Способы доказательства теоремы пифагора 9 класс различные проекты

Проект по математике «Различные способы доказательства теоремы Пифагора»

МБОУ «Варсковская СШ»

Научно-исследовательская работа по математике.

Тема: «Различные способы доказательства теоремы Пифагора»

Авторы проекта : ученики 8 класса Гавриков Дмитрий и Сусликова Ульяна

Руководитель : Локоткова Оксана Анатольевна

2.1 Биография Пифагора

2.2 История открытия теоремы Пифагора.

2.3 Способы доказательства теоремы Пифагора.

В этом году на уроке геометрии мы познакомились с одной из важнейших теорем для прямоугольного треугольника, известной с древних времен – теоремой Пифагора. Кратко познакомились с историей этой теоремы, рассмотрели ее доказательство, но также узнали, что это одно из ее доказательств. Трудно найти человека, для которого имя Пифагора не ассоциировалось бы с его теоремой. Почти у каждого сохранились воспоминания о «пифагоровых штанах» — квадрате на гипотенузе, равновеликом двум квадратам на катетах. Причина такой популярности теоремы Пифагора очевидна: простота, красота и широкая значимость. В самом деле, теорема Пифагора проста, но не очевидна. Это сочетание двух противоречивых начал и придает ей особую притягательную силу, делает ее красивой. Но, кроме того, теорема Пифагора имеет огромное значение: она применяется в геометрии буквально на каждом шагу, и тот факт, что существует более 100 различных доказательств этой теоремы (геометрических, алгебраических, механических и т.д.), свидетельствует о гигантском числе ее конкретных реализаций. Зная теорему Пифагора можно находить ее новые применения и способы доказательств. Это и то, что теорема Пифагора была известна задолго до его рождения нас и поразило. Мы заинтересовались и решили провести исследование.

Цель исследования : рассмотрение других способов доказательства теоремы Пифагора.

Найти новые способы доказательства теоремы Пифагора.

Исследовать различные способы доказательства данной теоремы, не рассматриваемые в школе.

Продемонстрировать другим учащимся существование новых способов доказательства теоремы Пифагора.

Основной метод, который мы использовали в своей работе – это метод исследования, систематизации и обработки данных.

Гипотеза: возможно ли узнать, другие способы доказательства теоремы Пифагора, не изучаемые в школьном курсе геометрии.

Объект исследования: множество различных доказательств теоремы.

Предмет исследования: теорема Пифагора

Пифагор родился на острове Самос, одном из самых цветущих островов Ионии, в семье богатого ювелира. Ещё до рождения он был посвящен своими родителями свету Аполлона. Он был очень красив и с детства отличался разумом и справедливостью. С юных лет Пифагор стремился проникнуть в тайны Вечной Природы, постичь смысл Бытия. Знания, полученные им в храмах Греции, не давали ответов на все волнующие его вопросы, и он отправился в поисках мудрости в Египет. В течение 22 лет он проходил обучение в храмах Мемфиса и получил посвящение высшей степени. Здесь же он глубоко изучил математику, “науку чисел или всемирных принципов”, из которой впоследствии сделал центр своей системы. Из Мемфиса, по приказу вторгшегося в Египет Камбиза, Пифагор вместе с египетскими жрецами попадает в Вавилон, где проводит еще 12 лет. Здесь он имеет возможность изучить многие религии и культы, проникнуть в мистерии древней магии наследников Зороастра. Приблизительно в 530 году Пифагор, наконец, возвратился в Грецию и вскоре переселился в Южную Италию, в г. Кротон. В Кротоне он основал пифагорейский союз, который был одновременно философской школой, политической партией и религиозным братством. Школа Пифагора дала Греции целую плеяду талантливых философов, физиков и математиков. С их именем связаны в математике систематическое введение доказательств в геометрию, рассмотрение ее как абстрактной науки, создание учения о подобии, доказательство теоремы, носящей имя Пифагора, построение некоторых правильных многоугольников и многогранников, а также учение о четных и нечетных, простых и составных, о фигурных и совершенных числах, арифметических, геометрических и гармонических пропорциях и средних.

История открытия теоремы Пифагора.

