Длина отрезка и ее измерение.
Длина отрезка и ее измерение.
- Свойства измерения отрезков
Измерить отрезок – значит найти его длину. Длина отрезка – это расстояние между его концами.
Измерение отрезков производится путём сравнения данного отрезка с другим отрезком, принятым за единицу измерения. Отрезок, принятый за единицу измерения, называется единичным отрезком.
Если за единичный отрезок принят сантиметр, то для определения длины данного отрезка надо узнать, сколько раз в данном отрезке помещается сантиметр. В этом случае измерение удобно производить с помощью сантиметровой линейки.
Начертим отрезок AB и измерим его длину. Приложим шкалу сантиметровой линейки к отрезку AB так, чтобы её нулевая точка (0) совпала с точкой A:
Если при этом окажется, что точка B совпадает с некоторым делением шкалы – например, 5, то говорят: длина отрезка AB равна 5 см, и пишут: AB = 5 см.
Свойства измерения отрезков
Когда точка делит отрезок на две части (на два отрезка), длина всего отрезка равна сумме длин этих двух отрезков.
Рассмотрим отрезок AB:
Точка C делит его на два отрезка: AC и CB. Мы видим, что AC = 3 см, CB = 4 см и AB = 7 см. Таким образом, AC + CB = AB.
Любой отрезок имеет определённую длину, большую нуля.
Величина угла и её измерение
Величиной угла называется положительная величина, определенная для каждого угла так, что: 1) равные углы имеют равные величины; 2) если угол состоит из двух углов, то его величина равна сумме величин его частей.
Эти свойства лежат в основе измерения величины угла. Оно аналогично измерению длины отрезка и состоит в сравнении измеряемой величины угла с величиной угла, принятой за единицу. Единичный угол, а если нужно и его доли, откладываются на угле, величина которого измеряется. В результате получается численное значение величины угла или мера величины угла при данной единице измерения.
Число, которое получается в результате измерения величины угла, должно удовлетворять ряду требований — они аналогичны требованиям, предъявляемым к числовому значению длины отрезка.
На практике за единицу величины угла принимают градус — 
часть прямого угла. Один градус записывают так: 1°. Величина прямого угла равна 90°, величина развернутого — 180°.
Градус делится на 60 минут, а минута на 60 секунд. Одну минуту обозначают 1′, одну секунду – 1». Так, если мера величины угла равна 5 градусам 3 минутам и 12 секундам, то пишут 5°3’12». Если нужна большая точность в измерении величин углов, используют и доли секунды. Заметим, что часто вместо «величина угла» говорят «угол». Например, вместо «величина угла равна 45 градусам» говорят, что «угол равен 45 градусам».
На практике величины углов измеряют с помощью транспортира. Для более точных измерений пользуются и другими приборами.
Площадь многоугольника.
Площадь произвольной плоской фигуры и её измерение.
Формула Герона
S = √p(p — a)(p — b)(p — c)
3. Формула площади треугольника по двум сторонам и углу между ними
Площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон умноженного на синус угла между ними.
| S = | a · b · sin γ |
4. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу описанной окружности
| S = | a · b · с |
| 4R |
5. Формула площади треугольника по трем сторонам и радиусу вписанной окружности
Площадь треугольника равна произведения полупериметра треугольника на радиус вписанной окружности.
Формулы площади квадрата
1. Формула площади квадрата по длине стороны
Площадь квадрата равна квадрату длины его стороны.
2. Формула площади квадрата по длине диагонали
Площадь квадрата равна половине квадрата длины его диагонали.
Формулы площади ромба
1. Формула площади ромба по длине стороны и высоте
S = a · h
2. Формула площади ромба по длине стороны и углу
S = a 2 · sin α
3. Формула площади ромба по длинам его диагоналей
| S = | d1 · d2 |
1. Формула Герона для трапеции
| S = | a + b | √(p — a)(p — b)(p — a — c)(p — a — d) |
| |a — b| |
2. Формула площади трапеции по длине основ и высоте
Площадь трапеции равна произведению полусуммы ее оснований на высоту
| S = | (a + b) · h |
Формулы площади круга
Формула площади круга через радиус
S = π r 2
Площадь круга
| S = | π d 2 |
Длина отрезка и ее измерение.
