Способы интегрирования определенного интеграла

Пункт 5. Методы интегрирования определенного интеграла

Методы интегрирования определенного интеграла практически не отличаются от методов интегрирования неопределенного интеграла.

Метод непосредственного интегрирования определенного интеграла состоит в том, что путем тождественных преобразований и применения свойств определенного интеграла приводится к одному или нескольким табличным интегралам, которые вычисляются по формуле Ньютона-Лейбница.

Примеры.

16. .

17. .

Интегрирование методом введения новой переменной определенного интеграла состоит в следующем:

1)часть подынтегральной функции заменить новой переменной так, чтобы затем получить табличный интеграл;

2)найти дифференциал от обеих частей замены;

3)найти новые пределы интегрирования определенного интеграла;

4)всё подынтегральное выражение выразить через новую переменную, после чего получится табличный интеграл;

5)вычислить полученный определенный интеграл, используя новые пределы интегрирования.

Примеры:

18.

.

19. = .

20. = .

21. =

22. = .

Интегрирование по частям определенного интеграла осуществляется по формуле: , где u и — функции, зависящие от х, имеющие непрерывные производные.

Примеры:

23. .

24. = .

25. = .

Пункт 6. Приложения интеграла.

Тема 2.4. Дифференциальные уравнения.

Основные понятия.

Дифференциальные уравнения первого порядка.

Дифференциальные уравнения с разделяющими переменными.

Однородные дифференциальные уравнения.

Линейные дифференциальные уравнения.

Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах.

Дифференциальные уравнения в частных производных.

Пункт 1. Основные понятия.

Одним из распространенных способов изучения явлений математическими методами является моделирование этих явлений в виде дифференциальных уравнений.

Дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимые переменные, искомую функцию и их производные.

Если искомая функция y является функцией одного аргумента x, то дифференциальное уравнение называется обыкновенным дифференциальным уравнением. Если искомая функция зависит от нескольких аргументов, то дифференциальное уравнение называется уравнением в частных производных.

В дальнейшем мы будем рассматривать только обыкновенные дифференциальные уравнения (для краткости слово «обыкновенные» иногда будем опускать), поэтому еще раз сформулируем определение таких уравнений.

Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее независимую переменную x, искомую функцию y и ее производные:

Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной, входящей в это уравнение.

Дифференциальное уравнение n-го порядка вида

(1)

называется разрешенным относительно высшей производной.

Решением дифференциального уравнения п-го порядка называется всякая функция , определенная для значений х на конечном или бесконечном интервале, имеющая производные до n-го порядка включительно и такая, что подстановка этой функции и ее производных в дифференциальное уравнение обращает последнее в тождество относительно x.

Нахождение решений дифференциального уравнения называется интегрированием этого дифференциального уравнения.

Общим решением дифференциального уравнения (1) называется такое его решение

,

которое содержит столько независимых произвольных постоянных , каков порядок этого уравнения.

В результате решения дифференциального уравнения нередко приходят к зависимости, в которой у явно не выражается через х, т. е. получают выражение

(2)

Равенство вида (2), неявно выражающее общее решение дифференциального уравнения, называется общим интегралом этого дифференциального уравнения.

Во многих случаях требуется находить решения дифференциального уравнения, удовлетворяющего некоторым дополнительным условиям. Например, задача Коши состоит в отыскании решения дифференциального уравнения (1), определенного в некоторой окрестности точки и удовлетворяющего начальным условиям

где — заданные числа.

При определенных условиях на правую часть уравнения (1) данная задача (задача Коши) имеет единственное решение. Это следует из так называемых теорем существования и единственности.

Кроме задачи Коши для дифференциального уравнения (1) решаются также краевые задачи. Например, для дифференциального уравнения второго порядка отыскивают решение на отрезке такое, что выполняются граничные (краевые) условия .

Источник

Определённый интеграл и методы его вычисления

В каждой главе будут и задачи для самостоятельного решения, к которым можно посмотреть ответы.

