращаются люди с вопросами по задачам из области цифровой обработки сигналов (ЦОС). Я подробно рассказываю нюансы, подсказываю нужные источники информации. Но всем слушателям, как показало время, не хватает практических задач и примеров в процессе познания этой области. В связи с этим я решил написать краткий интерактивный курс по цифровой обработке сигналов и выложить его в открытый доступ.

Большая часть обучающего материала для наглядного и интерактивного представления реализована с использованием Jupyter Notebook. Предполагается, что читатель имеет базовые знания из области высшей математики, а также немного владеет языком программирования Python.

Список лекций

Этот курс содержит материалы в виде законченных лекций по разным тематикам из области цифровой обработки сигналов. Материалы представлены с использованием библиотек на языке Python (пакеты numpy, scipy, matplotlib, и т.д.). Основная информация для этого курса взята из моих лекций, которые я, будучи аспирантом, читал студентам Московского Энергетического Института (НИУ МЭИ). Частично информация из этих лекций была использована на обучающих семинарах в Центре Современной Электроники, где я выступал в качестве лектора. Кроме того, в этот материал входит перевод различных научных статей, компиляция информации из достоверных источников и литературы по тематике цифровой обработки сигналов, а также официальная документация по прикладным пакетам и встроенным функциям библиотек scipy и numpy языка Python.

Для пользователей MATLAB (GNU Octave) освоение материала с точки зрения программного кода не составит труда, поскольку основные функции и их атрибуты во многом идентичны и схожи с методами из Python-библиотек.

Все материалы сгруппированы по основным тематикам цифровой обработки сигналов:

1. Сигналы: аналоговые, дискретные, цифровые. Z-преобразование,
2. Преобразование Фурье: амплитудный и фазовый сигнала, ДПФ и БПФ,
3. Свертка и корреляция. Линейная и циклическая свертка. Быстрая свёртка,
4. Случайные процессы. Белый шум. Функция плотности вероятностей,
5. Детерминированные сигналы. Модуляция: АМ, ЧМ, ФМ, ЛЧМ. Манипуляция,
6. Фильтрация сигналов: БИХ, КИХ фильтры,
7. Оконные функции в задачах фильтрации. Детектирование слабых сигналов,
8. Ресемплинг: децимация и интерполяция. CIC-фильтры, фильтры скользящего среднего,
9. Непараметрические методы спектрального анализа,
10. Усреднение по частоте и по времени. Полифазный БПФ.

Список лекций — достаточный но, разумеется, неполный для вводного знакомства с областью ЦОС. При наличии свободного времени я планирую поддерживать и развивать этот проект.

Где найти?

Все материалы — абсолютно бесплатны и доступны в виде открытого репозитория на моем гитхабе как opensource проект. Материалы представлены в двух форматах — в виде тетрадок Jupyter Notebook для интерактивной работы, изучения и редактирования, и в виде скомпилированных из этих тетрадок HTML-файлов (после скачивания с гитхаба имеют вполне пригодный формат для чтения и для печати).

Ниже приводится очень краткое описание разделов курса с небольшими пояснениями, терминами и определениями. Основная информация доступна в исходных лекциях, здесь представлен лишь краткий обзор!

Сигналы. Z-преобразование

Вводный раздел, в котором содержится основная информация по типам сигналов. Вводится понятие дискретной последовательности, дельта-функции и функции Хевисайда (единичный скачок).

Все сигналы по способу представления на множестве можно разделить на четыре группы:

• аналоговые — описываются непрерывными во времени функциями,
• дискретные — прерываются во времени с шагом заданным дискретизации,
• квантованные — имеют набор конечных уровней (как правило, по амплитуде),
• цифровые — комбинация свойств дискретных и квантованных сигналов.

Для правильного восстановления аналогового сигнала из цифрового без искажений и потерь используется теорема отсчетов, известная как Теорема Котельникова (Найквиста-Шеннона).

Любой непрерывный сигнал с ограниченным спектром может быть восстановлен однозначно и без потерь по своим дискретным отсчетам, взятым с частотой строго больше удвоенной верхней частоты спектра непрерывного сигнала.

