Поиск различных способов доказательства теорем как один из методических приемов привития интереса к предмету
Разделы: Математика
В данной статье я рассматриваю один из путей активизации познавательной деятельности школьников и повышения уровня их логического мышления: ставим перед детьми проблему поиска различных способов доказательства одной и той же теоремы, на примерах показываем, как это делается.
Но как побудить учащихся к самостоятельному поиску различных способов доказательства теорем, как организовать соответствующую работу с учащимися в классе и на внеклассных занятиях. Особенно это важно на начальном этапе изучения геометрии в 7 классе – заронить в сознание ребят потребность поиска новых доказательств. Этот навык закрепляем на последующих этапах изучения геометрии.
Сначала рассмотрим доказательства некоторых теорем различными способами.
Теорема о сумме углов треугольника
Формулировка: сумма внутренних углов треугольника равна 180º.
Доказательство:
Отложим углы, соответственно равные углам А и В от сторон угла ВСА: угол, равный А откладывается от луча СА в ту полуплоскость относительно прямой СА, которая не содержит точку В (рис.1). Нужно доказать, что угол NСM равен 180º, т.е. является развёрнутым.
Из равенства внутренних накрест лежащих углов А и МСА следует параллельность прямых СМ и АВ. Аналогично убеждаемся, что CN ║ АВ.
сылаясь на аксиому параллельных, приходим к выводу, что прямые СМ и СN cовпадают. Следовательно, ∟МСN = 180º, а он и содержит в себе сумму всех трёх внутренних углов треугольника.
Проведём луч АС и луч CF, параллельный АВ. ∟А = ∟DCF как соответственные при параллельных прямых CF и АВ и секущей АС.
∟В = ∟BCF как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых CF и АВ и секущей ВС. ∟ACD = 180º, т.к. этот угол развернутый, значит: ∟А + ∟В + ∟С = 180º.
Проведём лучи ВС и АС и проведём СМ ║ АВ. ∟DCF = ∟АСВ как вертикальные, ∟А = ∟FCM как соответственные при параллельных прямых CM и АВ и секущей АС. ∟В = ∟MCB как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых CM и АВ и секущей ВС. ∟DCB = 180º, т.к. этот угол развёрнутый. Но этот развёрнутый угол оказался равным сумме трёх внутренних углов треугольника, значит: ∟А + ∟В + ∟С = 180º.
Проведём СМ ║ ВА. ∟А = ∟MCА как внутренние накрест лежащие при СМ ║ ВА и секущей АС. ∟ВСМ = ∟А + ∟С. ∟ВСМ + ∟В = 180º, т.к. эти углы внутренние односторонние при параллельных прямых CM и ВА и секущей ВС, значит: ∟А + ∟В + ∟С = 180º.
Теорема о зависимости углов треугольника от его сторон
Формулировка: в треугольнике против большей стороны лежит больший угол.
Доказательство:
Рассмотрим случай, когда в ∆ АВС АС>АВ. Поставим целью доказать, что ∟С ∟ADM = ∟АЕМ >∟С как (применили свойства внешних углов ∆ МВD и ∆ СЕМ). Значит ∟В >∟С.
Можно опустить перпендикуляры BT и CI на луч АМ (рис.7).
Тогда выяснится, что ∟ABT = ∟ACI, ∟В > ∟ АВТ = ∟ACI > ∟С.
Итак, ∟В > ∟С. Теорема доказана.
Теорема о трёх перпендикулярах (прямая и обратная)
Формулировка (прямая теорема): если прямая, проведённая на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна её проекции, то она перпендикулярна и самой наклонной.
Доказательство:
I cпособ:
(Доказательство прямой теоремы)
Пусть t ┴ ОА Допустим, что SA не перпендикулярна прямой t. Проведём SB ┴ t, тогда SA > SB. Из прямоугольных треугольников SOA и SOB: OA2 = SA2 — SO2, OB2 = SB2 — SO2. Получаем: OA > OB. Между тем OA 3) сумма внутренних углов выпуклого многоугольника вычисляется по формуле 180º(k -2). Чтобы из k-угольника получить (k + 1)-угольник достаточно «преломить» одну из сторон, и, не теряя выпуклости, добавить два звена ломаной, тогда к сумме внутренних углов прошлого k-угольника добавится 180º (для углов ∆АВС).
180º(k -2) +180º = 180ºk — 360º+180º = 180º((k + 1) — 2). Справедливость утверждения для n = k + 1 доказана. Согласно принципу математической индукции утверждение справедливо для любого натурального числа n, не меньшего трёх. Теорема доказана.
