Способы математического доказательства
Доказать какое-либо утверждение – это значит показать, что это утверждение логически следует из системы истинных и связанных с ним утверждений.
Доказательство – это логическая операция, в процессе которой обосновывается истинность какого-либо утверждения с помощью других истинных и связанных с ним утверждений. Для этого строится конечная цепочка умозаключений, причем заключение каждого из них (кроме последнего) является посылкой в одном из последующих умозаключений.
Основные законы логики:
1. Закон тождества. Каждая мысль, повторяясь в рассуждении, должна быть тождественной самой себе.
Закон тождества означает, что в процессе рассуждения нельзя подменять одну мысль другой, одно понятие другим. Нельзя тождественные мысли выдавать за различные, а различные – за тождественные.
2. Закон непротиворечия.Высказывание и его отрицание не могут быть одновременно истинными; по крайней мере одно из них обязательно ложно.
Если в мышлении (и речи) человека обнаружено формально-логическое противоречие, то такое мышление считается неправильным, а суждение, из которого вытекает противоречие, считается ложным.
3. Закон исключенного третьего.Из двух противоречивых высказываний об одном и том же предмете одно – истинно, а другое – ложно, третьего не дано.
4. Закон достаточного основания.Всякое истинное утверждение должно быть обосновано с помощью других утверждений, истинность которых доказана.
Когда речь идет о математическ4ом доказательстве, надо:
¾ иметь то утверждение, истинность которого нужно доказывать;
¾ понимать, что доказательство – это цепочка дедуктивных умозаключений; оно выполняется по правилам и законам логики;
¾ понимать, какие другие истинные утверждения можно использовать в процессе доказательства.
По способу ведения различают прямые и косвенные доказательства.
Прямое доказательство утверждения А В — это построение цепочки дедуктивных умозаключений, выполняемых последовательно от А к В с соблюдением правил и законов логики и с помощью системы утверждений, истинность которых доказана.
(Если в четырехугольники три угла прямые, то он прямоугольник)
Примером косвенного доказательства является доказательство методом от противного. Сущность его состоит в следующем. Пусть требуется доказать теорему А В. При доказательстве методом от противного допускают, что заключение теоремы (В) ложно, а, следовательно, его отрицание истинно. Присоединив предложение В к совокупности истинных посылок, используемых в процессе доказательства (среди которых находится и условие А), строят цепочку дедуктивных умозаключений до тех пор, пока не получится утверждение, противоречащее одной из посылок и, в частности, условию А.
Билет 15 Понятие соответствия между множествами. Способы задания соответствий. Взаимно — однозначные соответствия. Равномощные множества. Примеры соответствий (в том числе и взаимно — однозначных).
Источник
Способы математического доказательства
Лекция 10. Способы математического доказательства
1. Способы математического доказательства
2. Прямые и косвенные доказательства. Доказательство методом от противного.
3. Основные выводы
В обыденной жизни часто, когда говорят о доказательстве, имеют в виду просто проверку высказанного утверждения. В математике проверка и доказательство – это разные вещи, хотя и связанные между собой. Пусть, например, требуется доказать, что если в четырехугольнике три угла прямые, то он – прямоугольник.
Если мы возьмем какой-либо четырехугольник, у которого три угла прямые, и, измерив четвертый, убедимся в том, что он действительно прямой, то эта проверка сделает данное утверждение более правдоподобным, но еще не доказанным.
Чтобы доказать данное утверждение, рассмотрим произвольный четырехугольник, в котором три угла прямые. Так как в любом выпуклом четырехугольнике сумма углов 360⁰, то и в данном она составляет 360⁰. Сумма трех прямых углов равна 270⁰ (90⁰•3 = 270⁰), и, значит, четвертый имеет величину 90⁰ (360⁰ — 270⁰). Если все углы четырехугольника прямые, то он – прямоугольник Следовательно, данный четырехугольник будет прямоугольником. Что и требовалось доказать.
Заметим, что сущность проведенного доказательства состоит в построении такой последовательности истинных утверждений (теорем, аксиом, определений), из которых логически следует утверждение, которое нужно доказать.