Такая трактовка справедлива при условии, что непрерывная функция времени занимает полосу частот от 0 до значения верхней частоты. Если шаг квантования и дискретизации выбраны неправильно, преобразование сигнала из аналоговой формы в дискретную будет происходить с искажениями.

Также в этом разделе описывается Z-преобразование и его свойства, показывается представление дискретных последовательностей в Z-форме.

Пример конечной дискретной последовательности:
.
Пример этой же последовательности в Z-форме:

X(z) = 2 + z -1 — 2z -2 + 2z -4 + 3z -5 + 1z -6

Преобразование Фурье. Свойства. ДПФ и БПФ

В этом разделе описывается понятие временной и частотной области сигнала. Вводится определение дискретного преобразования Фурье (ДПФ). Рассмотрены прямое и обратное ДПФ, их основные свойства. Показан переход от ДПФ к алгоритму быстрого преобразования Фурье (БПФ) по основанию 2 (алгоритмы децимации по частоте и по времени). Отражена эффективность БПФ в сравнении с ДПФ.

В частности, в этом разделе описывается Python пакет scipy.ffpack для вычисления различных преобразований Фурье (синусное, косинусное, прямое, обратное, многомерное, вещественное).

Преобразование Фурье позволяет представить любую функцию в виде набора гармонических сигналов! Преобразование Фурье лежит в основе методов свертки и проектировании цифровых корреляторов, активно применяется при спектральном анализе, используется при работе с длинными числами.

Особенности спектров дискретных сигналов:
1. Спектральная плотность дискретного сигнала – периодическая функция с периодом, равным частоте дискретизации.
2. Если дискретная последовательность вещественная, то модуль спектральной плотности такой последовательности есть четная функция, а аргумент – нечетная функция частоты.

Спектр гармонического сигнала:

Сравнение эффективности ДПФ и БПФ

Эффективность алгоритма БПФ и количество выполняемых операций линейно зависит от длины последовательности N:

N	ДПФ		БПФ		Отношение числа комплексных сложений	Отношение числа комплексных умножений
	Число операций умножения	Число операций сложения	Число операций умножения	Число операций сложения
2	4	2	1	2	4	1
4	16	12	4	8	4	1.5
8	64	56	12	24	5.3	2.3
16	256	240	32	64	8	3.75
32	1024	992	80	160	12.8	6.2
64	4096	4032	192	384	21.3	10.5
128	16384	16256	448	896	36.6	18.1
.	.	.	.	.	.	.
4096	16777216	16773120	24576	49152	683	341
8192	67108864	67100672	53248	106496	1260	630

Как видно, чем больше длина преобразования, тем больше экономия вычислительных ресурсов (по скорости обработки или количеству аппаратных блоков)!

Любой сигнал произвольной формы можно представить в виде набора гармонических сигналов разных частот. Иными словами, сигнал сложной формы во временной области имеет набор комплексных отсчетов в частотной области, которые называются *гармоники*. Эти отсчеты выражают амплитуду и фазу гармонического воздействия на определенной частоте. Чем больше набор гармоник в частотной области, тем точнее представляется сигнал сложной формы.

Свертка и корреляция

В этом разделе вводится понятие корреляции и свертки для дискретных случайных и детерминированных последовательностей. Показана связь автокорреляционной и взаимнокорреляционной функций со сверткой. Описываются свойства свертки, в частности, рассмотрены методы линейной и циклической свертки дискретного сигнала с подробным разбором на примере дискретной последовательности. Кроме того, показан метод вычисления «быстрой» свертки с помощью алгоритмов БПФ.

В реальных задачах часто ставится вопрос о степени похожести одного процесса на другой или же о независимости одного процесса от другого. Иными словами, требуется определить взаимосвязь между сигналами, то есть найти корреляцию. Методы корреляции используются в широком диапазоне задач: поиск сигналов, компьютерное зрение и обработка изображений, в задачах радиолокации для определения характеристик целей и определения расстояния до объекта. Кроме того, с помощью корреляции производится поиск слабых сигналов в шумах.

Свертка описывает взаимодействие сигналов между собой. Если один из сигналов — импульсная характеристика фильтра, то свертка входной последовательности с импульсной характеристикой есть ни что иное, как реакция цепи на входное воздействие. Иными словами, результирующий сигнал отражает прохождение сигнала через фильтр.