Долгое время считали, что до Пифагора эта теорема не была известна. В настоящее вре-мя установлено, что эта величайшая теорема встречается в вавилонских текстах, написанных за 1200 лет до Пифагора. Открытие теоремы Пифагором окружено ореолом красивых легенд. Прокл, комментируя последнее предложение первой книги «Начал» Евклида, пишет: «Если послушать тех, кто любит повторять древние легенды, то придется сказать, что эта теорема восходит к Пифагору; рассказывают, что он в честь этого открытия принес в жертву быка». Впрочем, более щедрые сказители одного быка превратили в одну гекатомбу, а это уже целая сотня. И хотя еще Цицерон заметил, что всякое пролитие крови было чуждо уставу пифагорейского ордена, легенда эта прочно срослась с теоремой Пифагора и через две тысячи лет продолжала вызывать горячие отклики. Так, оптимист Михаил Ломоносов (1711—1765) писал: «Пифагор за изобретение одного геометрического правила Зевсу принес на жертву сто волов. Но ежели бы за найденные в нынешние времена от остроумных математиков правила по суеверной его ревности поступать, то едва бы в целом свете столько рогатого скота сыскалось». А вот ироничный Генрих Гейне (1797—1856) видел развитие той же ситуации несколько иначе: «Кто знает! Кто знает! Возможно, душа Пифагора переселилась в беднягу кандидата, который не смог доказать теорему Пифагора и провалился из-за этого на экзаменах, тогда как в его экзаменаторах обитают души тех быков, которых Пифагор, обрадованный открытием своей теоремы, принес в жертву бессмертным богам». Сегодня теорема Пифагора обнаружена в различных частных задачах и чертежах: и в египетском треугольнике в папирусе времен фараона Аменемхета первого (ок. 2000 до н.э.), и в вавилонских клинописных табличках эпохи царя Хаммурапи (XVIII в. до н.э.), и в древнеиндийском геометрическо-теологическом трактате VII —V вв. до н.э. «Сульва сутра» («Правила веревки»). В древнейшем китайском трактате «Чжоу-би суань цзинь», время создания которого точно не известно, утверждается, что в XII в. до н. э. китайцы знали свойства египетского треугольника, а к VI в. до н.э.—и общий вид теоремы. Несмотря на все это, имя Пифагора столь прочно сплавилось с теоремой Пифагора, что сейчас просто не-возможно представить, что это словосочетание распадется. То же относится и к легенде о заклании быков Пифагором. Да и вряд ли нужно препарировать историко-математическим скальпелем красивые древние предания. Сегодня принято считать, что Пифагор дал первое доказательство носящей его имя теоремы. Увы, от этого доказательства также не сохранилось никаких следов.

Способы доказательства теоремы Пифагора.

1. Простейшее доказательство

Это доказательство получается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника. Вероятно, с него и начиналась теорема. В самом деле, достаточно посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников, чтобы убедиться в справедливости теоремы. Например, для такого треугольника АВС: квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах, — по 2. Теорема доказана.

В течение двух тысячелетий наиболее распространенным было доказательство теоремы Пифагора, придуманное Евклидом. Данное доказательство приведено в предложении 47 первой книги «Начал». Это же доказательство рассмотрено и в учебнике А.П.Киселева «Геометрия». Чертёж, применяемый при доказательстве этой теоремы, в шутку называют «пифагоровы штаны». В течение долгого времени он считался одним из символов математической науки.

На гипотенузе и катетах прямоугольного треугольника АВС строятся соответствующие квадраты и доказывается, что прямоугольник BJLD равновелик квадрату ABFH, а прямоугольник JCEL — квадрату АСКG. Тогда сумма квадратов на катетах будет равна квадрату на гипотенузе. В самом деле, затушеванные на рисунке треугольники ABD и BFC равны по двум сторонам и углу между ними: FB = AB, BC = BD и  _FBC =  _ABD . Но S _ABD = 1/2 S _BJLD , так как у треугольника ABD и прямоугольника BJLD общее основание BD и общая высота LD. Аналогично S _FBC = 1/2 S _ABFH (BF-общее основание, АВ — общая высота). Отсюда, учитывая, что S _ABD = S _FBC , имеем S _BJLD = S _ABFH . Аналогично, используя равенство треугольников ВСК и АСЕ, доказывается, что S _JCEL = S _ACKG . Итак, S _ABFH + S _ACKG = S _BJLD + S _JCEL = S _BCED , что и требовалось доказать.