Понятие определённого интеграла и формула Ньютона-Лейбница

Определённым интегралом от непрерывной функции f(x) на конечном отрезке [a, b] (где ) называется приращение какой-нибудь её первообразной на этом отрезке. (Вообще, понимание заметно облегчится, если повторить тему неопределённого интеграла) При этом употребляется запись

Как видно на графиках внизу (приращение первообразной функции обозначено ), определённый интеграл может быть как положительным, так и отрицательным числом (Вычисляется как разность между значением первообразной в верхнем пределе и её же значением в нижнем пределе, т. е. как F(b) — F(a)).

Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, а отрезок [a, b] – отрезком интегрирования.

Таким образом, если F(x) – какая-нибудь первообразная функция для f(x), то, согласно определению,

(38)

Равенство (38) называется формулой Ньютона-Лейбница. Разность F(b) – F(a) кратко записывают так:

Поэтому формулу Ньютона-Лейбница будем записывать и так:

(39)

Докажем, что определённый интеграл не зависит от того, какая первообразная подынтегральной функции взята при его вычислении. Пусть F(x) и Ф(х) – произвольные первообразные подынтегральной функции. Так как это первообразные одной и той же функции, то они отличаются на постоянное слагаемое: Ф(х) = F(x) + C. Поэтому

Тем самым установлено, что на отрезке [a, b] приращения всех первообразных функции f(x) совпадают.

Таким образом, для вычисления определённого интеграла необходимо найти любую первообразную подынтегральной функции, т.е. сначала следует найти неопределённый интеграл. Постоянная С из последующих вычислений исключается. Затем применяется формула Ньютона-Лейбница: в первообразную функцию подставляется значение верхнего предела b , далее — значение нижнего предела a и вычисляется разность F(b) — F(a) . Полученное число и будет определённым интегралом. .

При a = b по определению принимается

Для того чтобы потренироваться в нахождении определённых интегралов, потребуется таблица основных неопределённых интегралов и пособие «Действия со степенями и корнями«.

Пример 1. Вычислить определённый интеграл

Решение. Сначала найдём неопределённый интеграл:

Применяя формулу Ньютона-Лейбница к первообразной

(при С = 0), получим

Однако при вычислении определённого интеграла лучше не находить отдельно первообразную, а сразу записывать интеграл в виде (39).

Пример 2. Вычислить определённый интеграл

Решение. Используя формулу

Найти определённый интеграл самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 3. Найти определённый интеграл

.

Пример 4. Найти определённый интеграл

.

Свойства определённого интеграла

Теорема 1. Определённый интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю, т.е.

Это свойство содержится в самом определении определённого интеграла. Однако его можно получить и по формуле Ньютона-Лейбница:

Теорема 2. Величина определённого интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, т.е.

(40)

Пусть F(x) – первообразная для f(x). Для f(t) первообразной служит та же функция F(t), в которой лишь иначе обозначена независимая переменная. Следовательно,

На основании формулы (39) последнее равенство означает равенство интегралов

Теорема 3. Постоянный множитель можно выносить за знак определённого интеграла, т.е.

(41)

Теорема 4. Определённый интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме определённых интегралов от этих функций, т.е.

(42)

Теорема 5. Если отрезок интегрирования разбит на части, то определённый интеграл по всему отрезку равен сумме определённых интегралов по его частям, т.е. если

(43)

Теорема 6. При перестановке пределов интегрирования абсолютная величина определённого интеграла не меняется, а изменяется лишь его знак, т.е.

(44)

Теорема 7 (теорема о среднем). Определённый интеграл равен произведению длины отрезка интегрирования на значение подынтегральной функции в некоторой точке внутри его, т.е.

(45)

Теорема 8. Если верхний предел интегрирования больше нижнего и подынтегральная функция неотрицательна (положительна), то и определённый интеграл неотрицателен (положителен), т.е. если

Теорема 9. Если верхний предел интегрирования больше нижнего и функции и непрерывны, то неравенство

можно почленно интегрировать, т.е.