Вторая группа учащихся проводит доказательство теоремы, проводя диагонали, исходящие из одной вершины. Ребята замечают, что если n – количество сторон выпуклого многоугольника, то (n – 2) – количество образовавшихся треугольников. И т.к. сумма внутренних углов треугольника равна 180º, то сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна 180º(n -2).
Третья группа ребят находит доказательство теоремы, разбив многоугольник на n треугольников с общей вершиной во внутренней области. Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника 180ºn — 360º = 180º(n -2).
И, наконец, четвёртая группа учащихся, изучая рис.12 и выполняя дополнительный рис.13 (рисуем углы с соответственно параллельными сторонами для углов с ∟1 по ∟6), приходит к выводу: сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна 180ºn — 360º = 180º(n -2).
После предварительной подготовки представители каждой группы на доске демонстрируют классу найденное доказательство теоремы.
Получился настоящий праздник знаний!
Приучая учащихся к самостоятельным поискам доказательства, поощряя их работу в этом направлении (даже если найденное доказательство сложнее известного), можно добиться более прочных и глубоких знаний, способствовать повышению интереса к предмету.
Источник
Разные способы доказательств теоремы «Сумма углов треугольника»
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа» с. Визинга
«Разные способы доказательства
теоремы о сумме углов треугольника».
Выполнил: Чередов С.С.,
учащийся 8 «а» класс
Руководитель: Пахомова Л. Я., учитель математики
«Величие человека – в его способности мыслить».
Б. Паскаль
Второй год мы изучаем предмет-геометрию. Эта наука изучает свойства геометрических фигур. На одном из уроков мы изучали теорему о сумме углов треугольника. И с помощью доказательства сделали вывод: сумма углов треугольника равна 180˚. Мне захотелось узнать, можно ли доказать эту теорему на практике, без доказательства.
Гипотеза: Предполагаю, что можно доказать теорему о сумме углов треугольника практически, то есть при помощи бумаги.
Объект исследования: сумма углов треугольника.
Предмет: сумма углов треугольника равна 180˚.
Цель проекта: доказать теорему при помощи использования бумаги.
1.Найти материал по данной теме, изучить литературу.
2.Убедиться на практике, можно ли доказать теорему при помощи бумаги.
3.Рассказать одноклассникам о новых способах доказательства теоремы.
Ожидаемые результаты : надеюсь, что новые способы доказательств данной теоремы заинтересует ребят и они поймут, что геометрия-это не нудная, а увлекательная наука.
Для достижения целей и задач я, много читал, искал необходимую информацию в разных источниках, общался с интересными мне людьми.
2.1.Историческая справка. В курсе геометрии 7 класса мы изучали теорему о сумме углов треугольника. Узнали, что эта теорема одна из важнейших теорем в геометрии.
Её доказательство приписывают древнегреческому математику Пифагору, жившему в V в. до н. э.
На уроке учительница доказала эту теорему несколькими способами, что меня очень удивило. Мне, казалось, что любое утверждение можно доказать только единожды. Меня заинтересовал этот факт. Могу ли я отыскать еще другие способы доказательства?
Я обратился в библиотеку за книгами по геометрии, поискал в интернете. И для себя нашел интересный факт:
Во — первых, я узнал, что существует несколько геометрий, и в каждой из них, сумма углов треугольника трактуется по-разному.
В геометрии Лобачевского сумма углов треугольника всегда меньше 180.
В геометрии Евклида сумма углов всегда равна 180.
В геометрии Римана – сумма углов больше 180.
И во-вторых, я нашел еще другие способы доказательства этой теоремы.
2.1.1. Так в нашем учебнике «Геометрия 7-9» под редакцией А.С. Атанасян теорема доказывается, используя свойства параллельности прямых и понятие развернутого угла. (приложение 1)
2.1.2.А в некоторых школах страны геометрию изучают по учебнику
А.В Погорелова, эта теорема доказывается, используя равенство треугольников . (приложение 2)
2.1.3. А еще раньше, геометрию изучали по учебнику А.П. Киселева 1961, автор предлагает доказательство, основанное на понятии развернутого угла. (приложение 3)
2.1.4.Используя свойства параллельности прямых. (приложение 1)
2.1.5. Понятие вертикальных углов и их свойства .
Можно конечно их доказать, но это не так интересно. Интереснее, когда результат получаешь на практике.
2.1.6. Измерение углов с помощью транспортира . Измерить углы.