Это доказательство, основанное на площади, рассматривается в учебнике «Геометрия 7-9» Л.С.Атанасяна.

Достроим треугольник до квадрата со стороной a + b .Площадь этого квадрата равна ( a + b ) 2

С другой стороны, этот квадрат составлен из четырех равных прямоугольных треугольников, площадь каждого из которых равна ab , и квадрата со стороной с, поэтому S = 4 ab + c 2 = 2 ab + c 2 . Таким образом, ( a + b ) 2 = 2 ab + c 2 , откуда c 2 = a 2 + b 2 что и требовалось доказать.

4.Через подобие треугольников.

Этот способ рассматривается в учебниках «Геометрия 7-9» А.В.Погорелова и А.П.Киселева «Геометрия».

В прямоугольном ∆ АВС (  С = 90º ) проведём высоту С D . Тогда исходный треугольник разобьётся на два треугольника, тоже являющихся прямоугольными. Полученные треугольники будут подобны друг другу и исходному треугольнику ( первый признак подобия прямоугольных треугольников) Так как у подобных треугольников сходственные стороны пропорциональны, то

АС : А D = АВ : АС = ВС : С D ; АВ : ВС = ВС : В D = АС : С D Получим верные равенства:

АС · АС = АВ · А D , ВС · ВС = АВ · В D

в · в = с · А D а · а = с ·В D

Складывая эти два верных равенства, получим

в ² + а ² = с (А D + В D )

с ² = а ² + в ² Теорема доказана.

5. Через косинус угла.

Проведем высоту С D из вершины прямого угла С.

По определению косинуса угла со s A = AD / AC = AC / AB , отсюда следует

со s B = BD / BC = BC / AB , значит AB·BD = ВС 2

Сложив полученные равенства почленно, получим: АВ 2 = АС 2 + ВС 2

6. Доказательство Дж. Гардфилда (1882 г.)

Расположим два равных прямоугольных треугольника так, чтобы катет одного из них был продолжением другого. Площадь рассматриваемой трапеции находится как произведение полусуммы оснований на высоту

C другой стороны, площадь трапеции равна сумме площадей полученных треугольников:

Приравнивая данные выражения, получаем:

7.Старейшее доказательство(содержится в одном из произведений Бхаскары).

П усть АВС D квадрат, сторона которого равна гипотенузе прямоугольного треугольника АВЕ (АВ = с, ВЕ = а,

АЕ = b ); Пусть СК ВЕ = а, DL CK , AM DL

ΔABE = ∆BCK = ∆CDL = ∆AMD,

значит KL = LM = ME = EK = a-b.

8. Доказательство Хоукинса.

Пр иведем еще одно доказательство, которое имеет вычислительный характер, однако сильно отличается от всех предыдущих. Оно опубликовано англичанином Хоукинсом в 1909 году; было ли оно известно до этого — трудно сказать.

Прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C повернем на 90° так, чтобы он занял положение A’CB’. Продолжим гипотенузу A’В’ за точку A’ до пересечения с линией АВ в точке D. Отрезок В’D будет высотой треугольника В’АВ. Рассмотрим теперь заштрихованный четырехугольник A’АВ’В. Его можно разложить на два равнобедренных треугольника САA’ и СВВ’ (или на два треугольника A’В’А и A’В’В).

S _CAA’ = b²/2
S _CBB’ = a²/2
S _A’AB’B = (a²+b²)/2
Треугольники A’В’А и A’В’В имеют общее основание с и высоты DA и DB, поэтому:

S _A’AB’B = c·DA/2+ c·DB/2 = c (DA+DB)/2 = c²/2

Сравнивая два полученных выражения для площади, получим: a² + b² = c²

9. Доказательство Гофмана.

