Способ группировки
Кроме вынесения общего множителя за скобки существует еще один способ разложения многочлена на множители — способ группировки.
Этот способ разложения на множители считается более сложным, поэтому перед его изучением, убедитесь, что вы уверенно выносите общий множитель за скобки.
Чтобы разложить многочлен на множители способом группировки, необходимо сделать следующее.
- Подчеркнуть повторяющиеся буквы и записать друг за другом одночлены с одинаковыми буквенными множителями.
- Вынести общий множитель за скобки у каждой группы одночленов.
- Вынести полученный общий многочлен за скобки.
Рассмотрим пример разложения многочлена на множители способом группировки.
- Подчеркнем повторяющиеся буквенные множители в одночленах.
Примеры способа группировки
Группировать одночлены можно по-разному. При правильной группировке должен появиться общий многочлен .
Рассмотрим пример. Требуется разложить многочлен на множители, используя способ группировки.
Первый способ
Обратим внимание, что в двух одночленах повторяется « y 2 » и « z 2 ». Подчеркнем повторяющиеся одночлены и запишем их друг за другом. Затем вынесем общий множитель у каждой группы одночленов.
48x z 2 + 32x y 2 − 15 z 2 − 10 y 2 = 48x z 2 − 15 z 2 + 32x y 2 − 10 y 2 = 3z 2 (16x − 5) + 2y 2 (16x − 5) =
= (16x − 5)(3z 2 + 2y 2 )
Второй способ
Запишем пример еще раз. Теперь обратим внимание, что в первых двух одночленах повторяется « x ». Подчеркнем повторяющиеся одночлены. Вынесем общий множитель у каждой группы одночленов.
48 x z 2 + 32 x y 2 − 15z 2 − 10y 2 = 16x(3z 2 + 2y 2 ) − 5(3z 2 + 2y 2 ) = (3z 2 + 2y 2 )(16x − 5)
В итоге получился такой же ответ, как и при первом способе.
Рассмотрим еще один пример разложения многочлена способом группировки.
- 4q(p − 1) + p − 1 = 4q(p − 1) + (p − 1) = 4q(p − 1) + 1 · (p − 1) = (p − 1)(4q + 1)
В этом примере следует отметить, что для вынесения общего многочлена мы добавили умножение на 1 к многочлену (p − 1) , что не изменяет результат умножения.
Это помогает понять, что останется во второй скобке после вынесения общего многочлена.
Смена знаков в скобках
Иногда для вынесения общего многочлена требуется сменить все знаки одночленов в скобках на противоположные.
Для этого за скобки выносится знак « − », а в скобках у всех одночленов меняются знаки на противоположные.
2ab 2 − 3x + 1 = −( − 2ab 2 + 3x − 1)
Рассмотрим пример способа группировки, где для вынесения общего многочлена, нам потрубуется выполнить смену знаков в скобках.
- 2m(m − n) + n − m = − 2m( − m + n) + (n − m) = −2m(n − m) + 1 · (n − m) =
= (n − m)(−2m + 1)
Источник
Урок алгебры в 7 классе “Разложение многочлена на множители способом группировки”.
КОНСПЕКТ УРОК и ТЕХНОЛОГИЧЕСКАЯ КАРТА
урока алгебры в 7 классе по теме :
«Разложение многочлена на множители способом группировки».
Технологическая карта урока алгебры
Составитель: Белянская Е.В., учитель математики и физики
ГБОУ СОШ №5 “ОЦ “Лидер” г.о. Кинель
Технологическая карта урока алгебры в 7 классе по учебнику по теме:
“ Разложение многочлена на множители способом группировки” .
Разложение многочлена на множители способом группировки
Урок открытия новых знаний
Овладение умением раскладывать многочлен на множители способом группировки
повторить и закрепить правило вынесение общего множителя за скобки;
изучить способ разложения многочлена на множители способом группировки;
закрепить полученные знания с помощью упражнений.
развитие интеллектуальных и познавательных способностей;
воспитание умения работать в парах, самостоятельно;
развитие умения использовать математическое моделирование в различных областях науки и окружающего мира;
развивать устойчивую мотивацию к процессу обучения.
воспитание культуры общения ;
воспитание потребностей в самообразовании ;
прививать и воспитывать интерес к предмету «математика» посредствам использования на уроке учебного оборудования.
— формирование ответственного отношения к учению
— развитие познавательного интереса к алгебре
— формирование умения прогнозировать свои действия в ситуации выбора решения задачи
— стремление к совершенствованию речевой культуры
— развитие логического мышления
-умение соотносить свои действия с планируемыми результатами, осуществлять контроль своей деятельности в процессе достижения результата, корректировать свои действия в соответствии с изменяющейся ситуацией;
-умение оценивать правильность выполнения учебной задачи, собственные возможности ее решения;
-владение основами самоконтроля, самооценки .