(46)

Свойства определённого интеграла позволяют упрощать непосредственное вычисление интегралов.

Пример 5. Вычислить определённый интеграл

Используя теоремы 4 и 3, а при нахождении первообразных – табличные интегралы (7) и (6), получим

Определённый интеграл с переменным верхним пределом

Пусть f(x) – непрерывная на отрезке [a, b] функция, а F(x) – её первообразная. Рассмотрим определённый интеграл

(47)

,

а через t обозначена переменная интегрирования, чтобы не путать её с верхней границей. При изменении х меняется и опредёленный интеграл (47), т.е. он является функцией верхнего предела интегрирования х, которую обозначим через Ф(х), т.е.

(48)

Докажем, что функция Ф(х) является первообразной для f(x) = f(t). Действительно, дифференцируя Ф(х), получим

Функция Ф(х) – одна из бесконечного множества первообразных для f(x), а именно та, которая при x = aобращается в нуль. Это утверждение получается, если в равенстве (48) положить x = aи воспользоваться теоремой 1 предыдущего параграфа.

Вычисление определённых интегралов методом интегрирования по частям и методом замены переменной

При выводе формулы интегрирования по частям было получено равенство u dv = d (uv) – v du. Проинтегрировав его в пределах от a до b и учитывая теорему 4 параграфа этой статьи о свойствах определённого интеграла, получим

Как это следует из теоремы 2 параграфа о свойствах неопределённого интеграла, первый член в правой части равен разности значений произведения uv при верхнем и нижнем пределах интегрирования. Записав эту разность кратко в виде

получаем формулу интегрирования по частям для вычисления определенного интеграла:

(49)

Пример 6. Вычислить определённый интеграл

Решение. Интегрируем по частям, полагая u = ln x , dv = dx ; тогда du = (1/x)dx , v = x . По формуле (49) находим

Найти определённый интеграл по частям самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 7. Найти определённый интеграл

.

Пример 8. Найти определённый интеграл

.

Перейдём к вычислению определённого интеграла методом замены переменной. Пусть

где, по определению, F(x) – первообразная для f(x). Если в подынтегральном выражении произвести замену переменной

то в соответствии с формулой (16) можно записать

В этом выражении

первообразная функция для

Пусть α и β – значения переменной t , при которых функция

принимает соответственно значения aи b, т.е.

Но, согласно формуле Ньютона-Лейбница, разность F(b) – F(a) есть

(50)

Это и есть формула перехода к новой переменной под знаком определённого интеграла. С её помощью определённый интеграл

после замены переменной

преобразуется в определённый интеграл относительно новой переменной t. При этом старые пределы интегрирования a и b заменяются новыми пределами и . Чтобы найти новые пределы, нужно в уравнение

поставить значения x = aи x = b, т.е. решить уравнения

относительно и . После нахождения новых пределов интегрирования вычисление определённого интеграла сводится к применению формулы Ньютона-Лейбница к интегралу от новой переменной t. В первообразной функции, которая получается в результате нахождения интеграла, возвращаться к старой переменной нет необходимости.

При вычислении определённого интеграла методом замены переменной часто бывает удобно выражать не старую переменную как функцию новой, а, наоборот, новую – как функцию старой.

Пример 9. Вычислить определённый интеграл

Решение. Произведём замену переменной, полагая

Тогда dt = 2x dx , откуда x dx = (1/2) dt , и подынтегральное выражение преобразуется так:

Найдём новые пределы интегрирования. Подстановка значений x = 4 и x = 5 в уравнение

Используя теперь формулу (50), получим

После замены переменной мы не возвращались к старой переменной, а применили формулу Ньютона-Лейбница к полученной первообразной.

Найти определённый интеграл заменой переменной самостоятельно, а затем посмотреть решение

Пример 10. Найти определённый интеграл

.

Пример 11. Найти определённый интеграл

.

Источник