- Различные способы доказательства теоремы Пифагора
- Урок в 8 классе: «Теорема Пифагора»
- Дистанционное обучение как современный формат преподавания
- Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
- Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
- Оставьте свой комментарий
- Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами
- Подарочные сертификаты
Различные способы доказательства теоремы Пифагора
учащаяся 9 «А» класса
Теорема Пифагора по праву считается самой важной в курсе геометрии и заслуживает пристального внимания. Она является основой решения множества геометрических задач, базой для изучения теоретического и практического курса геометрии в дальнейшем. Теорема окружена богатейшим историческим материалом, связанным с её появлением и способами доказательства. Изучение истории развития геометрии прививает любовь к данному предмету, способствует развитию познавательного интереса, общей культуры и творчества, а так же развивает навыки научно-исследовательской работы.
В результате поисковой деятельности была достигнута цель работы, заключающаяся в пополнении и обобщении знаний по доказательству теоремы Пифагора. Удалось найти и рассмотреть различные способы доказательства и углубить знания по теме, выйдя за страницы школьного учебника.
Собранный материал ещё больше убеждает в том, что теорема Пифагора является великой теоремой геометрии, имеет огромное теоретическое и практическое значение.
Введение. Историческая справка 5 Основная часть 8
3. Заключение 19
4. Используемая литература 20
1. ВВЕДЕНИЕ. ИСТОРИЧЕСКАЯ СПРАВКА.
Суть истины вся в том, что нам она — навечно,
Когда хоть раз в прозрении ее увидим свет,
И теорема Пифагора через столько лет
Для нас, как для него, бесспорна, безупречна.
На радостях богам был Пифагором дан обет:
За то, что мудрости коснулся бесконечной,
Он сто быков заклал, благодаря предвечных;
Моленья и хвалы вознес он жертве вслед.
С тех пор быки, когда учуят, тужась,
Что к новой истине людей опять подводит след,
Ревут остервенело, так что слушать мочи нет,
Такой в них Пифагор вселил навеки ужас.
Быкам, бессильным новой правде противостоять,
Что остается? — Лишь глаза закрыв, реветь, дрожать.
Неизвестно, каким способом доказывал Пифагор свою теорему. Несомненно лишь то, что он открыл ее под сильным влиянием египетской науки. Частный случай теоремы Пифагора — свойства треугольника со сторонами 3, 4 и 5 — был известен строителям пирамид задолго до рождения Пифагора, сам же он более 20 лет обучался у египетских жрецов. Сохранилась легенда, которая гласит, что, доказав свою знаменитую теорему, Пифагор принес богам в жертву быка, а по другим источникам, даже 100 быков. Это, однако, противоречит сведениям о моральных и религиозных воззрениях Пифагора. В литературных источниках можно прочитать, что он «запрещал даже убивать животных, а тем более ими кормиться, ибо животные имеют душу, как и мы». Пифагор питался только медом, хлебом, овощами и изредка рыбой. В связи со всем этим более правдоподобной можно считать следующую запись: «. и даже когда он открыл, что в прямоугольном треугольнике гипотенуза имеет соответствие с катетами, он принес в жертву быка, сделанного из пшеничного теста».
Популярность теоремы Пифагора столь велика, что ее доказательства встречаются даже в художественной литературе, например, в рассказе известного английского писателя Хаксли «Юный Архимед». Такое же Доказательство, но для частного случая равнобедренного прямоугольного треугольника приводится в диалоге Платона «Менон».
«Далеко-далеко, куда не летают даже самолеты, находится страна Геометрия. В этой необычной стране был один удивительный город — город Теорем. Однажды в этот город пришла красивая девочка по имени Гипотенуза. Она попробовала снять комнату, но куда бы она ни обращалась, ей всюду отказывали. Наконец она подошла к покосившемуся домику и постучала. Ей открыл мужчина, назвавший себя Прямым Углом, и он предложил Гипотенузе поселиться у него. Гипотенуза осталась в доме, в котором жили Прямой Угол и два его маленьких сына по имени Катеты. С тех пор жизнь в доме Прямого Угла пошла по-новому. На окошке гипотенуза посадила цветы, а в палисаднике развела красные розы. Дом принял форму прямоугольного треугольника. Обоим катетам Гипотенуза очень понравилась и они попросили ее остаться навсегда в их доме. Ло вечерам эта дружная семья собирается за семейным столом. Иногда Прямой Угол играет со своими детишками в прятки. Чаще всего искать приходится ему, а Гипотенуза прячется так искусно, что найти ее бывает очень трудно. Однажды во время игры Прямой Угол подметил интересное свойство: если ему удается найти катеты, то отыскать Гипотенузу не составляет труда. Так Прямой Угол пользуется этой закономерностью, надо сказать, очень успешно. На свойстве этого прямоугольного треугольника и основана теорема Пифагора.»