Треугольник ABC с прямым углом С; отрезок BF перпендикулярен СВ и равен ему, отрезок BE перпендикулярен АВ и равен ему, отрезок AD перпендикулярен АС и равен ему; точки F, С, D принадлежат одной прямой; четырехугольники ADFB и АСВЕ равновелики, так как ABF = ЕСВ; треугольники ADF и АСЕ равновелики; отнимем от обоих равновеликих четырехугольников общий для них треугольник ABC, получим

В результате нашей исследовательской работы, мы рассмотрели несколько различных способов доказательства теоремы Пифагора, которые не представлены в школьном курсе геометрии. Работа над проектом позволили нам расширить свои знания в области геометрии. К сожалению, невозможно привести все доказательства теоремы, однако хочется надеяться, что приведенные примеры убедительно свидетельствуют об огромном интересе сегодня, да и вчера, проявляемом по отношению к теореме Пифагора.

Источник

Проект по математике на тему: «Различные способы доказательств Теоремы Пифагора»

Научный проект по математике

Различные способы доказательства теоремы Пифагора

Автор: Карташова Анастасия,

учащаяся 9 «А» класса

Теорема Пифагора по праву считается самой важной в курсе геометрии и заслуживает при­стального внимания. Она являет­ся основой решения множества геометрических задач, базой для изучения теоретического и практического курса геометрии в дальнейшем. Теорема окружена богатей­шим историческим материалом, связанным с её появлением и способами доказательства. Изучение истории развития геометрии прививает любовь к данному предмету, способствует развитию познава­тельного интереса, общей культу­ры и творчества, а так же развивает навыки научно-исследовательской работы.

В результате поисковой деятельности была достигнута цель работы, заключающаяся в пополнении и обобщении знаний по доказательству теоремы Пифагора. Удалось найти и рассмотреть различные способы доказательства и углубить знания по теме, выйдя за страницы школьного учебника.

Собранный материал ещё больше убеждает в том, что теорема Пифагора является великой теоремой геометрии, имеет огромное теоретическое и практическое значение.

1. ВВЕДЕНИЕ. ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА.

Суть истины вся в том, что нам она — навечно,

Когда хоть раз в прозрении ее увидим свет,

И теорема Пифагора через столько лет

Для нас, как для него, бесспорна, безупречна.

На радостях богам был Пифагором дан обет:

За то, что мудрости коснулся бесконечной,

Он сто быков заклал, благодаря предвечных;

Моленья и хвалы вознес он жертве вслед.

С тех пор быки, когда учуят, тужась,

Что к новой истине людей опять подводит след,

Ревут остервенело, так что слушать мочи нет,

Такой в них Пифагор вселил навеки ужас.

Быкам, бессильным новой правде противостоять,

Что остается? — Лишь глаза закрыв, реветь, дрожать.

Неизвестно, каким способом доказывал Пифагор свою теорему. Несомненно лишь то, что он открыл ее под силь­ным влиянием египетской науки. Частный случай теоре­мы Пифагора — свойства треугольника со сторонами 3, 4 и 5 — был известен строителям пирамид задолго до рожде­ния Пифагора, сам же он более 20 лет обучался у египет­ских жрецов. Сохранилась легенда, которая гласит, что, доказав свою знаменитую теорему, Пифагор принес богам в жертву быка, а по другим источникам, даже 100 быков. Это, однако, противоречит сведениям о моральных и ре­лигиозных воззрениях Пифагора. В литературных источ­никах можно прочитать, что он «запрещал даже убивать животных, а тем более ими кормиться, ибо животные имеют душу, как и мы». Пифагор питался только медом, хлебом, овощами и изредка рыбой. В связи со всем этим более правдоподобной можно считать следующую запись: «. и даже когда он открыл, что в прямоугольном треугольнике гипо­тенуза имеет соответствие с катетами, он принес в жертву быка, сделанного из пшеничного теста».

Популярность теоремы Пифагора столь велика, что ее доказательства встречаются даже в художественной литературе, например, в рассказе известного английско­го писателя Хаксли «Юный Архимед». Такое же Доказа­тельство, но для частного случая равнобедренного пря­моугольного треугольника приводится в диалоге Плато­на «Менон».