Найти сумму углов треугольника.
2.1.7. Используя перпендикулярность прямых. Его можно показать на практике
Измерение углов при помощи бумажного треугольника (1 способ)
1. Берём обычный лист бумаги.
2. Вырезаем из него произвольный треугольник.
3. Проводим в нём высоту к большей стороне.
4. Сгибаем правый угол к проведённой высоте
5. Повторяем это же действие с левым углом.
6.И ещё раз проделываем сгибание, но только уже верхнего угла к основанию перпендикуляра.
2.1.8.Измерение углов при помощи бумажного треугольника (2 способ)
1..На одной из сторон треугольника взять точку.
2ЮЧерез неё провести две параллельные линии.
3.Ножницами отрезать их.
4.Приложить к третьему углу.
5.Получим развернутый угол- его сумма равна 180 градусов
2.2.Практическое применение знаний.
Геометрия возникла и развивалась в связи с потребностями практической деятельности человека. При строительстве даже самых примитивных сооружений необходимо уметь рассчитывать, сколько материала уйдет на постройку, вычислять расстояния между точками в пространстве и углы между плоскостями. Развитие торговли и мореплавания требовало умений ориентироваться во времени и пространстве.
Свойство углов прямоугольного равнобедренного треугольника знал еще один из первых творцов геометрической науки древнегреческий ученый Фалес. Используя его, он измерял высоту египетской пирамиды по длине ее тени. По легенде, Фалес выбрал день и время, когда длина его собственной тени равнялась его росту, поскольку в этот момент высота пирамиды также должна равняться длине тени, которую она отбрасывает. Конечно, длину тени можно было вычислить от средней точки квадратной основы пирамиды, но ширину основы Фалес мог измерять непосредственно. Таким образом,
можно измерять высоту любого дерева.
Вывод: Теорему сумма углов треугольника равна 180 градусов можно доказать не только с помощью определений и теорем, но и на практике, то есть с помощью бумаги. Надеюсь, что при выполнении практических работ, ребята больше заинтересуются геометрией
Геометрия 7-9 Атанасян.
Геометрия 7-9 Погорелов.
Геометрия А.П. Киселев.
2.1.1. Так в нашем учебнике «Геометрия 7-9» под редакцией А.С. Атанасян теорема доказывается, используя свойства параллельности прямых и понятие развернутого угла.
2.1.4.Используя свойства параллельности прямых.
2.1.2.А в некоторых школах страны геометрию изучают по учебнику
А.В Погорелова, эта теорема доказывается, используя равенство треугольников .
АВС
Доказать: A + B + C = 180.
1. Через середину ВС проведем прямую АО, так что
2. Рассмотрим AOC = DOB (по 1-му признаку)
AO = OD , BO = OC — по построению.
AOC = BOD ( как вертикальные), значит 1= 3, 2= 4, при секущей ВС по свойству паралельных прямых.
3. 1 и 3- накрест лежащие, значит ACIIBD , тогда А+ 3+ 5= 180 ( как односторонние), при прямых BDIIAC и секущей ВА, значит А+ В+ С= 180. Теорема доказана.
2.1.3. А еще раньше, геометрию изучали по учебнику А.П. Киселева 1961, автор предлагает доказательство основанное на понятии развернутого угла.
Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.
Источник
Геометрия. 7 класс
Конспект урока
Сумма углов треугольника
Перечень рассматриваемых вопросов:
- Формулирование и доказательство теоремы о сумме углов треугольника.
- Следствия теоремы о сумме углов треугольника.
- Классификация треугольников по видам углов.
- Формулирование и доказательство теоремы о свойствах прямоугольного треугольника.
- Решение задач с применением пройденного материала;
- Угловой отражатель.
Внешний угол треугольника– это угол, смежный с каким-либо углом этого треугольника.
- Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.
- Атанасян Л. С. Геометрия: Методические рекомендации 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А. и др. – М.: Просвещение, 2019. – 95 с.
- Зив Б. Г. Геометрия: Дидактические материалы 7 класс. // Зив Б. Г., Мейлер В. М. – М.: Просвещение, 2019. – 127 с.
- Мищенко Т. М. Дидактические материалы и методические рекомендации для учителя по геометрии 7 класс. // Мищенко Т. М., – М.: Просвещение, 2019. – 160 с.
- Атанасян Л. С. Геометрия: Рабочая тетрадь 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А., Юдина И. И. – М.: Просвещение, 2019. – 158 с.