Автокорреляционная функция (АКФ) находит применение в кодировании информации. Выбор кодирующей последовательности по параметрам длины, частоты и формы во многом обусловлен корреляционными свойствами этой последовательности. Наилучшая кодовая последовательность обладает наименьшим значением вероятности ложного обнаружения или срабатывания (для детектирования сигналов, для пороговых устройств) или ложной синхронизации (для передачи и приема кодовых последовательностей).

В этом разделе представлена таблица сравнения эффективности быстрой свертки и свертки, вычисляемой по прямой формуле (по числу вещественных умножений).

Как видно, для длин БПФ до 64, быстрая свёртка проигрывает у прямого метода. Однако, при увеличении длины БПФ результаты меняются в обратную сторону — быстрая свертка начинает выигрывать у прямого метода. Очевидно, чем больше длина БПФ, тем лучше выигрыш частотного метода.

N	Свертка	Быстрая свертка	Отношение
8	64	448	0.14
16	256	1088	0.24
32	1024	2560	0.4
64	4096	5888	0.7
128	16K	13312	1.23
.	.	..	.
2048	4M	311296	13.5

Случайные сигналы и шум

В этом разделе вводится понятие случайных сигналов, плотности распределения вероятностей, закона распределения случайной величины. Рассматриваются математические моменты — среднее (математическое ожидание) и дисперсия (или корень этой величины — среднеквадратическое отклонение). Также в этом разделе рассматривается нормальное распределение и связанное с ним понятие белого шума, как основного источника шумов (помех) при обработке сигналов.

Случайным сигналом называют функцию времени, значения которой заранее неизвестны и могут быть предсказаны лишь с некоторой вероятностью. К основным характеристикам случайных сигналов относятся:

• закон распределения (относительное время пребывания значения сигнала в определенном интервале),
• спектральное распределение мощности сигнала.

В задачах ЦОС случайные сигналы делятся на два класса:

• шумы — беспорядочные колебания, состоящие из набора разных частот и амплитуд,
• сигналы, несущие информацию, для обработки которых требуется прибегать к вероятностным методам.

С помощью случайных величин можно моделировать воздействие реальной среды на прохождение сигнала от источника к приёмнику данных. При прохождении сигнала через какое-то шумящее звено, к сигналу добавляется так называемый белый шум. Как правило, спектральная плотность такого шума равномерно (одинаково) распределена на всех частотах, а значения шума во временной области распределены нормально (Гауссовский закон распределения). Поскольку белый шум физически добавляется к амплитудам сигнала в выбранные отсчеты времени, он называется аддитивный белый гауссовский шум (AWGN — Additive white Gaussian noise).

Сигналы, модуляция и манипуляция

В этом разделе показаны основные способы изменения одного или нескольких параметров гармонического сигнала. Вводятся понятия амплитудной, частотной и фазовой модуляции. В частности, выделяется линейная частотная модуляция, применяемая в задачах радиолокации. Показаны основные характеристики сигналов, спектры модулированных сигналов в зависимости от параметров модуляции.

Для удобства на языке Python создан набор функций, осуществляющих перечисленные виды модуляции. Пример реализации ЛЧМ-сигнала:

Также в этом разделе из теории передачи дискретных сообщений описаны виды цифровой модуляции — манипуляции. Как и в случае с аналоговыми сигналами, цифровые гармонические последовательности могут быть манипулированы по амплитуде, фазе и частоте (либо по нескольким параметрам сразу).

Цифровые фильтры — БИХ и КИХ

Достаточно большой раздел, посвященный вопросам цифровой фильтрации дискретных последовательностей. В задачах цифровой обработки сигналов данные проходят через цепи, которые называются фильтрами. Цифровые фильтры, как и аналоговые, обладают различными характеристиками — частотные: АЧХ, ФЧХ, временная: импульсная характеристика, а также передаточная характеристика фильтра. Цифровые фильтры используются в основном для улучшения качества сигнала — для выделения сигнала из последовательности данных, либо для ухудшения нежелательных сигналов — для подавления определенных сигналов в приходящих последовательностях отсчетов.

