Способы доказать тождество 7 класс

Доказательства тождеств

Доказательство тождеств. В математике существует множество понятий. Одно из них тождество.

• Тождеством называют равенство, которое выполняется при всех значениях переменных, которые в него входят.

Некоторые тождества мы уже знаем. Например, все формулы сокращенного умножения являются тождествами.

Доказать тождество – это значит установить, что для любого допустимого значение переменные его левая часть равна правой части.

В алгебре существует несколько различных способов доказательства тождеств.

Способы доказательства тождеств

• Выполнить равносильные преобразования левой части тождества. Если в итоге получим правую часть, тогда тождество считается доказанным.
• Выполнить равносильные преобразования правой части тождества. Если в итоге получим левую часть, тогда тождество считается доказанным.
• Выполнить равносильные преобразования левой и правой части тождества. Если в результате получим одинаковый результат, тогда тождество считается доказанным.
• Из правой части тождества вычитаем левую часть. Производим над разностью равносильные преобразования. И если в итоге получаем нуль, то тождество считается доказанным.
• Из левой части тождества вычитают правую часть. Производим над разностью равносильные преобразования. И если в итоге получаем нуль, то тождество считается доказанным.

Следует так же помнить, что тождество справедливо лишь для допустимых значений переменных.

Как видите способов достаточно много. Какой способ выбрать в данном конкретном случае, зависит от тождества, которое вам необходимо доказать. По мере того, как вы будете доказывать различные тождества, придет и опыт в выборе способа доказательства.

Рассмотрим несколько простых примеров

Пример 1.

Докажите тождество x*(a+b) + a*(b-x) = b*(a+x).

Решение.

Так как в правой части небольшое выражение, попытаемся преобразовать левую часть равенства.

Приведем подобные слагаемые и вынесем общий множитель за скобку.

Получили что левая часть после преобразований, стала такой же как и правая часть. Следовательно, данное равенство является тождеством.

Пример 2.

Докажите тождество a^2 + 7*a + 10 = (a+5)*(a+2).

Решение.

В данном примере можно поступить следующим способом. Раскроем скобки в правой части равенства.

Видим, что после преобразований, правая часть равенства стала такой же как и левая часть равенства. Следовательно, данное равенство является тождеством.

Источник

Доказательство тождеств
методическая разработка по алгебре (7 класс) по теме

Открытый урок в рамках системно-деятельностного подхода. Тип урока: изучение нового материала

Скачать:

Вложение	Размер
конспект открытого урока	55.5 КБ
раздаточный материал к открытому уроку	37.5 КБ
презентация к открытому уроку	140.5 КБ

Предварительный просмотр:

Учитель: Афонасова Ирина Олеговна

Тип урока: изучение нового материала

Тема: Доказательство тождеств

1. Повторить определения тождества и тождественно равных выражений, тождественного преобразования выражений.
2. Формирование навыка выбора способа доказательства тождеств методом тождественного преобразования выражений.
3. Воспитывать коммуникативную культуру учащихся.

1 . Организационный этап урока

Перед началом урока учащиеся класса разбиваются на шесть учебных групп смешанного состава.

Учитель : Здравствуйте, ребята, я предлагаю учебный кабинет превратить на время в научно-исследовательскую лабораторию , а нам с вами в ученых-магистров математических наук .

Но каждый, уважающий себя ученый, постоянно решает какую-нибудь очень важную проблему, вот и нам, прежде всего, предстоит узнать: над какой проблемой мы будем сегодня работать?

2. Определение темы урока

Для этого рассмотрим выражения 2х+у и 2ху. Найдём значения выражений при х=1 и у=2.

Учител ь предлагает выйти к доске учащемуся и решить данную задачу, а также сформулировать вывод : при х=1 и у=2 выражения принимают равные значения (4).

Учитель: Однако можно указать такие значения переменных х и у, при которых значения этих выражений не равны. Например, х=3, у=4.

Ученик , стоящий у доски, проверяет это.

Учитель: Рассмотрим теперь выражения 3(х+у) и 3х+3у. Найдём значения выражений при х=5 и у=4.

Ученик, стоящий у доски: решает задачу, формулирует вывод.

Учитель: При любых ли значениях переменных значения данных выражений равны? Если да, то почему?

Ученик отвечает. (Ответ: Да, по распределительному свойству умножения).

Учитель предлагает классу вспомнить название таких выражений, название их равенства.

После этого Слайд 1 .

Следом за тем учитель спрашивает: «Какова тема сегодняшнего урока».

Учитель : Работать сегодня мы будем над «Доказательством тождеств».