- Иченская М. А. Геометрия: Самостоятельные и контрольные работы 7–9классы. // Иченская М. А. – М.: Просвещение, 2019. – 144 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения.
Ранее, на уроках математики, вы познакомились с различными геометрическими фигурами, в том числе и с треугольниками. При изучении геометрии, вы узнали признаки равенства треугольников, выяснили, что такое медиана, биссектриса и высота треугольника.
Сегодня мы продолжим изучать треугольники и рассмотрим одну из важнейших теорем геометрии– теорему о сумме углов треугольника.
Сформулируем эту теорему.
Сумма углов треугольника равна 180°.
Проведем через вершину В прямую а ║АС.
∠1 = ∠4 (по свойству параллельных прямых, т. к. это накрест лежащие углы при пересечении прямых а и АС и секущей АВ), ∠3 = ∠5 (по свойству параллельных прямых, т. к. это – накрест лежащие углы при пересечении прямых а и АС и секущей ВС)→ ∠4 + ∠2 + ∠5 = 180° (по свойству развёрнутого угла) → ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180° → ∠А + ∠В + ∠С = 180°.
Что и требовалось доказать.
Теперь введём ещё одно понятие, связанное с треугольниками –внешний угол треугольника. Это угол, смежный с каким-либо углом этого треугольника.
Докажем, что внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.
∠3 + ∠4 = 180° (по свойству развёрнутого угла).
∠3 + (∠2 + ∠1) = 180° (по теореме о сумме углов треугольника) → ∠4 = ∠2 + ∠1.
Что и требовалось доказать.
Из теоремы о сумме углов треугольника следует, что если один из углов треугольника равен 90 градусам или больше 90 градусов, то остальные два угла будут острые, т.к. их сумма не должна превышать 90 градусов. Поэтому, в любом треугольнике либо все углы острые, либо два угла острые, а третий тупой или прямой.
Исходя из этого, можно классифицировать треугольники по углам.
По углам треугольник может быть:
‑ остроугольным, если все его углы являются острыми (т.е. меньше 90°);
‑ тупоугольным, если один из его углов тупой (т.е. больше 90°);
‑ прямоугольным, если один угол 90° (т.е. прямой).
В прямоугольном треугольнике стороны имеют свои названия.
Сторона треугольника, лежащая напротив прямого угла, называется гипотенузой, а две другие – катетами.
Докажем свойство прямоугольного треугольника, которое устанавливается с помощью теоремы о сумме углов треугольника.
Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90º.
∠А +∠С + ∠В = 180° (по теореме о сумме углов треугольника).
∠В = 90° (по определению прямоугольного треугольника) →∠А + ∠С + 90° = 180°
∠А + ∠С = 180 – 90° = 90°
Что и требовалось доказать.
Докажем, что в равностороннем треугольнике каждый угол равен 60 °.
Доказать: ∠А =∠С = ∠В = 60°.
Так как треугольник АВС равносторонний →АС = АВ = ВС (по определению равностороннего треугольника) → если АС = АВ → ∠С = ∠В (по свойству равнобедренного треугольника). Аналогично, если АС = СВ → ∠А = ∠В (по свойству равнобедренного треугольника) → ∠А = ∠С = ∠В.
∠А + ∠С + ∠В = 180° (по теореме о сумме углов треугольника).
∠А = ∠С = ∠В = 180° : 3 = 60°.
Что и требовалось доказать.
Материал для углублённого изучения темы.
Одно из свойств прямоугольного треугольника ‑сумма двух его острых углов равна 90°‑используется в технике, например, в угловом отражателе. Это устройство, которое отражает падающий на него пучок параллельных лучей при любом расположении отражателя по отношению к падающему пучку лучей.
Отражатель, например, устанавливается на заднем крыле велосипеда, для того, чтобы «возвращать назад» свет автомобильных фар, чтобы водитель машины видел велосипедиста ночью.
Ещё угловой отражаетель был установлен на автоматической космической станции, запущенной на Луну( выделен на рисунке кружочком), с целью определения точного расстояния от Земли до Луны.
Разбор заданий тренировочного модуля
1. Чему равна градусная мера углаА, если треугольник АВС прямоугольный?
По условию, ∆АВС – прямоугольный → сумма его острых углов равна 90°.
2. По рисунку найдите угол N треугольника FNA.
По рисунку ∠NAP= 140°, этот угол внешний к углу А треугольника FNA→
∠NAP = ∠N +∠F= 140° (т.к. внешний угол треугольника равен сумме двух углов треугольника не смежных с ним).
Источник