(Из книги А. Окунева «Спасибо за урок, дети»).
Шутливая формулировка теоремы:
Если дан нам треугольник
И притом с прямым углом,
То квадрат гипотенузы
Мы всегда легко найдем:
Катеты в квадрат возводим,
Сумму степеней находим –
И таким простым путем
К результату мы придем.
Изучая алгебру и начала анализа и геометрию в 10 классе, я убедилась в том, что кроме рассмотренного в 8 классе способа доказательства теоремы Пифагора существуют и другие способы доказательства. Представляю их на ваше обозрение.
2. ОСНОВНАЯ ЧАСТЬ.
Теорема. В прямоугольном треугольнике квадрат
гипотенузы равен сумме квадратов катетов.
Пользуясь свойствами площадей многоугольников, установим замечательное соотношение между гипотенузой и катетами прямоугольного треугольника.
Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами а, в и гипотенузой с (рис.1, а).
Докажем, что с²=а²+в².
Доказательство.
Достроим треугольник до квадрата со стороной а + в так, как показано на рис. 1, б. Площадь S этого квадрата равна (а + в)² . С другой стороны, этот квадрат составлен из четырех равных прямоугольных треугольников, площадь каждого из которых равна ½ав , и квадрата со стороной с, поэтому S= 4 * ½ав + с² =2ав + с².
Теорема доказана. 
2 СПОСОБ.
После изучения темы «Подобные треугольники» я выяснила, что можно применить подобие треугольников к доказательству теоремы Пифагора. А именно, я воспользовалась утверждением о том, что катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключённого между катетом и высотой, проведённой из вершины прямого угла.
Рассмотрим прямоугольный треугольник с прямым углом С, СD– высота (рис. 2). Докажем, что АС² +СВ² = АВ².
На основании утверждения о катете прямоугольного треугольника:
АС = 
, СВ = 
.
Возведем в квадрат и сложим полученные равенства:
АС² = АВ * АD, СВ² = АВ * DВ;
АС² + СВ² = АВ * ( АD + DВ), где АD+DB=AB, тогда
Доказательство закончено.
3 СПОСОБ.
К доказательству теоремы Пифагора можно применить определение косинуса острого угла прямоугольного треугольника. Рассмотрим рис. 3.
Пусть АВС – данный прямоугольный треугольник с прямым углом С. Проведем высоту СD из вершины прямого угла С.
По определению косинуса угла:
cos А = АD/АС = АС/АВ. Отсюда АВ * АD = АС²
cos В = ВD/ВС = ВС/АВ.
Отсюда АВ * ВD = ВС² .
Складывая полученные равенства почленно и замечая, что АD + DВ = АВ, получим:
Доказательство закончено.
4 СПОСОБ.
Изучив тему «Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника», я думаю, что теорему Пифагора можно доказать ещё одним способом.
Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами а, в и гипотенузой с. (рис. 4).
sinВ= в/с ; cosВ= a/с, то, возведя в квадрат полученные равенства, получим:
Сложив их, получим:
1= (в²+ а²) / с², следовательно,
Данное доказательство основано на разрезании квадратов, построенных на катетах (рис. 5), и укладывании полученных частей на квадрате, построенном на гипотенузе.
Для доказательства на катете ВС строим 
BCD ABC (рис.6 ). Мы знаем, что площади подобных фигур относятся как квадраты их сходственных линейных размеров:
Вычитая из первого равенства второе, получим
,
,
с2 = а2 + b2.
ABС, 
= 90°, ВС = а, АС=b, АВ = с.
Пусть катет b а. Продолжим отрезок СВ за точку В и построим треугольник BMD так, чтобы точки М и А лежали по одну сторону от прямой CD и, кроме того, BD = b, BDM = 90°, DM = a, тогда BMD = ABC по двум сторонам и углу между ними. Точки А и М соединим отрезками AM. Имеем MD CD и AC CD, значит, прямая АС параллельна прямой MD. Так как MD
Источник
Урок в 8 классе: «Теорема Пифагора»
Описание презентации по отдельным слайдам:
Электронное сопровождение к изучению темы: «Теорема Пифагора» Шулаева Елена Николаевна, учитель математики гимназии №3 г. Зеленодольска
Данный урок составлен для проведения в 8А классе. 8А класс- гимназический; В классе 27 человек; Математика-5 часов в неделю; Достижения прошлого учебного года: 1 и 2 место в городской олимпиаде по математике. 1 место в городских Лобачевских чтениях
Цель урока: Расширить познания учащихся о жизни великого Пифагора. Доказать теорему Пифагора и обратную к ней теорему. Продолжить работу по воспитанию устойчивого интереса к предмету. Задачи урока: научить -пользоваться формулой a²+b²=c² -видеть необходимость применения, изученных теорем при решении задач.