В разделе перечислены основные преимущества и недостатки цифровых фильтров (в сравнении с аналоговыми). Вводится понятие импульсной и передаточной характеристик фильтра. Рассматривается два класса фильтров — с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ) и конечной импульсной характеристикой (КИХ). Показан способ проектирования фильтров по канонической и прямой форме. Для КИХ фильтров рассматривается вопрос о способе перехода к рекурсивной форме.

Для КИХ фильтров показан процесс проектирования фильтра от стадии разработки технического задания (с указанием основных параметров), до программной и аппаратной реализации — поиска коэффициентов фильтра (с учетом формы представления числа, разрядности данных и т.д.). Вводятся определения симметричных КИХ фильтров, линейной ФЧХ и её связи с понятием групповой задержки.

Оконные функции в задачах фильтрации

Чем сильнее подавление боковых лепестков спектра, тем шире главный лепесток спектра и наоборот.

Одно из применений оконных функций: обнаружение слабых сигналов на фоне более сильных путём подавления уровня боковых лепестков. Основные оконные функции в задачах ЦОС — **треугольное, синусоидальное, окно Ланцоша, Ханна, Хэмминга, Блэкмана, Харриса, Блэкмана-Харриса, окно с плоской вершиной, окно Наталла, Гаусса, Кайзера** и множество других. Большая часть из них выражена через конечный ряд путём суммирования гармонических сигналов с определенными весовыми коэффициентами. Такие сигналы отлично реализуются на практике на любых аппаратных устройствах (программируемые логические схемы или сигнальные процессоры).

Ресемплинг. Децимация и интерполяция

В этом разделе рассматриваются вопросы многоскоростной обработки сигналов — изменения частоты дискретизации. Многоскоростная обработка сигналов (multirate processing) предполагает, что в процессе линейного преобразования цифровых сигналов возможно изменение частоты дискретизации в сторону уменьшения или увеличения, либо в дробное число раз. Это приводит к более эффективной обработке сигналов, так как открывается возможность использования минимально допустимых частот дискретизации и, как следствие, значительного уменьшения требуемой вычислительной производительности проектируемой цифровой системы.

Децимация (прореживание) – понижение частоты дискретизации. Интерполяция – повышение частоты дискретизации.

Также в разделе рассматривается класс однородных КИХ фильтров, которые называются интегрально-гребенчатыми фильтрами (CIC, Cascaded integrator–comb). Показана реализация, основные свойства и особенности CIC фильтров. В силу линейности математических операций, происходящих в CIC фильтре возможно каскадное соединение нескольких фильтров подряд, что дает пропорциональное уменьшение уровня боковых лепестков, но также увеличивает «завал» главного лепестка амплитудно-частотной характеристики.

График АЧХ фильтра в зависимости от коэффициента децимации:

Также в этом разделе обсуждается вопрос увеличения разрядности данных на выходе CIC фильтра в зависимости от его параметров. Это особенно важно в задачах программной реализации, в частности на ПЛИС.

Для практической реализации CIC фильтров на Python разработан отдельный класс CicFilter, реализующий методы децимации и интерполяции. Также показаны примеры изменения частоты дискретизации с помощью встроенных методов из scipy пакета Python.

Наконец, в этом разделе приведен особый класс фильтров — скользящего среднего. Показано три способа реализации: через свертку сигналов, с помощью КИХ-фильтра и БИХ-фильтра.

Заключение

Надеюсь, этот курс лекций в совокупности с моими предыдущими статьями по цифровой обработке сигналов на ПЛИС принесет практическую пользу и поможет читателю лучше понять основы цифровой обработки сигналов. Этот проект будет улучшаться и дополняться новым полезным и не менее интересным материалом. Следите за развитием!

Дополнительно к этому материалу я поддерживаю и развиваю свой проект по основным модулям ЦОС (на языке Python). Он содержит пакет генерации различных сигналов, класс CIC фильтров для задач децимации и интерполяции, алгоритм расчета коэффициентов корректирующего КИХ-фильтра, фильтр скользящего среднего, алгоритм вычисления сверх-длинного БПФ через методы двумерного преобразования (последнее очень пригодилось в работе при аппаратной реализации на ПЛИС).

UPD: 20.04.2020

В курс добавлено две лекции:

1. Непараметрические методы спектрального анализа (Владимир Фадеев)
2. Усреднение по частоте и по времени. Полифазный БПФ.

Источник