- Свойства измерения отрезков
Измерить отрезок – значит найти его длину. Длина отрезка – это расстояние между его концами.
Измерение отрезков производится путём сравнения данного отрезка с другим отрезком, принятым за единицу измерения. Отрезок, принятый за единицу измерения, называется единичным отрезком.
Если за единичный отрезок принят сантиметр, то для определения длины данного отрезка надо узнать, сколько раз в данном отрезке помещается сантиметр. В этом случае измерение удобно производить с помощью сантиметровой линейки.
Начертим отрезок AB и измерим его длину. Приложим шкалу сантиметровой линейки к отрезку AB так, чтобы её нулевая точка (0) совпала с точкой A:
Если при этом окажется, что точка B совпадает с некоторым делением шкалы – например, 5, то говорят: длина отрезка AB равна 5 см, и пишут: AB = 5 см.
Свойства измерения отрезков
Когда точка делит отрезок на две части (на два отрезка), длина всего отрезка равна сумме длин этих двух отрезков.
Рассмотрим отрезок AB:
Точка C делит его на два отрезка: AC и CB. Мы видим, что AC = 3 см, CB = 4 см и AB = 7 см. Таким образом, AC + CB = AB.
Общие условия выбора системы дренажа: Система дренажа выбирается в зависимости от характера защищаемого.
Механическое удерживание земляных масс: Механическое удерживание земляных масс на склоне обеспечивают контрфорсными сооружениями различных конструкций.
Папиллярные узоры пальцев рук — маркер спортивных способностей: дерматоглифические признаки формируются на 3-5 месяце беременности, не изменяются в течение жизни.
Источник
Урок 3 Бесплатно Отрезок. Длина отрезка
Начнем знакомство с одним из разделов математики, который называется геометрия.
Слово геометрия древнегреческого происхождения, оно означает «землемерие» («гео» — земля, «метрео» — измерять).
Геометрия — древняя наука, возникла в результате практической деятельности человека: строительства зданий и дорог, установления земельных наделов и определения их размеров.
Становление данной науки происходило тысячелетиями.
В настоящее время геометрия — наука, занимающаяся изучением геометрических фигур, их свойствами, размерами и преобразованиями.
Сегодня обратим внимание на основные, базовые геометрические фигуры, такие как точка и отрезок.
Узнаем, что называют ломаной линией, какие геометрические фигуры называют многоугольниками, рассмотрим их основные элементы и характеристики.
Научимся сравнивать, находить длины отрезков.
Познакомимся с различными единицами измерения отрезков.
Рассмотрим свойства измерения длин отрезков.
Отрезок
Геометрическая фигура- это математическая модель, в которой рассматривается только форма и размер, не обращая внимания на иные свойства и состояния (цвет, из какого материала изготовлены, в каком состоянии находятся).
Как здания складываются из кирпичиков, так и сложные геометрические фигуры состоят из базовых фигур.
Одной такой элементарной фигурой является точка.
Точка — это неделимая фигура, не имеет частей и размеров (высоты, радиуса, длины и т.д.), направления и других характеристик.
В реальности моделью, которая дает представление о точке может стать, например, след, оставленный острием карандаша, или отверстие на бумаге от швейной иглы.
Слово «точка» с латинского языка означает мгновенное касание, укол.
Точку принято рассматривать как некоторое место в пространстве или на плоскости.
Принято обозначать точки заглавными латинскими буквами (А, В, С и т.д.).
Две точки на плоскости можно соединить бесконечным множеством линий.
Самой короткой линией, соединяющей две точки на плоскости, будет прямая, проведенная по линейке через эти две точки.
Кратчайшая линия между двумя точками называется отрезком.
Любые две точки можно соединить только одним отрезком.
Отрезок — это часть прямой линии, ограниченной двумя точками.
Точки, ограничивающие отрезок, называются концами отрезка.
Отрезок обозначают указанием имен его концов.
Через точки А и В с помощью линейки провели прямую.
А и В — концы отрезка.