4 1. 10 10 2. Задача. Найти площади заданных многоугольников 5 12 13 13 7 4. 5 7 3. 5. 6 4 60 ̊̊ ПРОВЕРКА ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ
4. 4 10 10 2. 5 12 13 13 7 3. 5 7 5. 1. МОГУ РЕШИТЬ НЕ МОГУ РЕШИТЬ 3 6 60 ̊
4. 4 7 5 7 5. МОГУ РЕШИТЬ 6 60 ̊ S=a∙h a =8см h =7см S=7∙8=56cм² S=½∙(a+b)∙h a =5 b =7 h=6 S=½∙(5+7)∙6=36 кв.ед.
10 2. 5 12 13 13 3. 1. НЕ МОГУ РЕШИТЬ 3 .
Теорема Пифагора – одна из важнейших теорем геометрии. О ней знает подавляющее большинство населения планеты, хотя доказать ее способна лишь очень незначительная его часть. Эта теорема позволяет значительно расширить круг задач, решаемых в курсе геометрии. Пифагор Самосский(580-500г до н. э.) Древнегреческий философ, религиозный и политический деятель, математик.
Пребудет вечной истина, как скоро Ее познает слабый человек! И ныне теорема Пифагора Верна, как и в его далекий век. Обильно было жертвоприношенье Богам от Пифагора. Сто быков Он отдал на закланье и сожженье За света луч, пришедший с облаков. Сонет немецкого писателя-романиста А Шамиссо (начало XIX в.).
Обозначения сторон прямоугольного треугольника Гипотенуза – сторона, лежащая против прямого угла (AC). Катеты – стороны, прилежащие к прямому углу (AB и BC). A B C
«В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов». Формулировки теоремы Пифагора различны. Общепринятой считается следующая: Во времена Пифагора формулировка теоремы звучала так:
ТЕОРЕМА. В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. Доказательство: а а а b b b b (а+b)- сторона квадрата Площадь этого квадрата равна S=(a +b)²=a²+2ab+b² S=c²+4∙½ab=с²+2аb a²+2ab+b²=c²+2ab c²=a²+b². ЧТД. с с с с а a b c Дано: а, b – катеты с – гипотенуза ———————— Доказать: c²=a²+ b²
Простейшее доказательство Простейшее доказательство теоремы получается в простейшем случае равнобедренного прямоугольного треугольника. В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников , чтобы убедиться в справедливости теоремы. Например, для треугольника ABC : квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах,- по два. Теорема доказана.
Если квадрат одной стороны треугольника, равен сумме квадратов двух других его сторон, то треугольник прямоугольный. Дано: ∆АВС АВ²=АС²+ВС² Доказать: ∆АВС-прямоугольный. Доказательство: 1.Рассмотрим прямоугольный ∆КМР, у которого КМ=АС, МР=ВС. 2.По теореме Пифагора КМ²+МР²=КР², то АС²+ВС² =КР², но АС²+ВС²=АВ²,следовательно КР² =АВ², КР=АВ. 3. ∆АВС=∆КМР по 3 сторонам, то 15 слайд 
В чем же причина такой популярности «пифагоровых штанов»? б) простота, а) красота, в) значимость. Знатоки утверждают, что причин здесь три:
Теорема Пифагора – одна из самых главных теорем геометрии. Из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем. Сама же теорема Пифагора замечательна тем, что она проста, но не очевидна. Это сочетание двух противоречивых начал и придает ей особую притягательную силу, делает ее красивой. Но, кроме того, теорема Пифагора имеет огромное практическое значение: она применяется в геометрии буквально на каждом шагу.
9+16 25 144+25 169 36+64 100 a²+b²=c² a b c a²+b² c² 3 4 5 12 5 13 6 8 10
Прямоугольные треугольники с целочисленными сторонами называют египетскими, а тройки целых чисел, для которых выполняется соотношение, связывающее стороны прямоугольного треугольника, – пифагоровыми тройками. На прошлом слайде мы видели следующие тройки чисел: 3, 4, 5 5, 12, 13 6,8,10. Они образуют пифагоровы тройки, прямоугольные треугольники с такими сторонами, являются египетскими треугольниками.
Закрепление изученного материала ФОРМУЛЫ, НЕОБХОДИМЫЕ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ: c²=a²+b² a²=c²-b² b²=c²-a² с=√ a²+b² a=√ c²-b² b=√ c²-b²
10 2. 5 12 13 13 3. 1. 3 S=½∙a∙b; a=3; c=5; b=√c²-a² =√25-9= √16 =4 S=½∙a∙b=½∙3∙4=6кв. ед. S= a∙b; a=12; c=13; b=√c²-a² =√169- 144=√25= 5 S=5∙12=60кв. ед. S=½∙a∙h; a=10; a/2=5; c=13; h=√c²-(a/2)²=√169-25=√144=12 S=½∙10∙12=60кв. ед. МОГУ РЕШИТЬ .