— умение организовать учебное сотрудничество и совместную деятельность с учителем и сверстниками;
— включаться в ситуацию выбора методов решения задачи
— умение вступать в речевое общение, диалог.
— использовать полученные знания при решении задач
— уметь давать оценку своим действиям, оценивать результат
— умение осуществлять информационный поиск;
— умение выделять главное, обобщать и фиксировать нужную информацию.
— умеет применять способ группировки для разложения многочлена на множители;
— умеет применять способ группировки для решения уравнений;
— умеет применять способ группировки для нахождения значения выражения.
Многочлен, одночлен, общий множитель
Презентация Power Point с интерактивными заданиями
Карточки с заданиями для учащихся
Компьютер, проектор, колонки, интерактивная доска smart board, документ -камера, система контроля и мониторинга качества знаний PROCLass
Работа фронтальная, самостоятельная, в парах
Приветствие. Проверка готовности. Включение в деловой режим. Подводит детей к формулированию темы и цели урока
Предлагает разложить на множители многочлены 5 x 2 -3 x
5 x +5 y + m x + my
Организует учащихся по исследованию проблемной ситуации.
Приветствие. Подготовка к работе. Просмотр видео «Закон Менделя».
Раскладывают на множители многочлены, вынося общий множитель в виде одночлена или многочлена
В последнем примере учащиеся пытаются вынести общий множитель 5 у первого и второго слагаемых и общий множитель m у третьего и четвертого слагаемых Формулирование темы
планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками
Формулирование темы и целей урока
Актуализация знаний и локализация индивидуальных затруднений.
Предлагает учащимся сформулировать алгоритм разложения многочлена на множители способом группировки, используя результаты совместной деятельности по разложению на множители 4 многочлена.
Во фронтальной беседе, глядя на решенный пример, учитель спрашивает, что нужно сделать 1 шагом, учитель корректирует высказывания учащихся и открывает этот шаг на доске и т.д., пока не откроется весь алгоритм.
Предлагает применить полученный алгоритм для разложения на множители многочлена xy +6+3 x +2 y
Учащиеся высказывают свои версии
Учащиеся предлагают свои способы группировки и делают выводы, что не всегда группировка бывает удачной.
планирование учебного сотрудничества с учителем и сверстниками;
логические – анализ объектов с целью выделения признаков
На доске пошагово открывается алгоритм
Самооценка правильности выполнения задания
Применение знаний и формирование умений и навыков
Учащимся предлагается применить способ группировки для многочленов, состоящих из 6, 8 и 3 слагаемых
Предлагает применить алгоритм для вычисления рациональным способом
Предлагает применить алгоритм для нахождения значения выражения
Предлагает применить алгоритм для решения уравнения
Учащиеся поэтапно применяют алгоритм
контроль, оценка, коррекция;
управление поведением партнера – контроль, коррекция, оценка действий партнера
Проверка с помощью документ-камеры
Самооценка правильности выполнения задания
Предлагает доказать, что указанное в законе Менделя соотношение видов потомства действительно является результатом скрещивания указанных видов особей.
Записывает математическую модель 2 закона Менделя и сформулирует математическую задачу Организует работу в парах.
Учащиеся пытаются доказать 2 закон Менделя
Осуществляет самоконтроль своих знаний и напарника, оценивает правильность выполнения задания, вносит необходимые коррективы.
контроль, оценка, коррекция;
управление поведением партнера – контроль, коррекция, оценка действий партнера
доказывается, что указанное в законе соотношение видов потомства действительно является результатом скрещивания указанных видов особей
Предлагает выполнить тестовую работу с использованием системы контроля и мониторинга
качества знаний PROClass
Решают самостоятельно задачи и оценивают правильность ответов
контроль, оценка, коррекция;
Анализ работы и ее результативность
5. Этап Рефлексии
Итоговая таблица результатов в системе тестирования PROClass
Сценарий урока по алгебре в 7 классе по теме:
«Разложение на множители многочлена способом группировки»
Учитель: «Добрый день. Ребята, вы любите математику?»
Идет импровизированный диалог между учителем и учащимися. В зависимости от ответа, если да, то почему, если нет, то почему?
Учитель: «А я люблю математику за краткость и красоту описания законов природы и мы с Вами попробуем сегодня изучить математический аппарат, который позволяет описать математическую модель одного из законов природы. Внимание на экран».
Идет ролик «Второй закон Менделя».