«Далеко-далеко, куда не летают даже самолеты, находится страна Геометрия. В этой необычной стране был один удиви­тельный город — город Теорем. Однажды в этот город пришла красивая девочка по имени Гипотенуза. Она попробовала снять комнату, но куда бы она ни обращалась, ей всюду отказывали. Наконец она подошла к покосившемуся домику и постучала. Ей открыл мужчина, назвавший себя Прямым Углом, и он предло­жил Гипотенузе поселиться у него. Гипотенуза осталась в доме, в котором жили Прямой Угол и два его маленьких сына по имени Катеты. С тех пор жизнь в доме Прямого Угла пошла по-ново­му. На окошке гипотенуза посадила цветы, а в палисаднике развела красные розы. Дом принял форму прямоугольного тре­угольника. Обоим катетам Гипотенуза очень понравилась и они попросили ее остаться навсегда в их доме. Ло вечерам эта друж­ная семья собирается за семейным столом. Иногда Прямой Угол играет со своими детишками в прятки. Чаще всего искать при­ходится ему, а Гипотенуза прячется так искусно, что найти ее бывает очень трудно. Однажды во время игры Прямой Угол подметил интересное свойство: если ему удается найти катеты, то отыскать Гипотенузу не составляет труда. Так Прямой Угол пользуется этой закономерностью, надо сказать, очень успешно. На свойстве этого прямоугольного треугольника и основана тео­рема Пифагора.»

(Из книги А. Окунева «Спасибо за урок, дети»).

Шутливая формулировка теоремы:

Если дан нам треугольник

И притом с прямым углом,

То квадрат гипотенузы

Мы всегда легко найдем:

Катеты в квадрат возводим,

Сумму степеней находим –

И таким простым путем

К результату мы придем.

Изучая алгебру и начала анализа и геометрию в 10 классе, я убедилась в том, что кроме рассмотренного в 8 классе способа доказательства теоремы Пифагора существуют и другие способы доказательства. Представляю их на ваше обозрение.

Теорема. В прямоугольном треугольнике квадрат

гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Пользуясь свойствами площадей многоугольников, установим замечательное соотношение между гипотенузой и катетами прямоугольного треугольника.

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами а, в и гипотенузой с (рис.1, а).

Докажем, что с²=а²+в² .

Доказательство.

Достроим треугольник до квадрата со стороной а + в так, как показано на рис. 1, б. Площадь S этого квадрата равна (а + в) ² . С другой стороны, этот квадрат составлен из четырех равных прямоугольных треугольников, площадь каждого из которых равна ½ ав , и квадрата со стороной с , поэтому S = 4 * ½ ав + с ² =2ав + с ².

2 СПОСОБ.

После изучения темы «Подобные треугольники» я выяснила, что можно применить подобие треугольников к доказательству теоремы Пифагора. А именно, я воспользовалась утверждением о том, что катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключённого между катетом и высотой, проведённой из вершины прямого угла.

Рассмотрим прямоугольный треугольник с прямым углом С, С D – высота (рис. 2). Докажем, что АС ² +СВ ² = АВ ² .

На основании утверждения о катете прямоугольного треугольника:

АС = , СВ = .

Возведем в квадрат и сложим полученные равенства:

АС ² = АВ * А D , СВ ² = АВ * D В;

АС ² + СВ ² = АВ * ( А D + D В), где А D + DB = AB , тогда

АС ² + СВ ² = АВ * АВ,

К доказательству теоремы Пифагора можно применить определение косинуса острого угла прямоугольного треугольника. Рассмотрим рис. 3.

Пусть АВС – данный прямоугольный треугольник с прямым углом С. Проведем высоту С D из вершины прямого угла С.

По определению косинуса угла:

cos А = А D /АС = АС/АВ. Отсюда АВ * А D = АС ²

cos В = В D /ВС = ВС/АВ.

Отсюда АВ * В D = ВС ² .

Складывая полученные равенства почленно и замечая, что А D + D В = АВ, получим:

Изучив тему «Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника», я думаю, что теорему Пифагора можно доказать ещё одним способом.

Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами а, в и гипотенузой с. (рис. 4).

sin В= в/с ; cos В= a /с, то, возведя в квадрат полученные равенства, получим:

Сложив их, получим:

1= (в²+ а²) / с², следовательно,

Данное доказательство основано на разрезании квадратов, построенных на катетах (рис. 5), и укладывании полученных частей на квадрате, по­строенном на гипотенузе.