Вообще доказать какое-либо утверждение – это значит показать, что это утверждение логически следует из системы истинных и связанных с ним утверждений.
В логике считают, что если рассматриваемое утверждение логически следует из уже доказанных утверждений, то оно обоснованно и также истинно, как и последние.
Таким образом, основой математического доказательства является дедуктивный вывод. А само доказательство – это цепочка умозаключений, причем заключение каждого из них (кроме последнего) является посылкой в одном из последующих умозаключений.
Например, в приведенном выше доказательстве можно выделить следующие умозаключения:
1. В любом выпуклом четырехугольнике сумма углов равна 360⁰; данная фигура – выпуклый четырехугольник, следовательно, сумма углов в нем 360⁰.
2. Если известна сумма всех углов четырехугольника и сумма трех из них, то вычитанием можно найти величину четвертого; сумма всех углов данного четырехугольника равна 360⁰, сумма трех 270⁰ (90⁰•3 = 270⁰), то величина четвертого 360⁰ — 270⁰ = 90⁰.
3. Если в четырехугольнике все углы прямые, то этот четырехугольник – прямоугольник; в данном четырехугольнике все углы прямые, следовательно, он прямоугольник.
Все приведенные умозаключения выполнены по правилу заключения и, следовательно, являются дедуктивными.
Самое простое доказательство состоит из одного умозаключения. Таким, например, является доказательство утверждения о том, что 6 10, то а ≠ 7. Метод от противного.
Задача 2. Доказать, что если х² — четное число, то х – четно. Метод от противного.
Задача 3. Даны четыре последовательных натуральных числа. Верно ли, что произведение средних чисел этой последовательности больше произведения крайних на 2? Метод неполной индукции.
Полная индукция – это такой метод доказательства, при котором истинность утверждения следует из истинности его во всех частных случаях.
Задача 4. Доказать, что каждое составное натуральное число, большее 4, но меньшее 20, представимо в виде суммы двух простых чисел.
Задача 5. Верно ли, что если натуральное число n не кратно 3, то значение выражения n² + 2 кратно 3? Метод полной индукции.
Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет
Источник
Способы математического доказательства
Доказать какое-либо утверждение — значит показать, что это утверждение логически следует из системы истинных и связанных с ним утверждений.
В логике считают, что если рассматриваемое утверждение логически следует из уже доказанных утверждений, то оно обоснованно и также истинно, как и последние.
Таким образом, основным способом математического доказательства является дедуктивный вывод. А само доказательство — это логическая операция, в процессе которой обосновывается истинность какого-либо утверждения с помощью других истинных и связанных с ним утверждений. Для этого строится конечная цепочка умозаключений, причем заключение каждого из них, кроме последнего, является посылкой в одном из последующих умозаключений.
В процессе доказательства используются не только правила построения дедуктивных умозаключений, но и основные законы логики:
1. Закон тождества. Каждая мысль, повторяясь в рассуждении, должна быть тождественной самой себе.
Это означает, что в процессе рассуждения нельзя подменять одну мысль другой, одно понятие — другим.
2. Закон непротиворечия. Высказывание и его отрицание не могут быть одновременно истинными; по крайней мере одно из них ложно.
3. Закон исключения третьего. Из двух противоречивых высказываний об оном и том же предмете одно — истинно, а другое — ложно, третьего не дано.
4. Закон достаточного основания. Всякое истинное утверждение должно быть обоснованно с помощью других утверждении, истинность которых доказана.
Итак, когда речь идет о математическом доказательстве, надо:
— иметь то утверждение, истинность которого нужно доказать;
— понимать, что доказательство — это цепочка дедуктивных умозаключений, оно выполняется по правилам и законам логики;
— понимать, какие истинные утверждения можно использовать в процессе доказательства.
По способу ведения различают прямые и косвенные доказательства.
Прямое доказательство утверждения А 
В — это построение цепочки дедуктивных умозаключений, выполняемых последовательно от А к В с соблюдением правил и законов логики и с помощью системы утверждений, истинность которых доказана.