Так как отрезок обозначают именами точек, получим отрезок АВ или ВА.
Пишут и говорят так: «Отрезок АВ» или «Отрезок ВА».
В названии отрезка не важно в каком порядке указываются его концы.
Отрезок АВ и ВА — это один и тот же отрезок.
Отрезок можно построить с помощью линейки.
Для этого необходимо к отмеченным на плоскости точкам приложить линейку и провести прямую от одного конца отрезка до другого.
Чтобы с помощью линейки начертить отрезок, который длиннее чем сама линейка, нужно поступить следующим образом:
Между точками А и В отметить точку С.
Затем передвинем линейку так, чтобы левый конец линейки оказался около точки С, по правому концу линейки отложим точку D.
Последовательно соединив концы отрезков, получится отрезок AD, который длиннее, чем линейка.
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
Давайте разберемся, как могут располагаться точки по отношению к отрезку:
1. Точка лежит на отрезке.
Говорят: «Точка G принадлежит отрезку ».
Записывают это так: G ∈ AB
2. Точка не лежит на отрезке.
Говорят: «Точка не принадлежит отрезку ».
Записывают это так: R ∉ AB
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Длина отрезка
Каждый отрезок имеет определенную длину, значение которой является числом.
Длина в геометрии — это величина, которая характеризует протяженность.
Длина отрезка — это расстояние между концами отрезка.
Так как каждый отрезок имеет длину, отрезки можно измерять и сравнивать.
Существует несколько способов сравнения отрезков.
1. Приблизительный способ сравнения.
Данный способ сравнения применяют только в том случае, когда длины отрезков явно отличаются.
Пример: Даны два отрезка АВ и ЕР
Очевидно, что отрезок АВ длиннее отрезка ЕР, значит, АВ > ЕР
2. Совмещение отрезков — более точный способ сравнения отрезков.
Метод заключается в следующем: совмещаются два отрезка друг с другом так, чтобы совпали их концы с одной стороны.
По расположению других концов относительно друг друга можно оценить какой из отрезков длиннее, а какой короче.
Если при наложении отрезков друг на друга длины отрезков совпадут, то отрезки равны (отрезки в этом случае будут равными фигурами).
Если при наложении отрезков друг на друга один из отрезков будет составлять часть второго, то первый отрезок является короче второго (т.е. длина первого меньше длины второго).
Пример: Даны два отрезка АВ и ОЕ
Сравним данные отрезки методом совмещения отрезков.
Совместим левый конец А отрезка АВ и левый конец О отрезка ОЕ.
Можно заметить, что отрезок ОЕ составляет часть отрезка АВ.
Значит, отрезок ОЕ короче отрезка АВ.
Данный метод удобен, если есть возможность перемещать отрезки, совмещать один с другим.
3. Сравнение отрезков с помощью измерителя.
Если нет возможности перемещать сравниваемые отрезки, то можно использовать промежуточный измеритель.
В математике для этих целей используют специальный чертежный инструмент, который называется циркулем.
Чтобы сравнить отрезки с помощью циркуля, необходимо совместить концы отрезка с ножками циркуля.
Не меняя раствор циркуля, приложить его ко второму отрезку и сравнить.
- Если ножки циркуля совпадают с концами сравниваемого отрезка, то отрезки считаются равными.
- Если отрезок выходит за пределы расставленных ножек циркуля, то он больше исходного отрезка.
- Если же отрезок находится между концами измерителя, то сравниваемый отрезок меньше исходного.
Если нет возможности сравнить отрезки наложением и нет циркуля под рукой, то в качестве измерителя можно использовать нитку.
В таком случае нужно нитку приложить к исходному отрезку, на нитке по отрезку сделать замер, затем нитку приложить ко второму отрезку, оценить расположение замера на нитке по отношению к исследуемому отрезку, сделать вывод.
Пусть даны три отрезка СD, АЕ, BG
Сравним эти отрезки с помощью циркуля.
Соединим ножки циркуля с концами С и D отрезка СD.
Приложим циркуль с заданным раствором к отрезку АЕ.