Для доказательства на катете ВС строим BCD ABC (рис.6 ). Мы знаем, что пло­щади подобных фигур отно­сятся как квадраты их сход­ственных линейных размеров:

Вычитая из первого равенства второе, получим

,

,

с 2 = а 2 + b 2 .

AB С, = 90°, ВС = а, АС= b , АВ = с.

Пусть катет b а. Продолжим отре­зок СВ за точку В и построим треугольник BMD так, что­бы точки М и А лежали по одну сторону от прямой CD и, кроме того, BD = b , BDM = 90°, DM = a , тогда BMD = ABC по двум сторонам и углу между ними. Точки А и М соединим отрезками AM . Имеем MD CD и AC CD , значит, прямая АС параллельна прямой MD . Так как MD CD и AM не параллельны. Следова­тельно, AMDC — прямоугольная трапеция.

В прямоугольных треугольниках ABC и BMD 1 + 2 = 90° и 3 + 4 = 90°, но так как = =, то 3 + 2 = 90°; тогда АВМ =180° — 90° = 90°. Оказа­лось, что трапеция AMDC разбита на три неперекрываю­щихся прямоугольных треугольника, тогда по аксиомам площадей

,

( a + b )( a + b )

Разделив все члены неравенства на , получим

а b + с 2 + а b = (а + b ) , 2 ab + с 2 = а 2 + 2а b + b 2 ,

Данный способ основывается на гипотенузе и кате­тах прямоугольного тре­угольника ABC . Он строит соответствующие квадра­ты и доказывает, что квадрат, построенный на гипотенузе, равновелик сумме квадратов, постро­енных на катетах (рис. 8).

1) DBC = FBA = 90°;

DBC + ABC = FBA + ABC , значит, FBC = DBA .

Таким образом, FBC = ABD (по двум сторонам и углу между ними).

2) , где AL DE , так как BD — общее основание, DL — общая высота.

3) , так как FB –снование, АВ — общая высота.

4)

5) Аналогично можно доказать, что

6) Складывая почленно, получаем:

, ВС 2 = АВ 2 + АС 2 . Доказательство закончено.

1) Пусть ABDE — квадрат (рис. 9), сторона которого рав­на гипотенузе прямоугольно­го треугольника ABC (АВ = с, ВС = а,АС = b ).

2) Пусть DK BC и DK = ВС, так как 1 + 2 = 90° (как острые углы прямоугольно­го треугольника), 3 + 2 = 90° (как угол квадрата), АВ = BD (стороны квадрата).

Значит, ABC = BDK (по гипотенузе и острому углу).

3) Пусть EL DK, AM EL. Можно легко доказать, что ABC = BDK =DEL = ЕАМ (с катетами а и b ). Тогда КС = СМ = ML = LK = а — b .

4) S _KB = 4S + S _KLMC = 2ab + (a — b), с 2 = 2ab + a 2 — 2ab + b 2 , c 2 = a 2 + b 2 .

Доказательство может быть проведено на фигуре, в шутке называемой «Пифагоровы штаны» (рис. 10). Идея его со­стоит в преобразовании квад­ратов, построенных на кате­тах, в равновеликие треуголь­ники, составляющие вместе квадрат гипотенузы.

ABC сдвигаем, как пока­зано стрелкой, и он занимает положение KDN . Оставша­яся часть фигуры AKDCB рав­новелика площади квадрата AKDC – это параллелограмм AKNB .

Сделана модель параллелограмма AKNB . Параллелограмм перекладываем так, как зарисовано в содержании работы. Чтобы показать преобразование парал­лелограмма в равновеликий треугольник, на глазах уча­щихся отрезаем на модели треугольник и перекладываем его вниз. Таким образом, площадь квадрата AKDC получилась равна площади прямоугольника. Аналогично преоб­разуем площадь квадрата в площадь прямоугольника.

Произведем преобразование для квадрата, построенно­го на катете а (рис. 11,а):

а) квадрат преобразуется в равновеликий параллелог­рамм (рис. 11,6):

б) параллелограмм поворачивается на четверть оборо­та (рис. 12):

в) параллелограмм преобразуется в равновеликий пря­моугольник (рис. 13):

Источник