Примером косвенного доказательства является доказательство методом от противного. Сущность его состоит в следующем.
Пусть требуется доказать теорему А В. При доказательстве методом от противного допускают, что заключение теоремы (В) ложно, а следовательно, его отрицание истинно. Присоединив предложение 
к совокупности истинных посылок, используемых в процессе доказательства, строят цепочку дедуктивных умозаключений до тех пор, пока не получится утверждение, противоречащее одной из посылок и, в частности, условию А. Как только такое противоречие устанавливают, на основании закона непротиворечия делают вывод, что предположение было ложным, и , значит на основании закона исключения третьего истинно В, т.е. то, что требовалось доказать.
Кроме прямого и косвенного способов доказательства в математике используются и другие методы доказательства. Среди них — полная индукция и математическая индукция.
Метод математической индукции будет рассмотрен позже.
Источник
§ 4. Способы математического доказательства
Доказать какое-либо утверждение – это значит показать, что это утверждение логически следует из системы истинных и связанных утверждений.
В логике считают, что если рассматриваемое утверждение логически следует из уже доказанных утверждений, то оно обосновано и также истинно, как и последние.
Таким образом, основой математического доказательства является дедуктивный метод. Доказательство – это совокупность логических приемов обоснования истинности какого-либо утверждения с помощью других истинных и связанных с ним утверждений.
Математическое доказательство – это не просто набор умозаключений, это умозаключения, расположенные в определенном порядке.
Доказательства различают прямые и косвенные.
1) Основываясь на некоторых истинных предложениях и условии теоремы строится цепочка дедуктивных умозаключений, которые приводят к истинному заключению.
Пример. Докажем, что вертикальные углы равны. Углы 1 и 2 – смежные, следовательно, 1 +2 = 180 о . Углы 2 и 3 – смежные, следовательно,2 +3 = 180 о . Имеем:1 = 180 о –23 = 180 о –21 =2.
2
2) Метод математической индукции. Утверждение справедливо для всякого натурального числа п, если: оно справедливо дляп= 1 и из справедливости утверждения для какого-либо произвольного натуральногоп=kследует его справедливость дляп=k+ 1. (Подробнее будет рассмотрено на старших курсах.)
3) Полная индукция (смотри ранее).
1) Метод от противного. Пусть требуется доказать теорему АВ. Допускают, что ее заключение ложно, а значит, его отрицание
истинно. Присоединив предложение
к совокупности истинных посылок, используемых в процессе доказательства (среди которых есть и условиеА), строят цепочку дедуктивных умозаключений до тех пор, пока не получится утверждение, противоречащее одной из посылок. Полученное противоречие доказывает теорему.
Пример. Если две прямые параллельны одной и той же прямой, то они параллельны между собой.
Доказательство. Пусть прямая х не параллельна прямойу, т.е. прямые пересекаются в некоторой точкеА. Следовательно, через точкуАпроходят две прямые, параллельные прямойс, что невозможно по аксиоме параллельности.
2) Доказательство, основанное на законе контрапозиции: вместо теоремы АВдоказывают равносильную ей теорему
. Если она истинна, то исходная теорема тоже истинна.
Пример. Еслих 2 – четное число, тох– четное число.
Доказательство. Предположим, что х– нечетное число, т.е.х= 2k+ 1х 2 = (2k+ 1) 2 = = 4k 2 + 4k+ 1 = 2(2k 2 + 2k) + 1 – нечетное.
Контрольные вопросы
Что называется умозаключением?
Какое умозаключение называется дедуктивным?
Дайте определения неполной и полной индукции.
Дайте определение умозаключения по аналогии.
Запишите схемы дедуктивных умозаключений и докажите тождественную истинность формул, лежащих в основе этих правил.
Как проверить правильность умозаключений с помощью кругов Эйлера? Какие еще известны способы проверки правильности умозаключений?
Какое умозаключение называется софизмом?
Что значит доказать утверждение?
Какие доказательства различают по способу ведения?
Опишите способы ведения рассуждения при различных формах прямого и косвенного доказательства.
Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.
Источник