Концы измерителя совпали с точками отрезка АЕ, значит, отрезки CD и AE равны: (CD = AE).
Приложим циркуль с заданным раствором к отрезку BG.
Отрезок выходит за концы измерителя, т.е. является частью отрезка BG, следовательно, отрезок BG длиннее отрезка СD: (BG > СD).
Все рассмотренные способы сравнения длины отрезков проводят без определения значения длины сравниваемых отрезков.
4. Существует еще один способ сравнения длины отрезков путем измерения их длинны.
Для этого необходимо сначала измерить длину каждого отрезка, далее сравнить полученные значения их длины и сделать вывод.
Большим будет являться тот отрезок, длина которого больше.
Соответственно, если длины измеряемых отрезков равны, то и отрезки равны.
У меня есть дополнительная информация к этой части урока!
Ломаная линия
Если последовательно соединить отрезки так, чтобы конец одного отрезка являлся началом следующего (при этом соседние отрезки не лежат на одной прямой), то образуется геометрическая фигура, которая называется ломаной линией.
Отрезки, из которых состоит ломаная линия, называют звеньями.
Концы отрезков называют вершинами ломаной.
Самые крайние вершины ломаной называют концами ломаной
Обозначение ломаной линии составляют из названий вершин этой ломаной, называя их по порядку.
Длиной ломаной называется сумма длин всех ее звеньев.
На рисунке изображена ломаная линия АBCDE.
Вершины ломаной АBCDE: А, B, C, D, Е.
Звенья ломаной АBCDE: AB, BC, CD, DE.
A и E — концы ломаной.
Найдем длину ломаной АВСDE:
АВСDE = AB+ BC+ CD+ DE = 2 см + 3 см + 4 см + 5 см = 14 см
Ломаная, концы которой совмещаются, называется замкнутой.
Многоугольником называется фигура, ограниченная замкнутой ломаной линией, звенья которой не пересекаются.
Отрезки (звенья) ломаной линии называют сторонами многоугольника.
Общие точки двух отрезков (сторон) многоугольника называют его вершинами.
Каждая пара сторон многоугольника, сходящиеся в одной точке, образуют углы многоугольника.
Количество сторон и количество углов в многоугольнике совпадают.
Вершины, стороны и углы многоугольника обозначаются аналогично ломаной линии.
Многоугольник принято обозначать и называть по его вершинам, начиная с любой вершины и называя их последовательно, в любом порядке.
На рисунке изображен многоугольник АBCDEF.
Вершины многоугольника АBCDEF: А, B, C, D, Е, F.
Стороны многоугольника АBCDEF: AB, BC, CD, DE, EF, FA.
Любые многоугольники можно сравнить: два многоугольника называются равными, если они совпадают при наложении.
Зная длину каждой стороны многоугольника, можно найти периметр этого многоугольника.
Периметр многоугольника — это сумма длин всех сторон.
Периметр многоугольника принято обозначать заглавной латинской буквой Р
Найдем периметр многоугольника АBCDEF (изображенного на рисунке):
РАВСDEF = AB+ BC+ CD+ DE+ EF+ FA = 2 см + 3 см + 2 см + 2 см + 3 см + 2 см = 14 см.
Существует огромное множество различных видов многоугольников.
Обычно многоугольники различают по числу сторон и углов.
Например: пятиугольник имеет 5 углов и 5 сторон, шестиугольник — 6 углов и 6 сторон.
Многоугольник с наименьшим числом вершин, сторон и углов называют треугольником.
Треугольник — плоская геометрическая фигура, которая состоит из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, соединяющих эти точки.
Треугольник часто обозначают символом «Δ» и тремя заглавными латинскими буквами, которые обозначают его вершины.
На рисунке изображен треугольник АBC (Δ АBC).
А, В, С — вершины треугольника АBC.
Отрезки AB, BC, АC— стороны треугольника АBC.
Периметр треугольника- это сумма длин трех его сторон.
Найдем периметр треугольника АBC (изображенного на рисунке):
РАВС = AB+ BC+ АС = 4 см + 6 см + 3 см = 13 см.
Пройти тест и получить оценку можно после входа или регистрации
Источник