По данным рисунка найти неизвестную сторону четырехугольника. Ответ: Х=√3 Ответ: Х=1,5
Задача №1 Дано: ∆АВС- прямоугольный, ∆АСD- прямоугольный АВ=2√3, ВС=2, 23 слайд
Решение: 1.∆АВС- прямоугольный, зная что против угла в 30º лежит катет равный половине гипотенузы, то ВС=½АС, АС=4. 2.∆АСD- прямоугольный и равносторонний, то по теореме Пифагора: AD²=AC²+CD², АD²=16+16, АD²=32, АD=4√2, Ответ:АD=4√2.
Задача №2.Высота, опущенная из вершины В Δ АВС, делит сторону АС на отрезки, равные 16 см и 9 см. Найдите сторону ВС, если сторона АВ равна 20 см. Д а н о: Δ АВС, BD – высота, АВ = 20 см, AD = 16 см, DC = 9 см. Н а й т и: ВС.
Р е ш е н и е 1) По условию задачи BD – высота, значит, Δ ABD и Δ CBD – прямоугольные. 2) По теореме Пифагора для Δ ABD: АВ² = AD² + BD², отсюда BD² = AB² – AD², BD² = 20² – 16², BD² = 400 – 256, BD² = 144, BD = 12. 3) По теореме Пифагора для Δ СBD: ВС² = ВD²+ DС², отсюда BC² = 12² + 9², BC² = 144 + 81, BC² = 225, BC = 15. О т в е т: сторона BC равна 15 см.
Задача №3. Найти площадь треугольника, стороны которого равны 15 см, 20 см и 25 см. Решение: 1. Изданных чисел можно составить равенство 15²+20²=25², то 225+400=625. Это равенство верно , то есть выполняется обратная теорема Пифагора, следовательно данный треугольник является прямоугольным. 2. Для нахождения площади прямоугольного треугольника воспользуемся формулой: S=½а۰в, то S=½۰15۰20=150 см². Ответ: 150 см².
Изречения Пифагора, актуальные и в наши дни: Не поднимай пыли на жизненном пути. Делай лишь то, что впоследствии не огорчит тебя и не принудит раскаиваться. Не делай никогда того, чего не знаешь, но научись всему, что следует знать, и тогда ты будешь вести спокойную жизнь. Не закрывай глаза, когда хочется спать, не разобравши всех своих поступков в прошлый день.
№ 483(а); 484(а, г). ДОМАШНЕЕ ЗАДАНИЕ: найти другие способы доказательства теоремы Пифагора.
Курс повышения квалификации
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
- Сейчас обучается 801 человек из 76 регионов
Курс повышения квалификации
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
- Сейчас обучается 284 человека из 69 регионов
Курс профессиональной переподготовки
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
- Сейчас обучается 605 человек из 75 регионов
Ищем педагогов в команду «Инфоурок»
Тема урока: Теорема Пифагора
Обобщить и систематизировать знания учащихся по теме,
показать исторические истоки теоремы, учить учащихся применять полученные знания к решению прикладных задач, учить воспринимать материал в целостной системе различных предметов,
воспитывать познавательный интерес к изучению геометрии.
1. Организационный момент.
2.Проверка домашнего задания.
3. Устное решение задач. (слайд 1)
4. Актуализация опорных знаний учащихся.
Особое место в геометрии, особую роль играет прямоугольный треугольник, соотношение между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике. На протяжении нескольких уроков мы изучали с вами этот материал и сегодня наша цель обобщить полученные знания. К вопросу обобщения мы подойдём многосторонне: как историки, лирики, теоретики и как практики.
5. Объяснение нового материала.
Номер материала: 462216
Международная дистанционная олимпиада Осень 2021
Не нашли то что искали?
Оставьте свой комментарий
Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.
Безлимитный доступ к занятиям с онлайн-репетиторами
Выгоднее, чем оплачивать каждое занятие отдельно
Рособрнадзор откажется от ОС Windows при проведении ЕГЭ до конца 2024 года
Время чтения: 1 минута
В Осетии студенты проведут уроки вместо учителей старше 60 лет
Время чтения: 1 минута
Минпросвещения разрабатывает образовательный минимум для подготовки педагогов
Время чтения: 2 минуты
Попова предложила изменить школьную программу по биологии
Время чтения: 1 минута
В Северной Осетии организовали бесплатные онлайн-курсы по подготовке к ЕГЭ
Время чтения: 1 минута
Минпросвещения будет стремиться к унификации школьных учебников в России
Время чтения: 1 минута
Подарочные сертификаты
Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.
Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.
Источник