Учитель: «Сегодня я предлагаю Вам проверить математически 2 закон Менделя (на экране появляется второй закон Менделя в картинке), то есть доказать, что указанное в законе соотношение видов потомства действительно является результатом скрещивания указанных видов особей.
Начнем? Для освоения необходимого математического аппарата я предлагаю Вам выполнить следующее задание.
Разложите на множители:
25 x 2 a +5 xa +10 a
Затруднения, как я понимаю, вызвал последний многочлен?
Давайте рассмотрим его подробнее 5x +5y +m x +my.
— Есть ли общий множитель у всех слагаемых?
Применим “метод пристального взгляда”. Что вы увидели?
(Есть общий множитель 5 у первого и второго слагаемых и общий множитель m у третьего и четвертого слагаемых.)
— Давайте объединим их в группы.? ( 5x +5y ) +(m x +my)
— Что можно сделать с общим множителем в каждой группе? (Вынести его за скобки) .
— Сколько сейчас получилось слагаемых? (Два)
— Что интересного заметили в получившемся выражении? (Есть один общий множитель (х+у) )
— Вынесем его за скобки.
— Что мы получили? (Произведение)
— Значит, многочлен представили в виде произведения. Каким способом?
(Объединяя слагаемые в группы)
— Поэтому этот способ называется способом группировки. Способ группировки – это и есть искомый математический аппарат, который поможет нам справиться с математической моделью 2 закона Менделя.
Но чтобы использовать данный закон для моделирования, его для начала, нужно в совершенстве освоить.
2. Этап Актуализация знаний и локализация индивидуальных затруднений.
Начнем с формулировки алгоритма разложения многочлена на множители способом группировки, используя результаты совместной деятельности по разложению на множители 4 многочлена. Ваши предложения?»
Во фронтальной беседе, глядя на решенный пример, учитель спрашивает, что нужно сделать 1 шагом, ученики высказывают свои версии, учитель корректирует и открывает этот шаг на доске и т.д., пока не откроется весь алгоритм:
а) выполнить группировку слагаемых, имеющих общий множитель;
в) отдельно в каждой группе найти общий множитель и вынести его за скобки;
с) в получившемся выражении найти общий множитель и вынести его за скобки.
Алгоритм есть, теперь нужно научиться его применять.
Перед вами многочлен xy +6+3 x +2 y . Сколько способов группировки вы можете предложить?
xy +6+3 x +2 y = ( xy +6)+(3 x +2 y )=
Дети предлагают свои способы группировок и делают вывод, что
не всегда группировка бывает удачной.
3. Этап Применение знаний и формирование умений и навыков
Учитель: «1) А если будет не 4 слагаемых, а 6?
x 2 y + x + xy 2 + y +2 xy +2=……
А если 8 слагаемых……
А если 3слагаемых x 2 +6 x +5= x 2 + x +5 x +5= x ( x +1)+5( x +1)=( x +1)( x +5)
X m +1 — x m + x -1= x m ( x -1)+1( x -1)=( x -1)( x m +1)
Работая с алгоритмом, учащиеся действуют поэтапно, отдавая себе отчет, что надо сделать и почему. Происходит осознание нового правила, его осмысление и запоминание.
Алгоритм использовать научились, попробуем его применить в различных ситуациях, работаем в парах:
1.Вычислить рациональным способом
2. Найти значение выражения:
7by+4b-14y-8 при b=2, y=1/7
При подстановки значений получаем: (7 y +4)( b -2)=0
3. Решить уравнение:
X 3 +2 x 2 +3 x +6=0
Решение: X 3 +2 x 2 +3 x +6=0
X +2=0 или x 2 +3=0
4. Ну и наконец, докажем, что указанное в законе соотношение видов потомства действительно является результатом скрещивания указанных видов особей (на экране вновь картинка с законом).
Так как у вас нет опыта математического моделирования и мы ограничены во времени. То математическую модель 2 закона Менделя я напишу и сформулирую математическую задачу.
Доказать тождество, используя метод группировки, можно работать в парах, общаться:
1/4АА + 1/2Аа + 1/4аа = (1/2А+1/2а)(1/2А+1/2а)
4. Этап Контроль знаний
Ну что, мы с Вами выполнили все задания и осталось проверить, насколько Вы освоили способ группировки с помощью PROCLASSa
1. Разложить на множители mx + my +6 x +6 y
2 . Вычислить 3 ,3*5,2+0,7*5,2+3,3*0,8+0,7*0,8=
3. Решить уравнение x 3 -5 x 2 +2 x -10=0
1) x =5 2) x =5, x =2 3) нет корней
5. Этап Рефлексии
Учитель на экран выводит результаты тестирования, делает выводы и благодарит за урок.
Источник