Записывается тема урока: «Доказательство тождеств» ( Слайд2 )

Учитель : Хорошо, а сейчас проверим себя. На экране будут появляться равенства, если это равенство будет являться тождеством, то я предлагаю вам поднять руку. ( Слайд 3 )

1. — (а – в) = — а + в (да)
2. а (в + с) = ав – ас (нет)
3. а – (в + с) = а – в + с (нет)
4. (а + в) – с = а – с + в (да)
5. — (а + в) = — а – в (да)

3. Определение цели урока

Учитель : Хорошо, а сейчас пришла пора из теоретиков нам превращаться в ученых- практиков, но для этого нам нужно узнать, что нужно использовать, чтобы доказать тождество , и здесь нам не обойтись без научной литературы, ответ на этот вопрос мы найдем на странице 18 вашего учебника. Учащиеся находят в учебнике ответ: «Чтобы доказать, что некоторое равенство является тождеством, используют тождественные преобразования выражений» . Согласие или несогласие участники остальных групп показывают специальными сигналами, о которых говорилось выше. ( Слайд 4 )

Учитель : Молодцы, но теперь возникает следующий вопрос, а что такое тождественное преобразование выражений ?

«Замену одного выражения другим, тождественно равным ему, называют тождественным преобразованием выражения» (учитель предлагает ответить на этот вопрос одного из участников любой группы) ( Слайд 5 )

Учитель : Итак, какова цель урока? Учащиеся называют одну из поставленных целей: научиться доказывать тождества, используя тождественные преобразования выражений.

4. Выявление способа доказательства тождеств методом тождественного преобразования выражений

Учитель: Вот сейчас мы уже «созрели» для практической работы, и я попрошу вас обратить свое внимание на карточку . Задание: «Докажите тождество», каждая группа ученых получила пример, который она должна решить самостоятельно, если будут возникать затруднения на помощь придут карточки- консультанты.

Источник

Тождество. Тождественные преобразования. Примеры.

Тождества в основном применяются для решения линейных уравнений.

Тождеством называется равенство, которое верно при всех значениях переменных.

Или другими словами, тождество — это равенство, которое выполняется на всём множестве значений переменных, входящих в него, например:

В этих выражениях при всех значениях a и b равенство верное.

2 выражения с равными значениями при всех значениях переменных являются тождественно равными.

Равенство x+2=5 может существовать не при всех значениях x, а лишь при x=3. Это равенство не будет тождеством, это будет уравнением. Кроме того, тождеством будет равенство, которое не содержит переменные, например 25 2 =625.

Тождественное равенство обозначают символом «≡» (тройное равенство).

Примеры тождеств.

— Тождество Эйлера (кватернионы);

— Тождество Эйлера (теория чисел);

— Тождество четырёх квадратов;

— Тождество восьми квадратов;

Тождественные преобразования.

Тождественное преобразование выражения (преобразование выражения) – это подмена одних выражений другими, тождественно равными друг другу.

Для тождественных преобразований используют формулы сокращенного умножения, законы арифметики и другие тождества.

Выполним тождественные преобразования с такой дробью: .

Полученное тождество, при х ≠ 0 и х ≠ 1 (недопустимые значения), т.к. знаменатель левой части не может быть равен нулю.

Доказательство тождеств.

Для того, чтоб доказать тождество нужно сделать тождественные преобразования обеих или одной части равенства, и получить слева и справа одинаковые алгебраические выражения.

Например, доказать тождество:

Вынесем х за скобки:

Это равенство есть тождество, при х≠0 и х≠1.

Чтоб доказать, что равенство не является тождеством, нужно найти 1-но значение переменной (которое допустимо) у которой числовые выражения (которые были получены) станут не равными друг другу.

5−1 ≠ 5+1 — подставим, к примеру, 5.

Это равенство не тождество.

Разница между тождеством и уравнением.

Тождество верно при всех значениях переменных, а уравнение – это равенство, которое верно только при одном либо нескольких значениях переменной.

Это выражение верно лишь при х = 10.

Тождеством будет равенство, которое не содержит переменных.

Источник

Алгебра. 7 класс

Конспект урока

Тождественное равенство рациональных выражений

Перечень рассматриваемых вопросов:

• Тождественное равенство рациональных выражений.

Тождество – это верное числовое равенство, а также равенство, которое будет верным при всех допустимых значениях переменных, которые входят в его состав.

Равенство двух рациональных выражений называется тождеством или тождественным равенством, если оно обращается в верное числовое равенство для всех числовых значений букв, для которых оба эти выражения определены.

1. Никольский С. М. Алгебра: 7 класс. // Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 287 с.

1. Чулков П. В. Алгебра: тематические тесты 7 класс. // Чулков П. В. – М.: Просвещение, 2014 – 95 с.

2. Потапов М. К. Алгебра: дидактические материалы 7 класс. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 96 с.

3. Потапов М. К. Рабочая тетрадь по алгебре 7 класс: к учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра: 7 класс». 1, 2 ч. // Потапов М. К., Шевкин А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 160 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Более того, для каждого из этих значений с (кроме с = 2 и с = 1), числовые значения правой и левой частей в равенстве (1) равны между собой. Давайте проверим это.

Действительно 22 = 22.

Левая часть равенства – дробь, а правая, равная ей дробь, полученная умножением её числителя и знаменателя на одно и то же, не равное нулю, число.

Равенство двух рациональных выражений называется тождеством или тождественным равенством, если оно обращается в верное числовое равенство для всех числовых значений букв, для которых оба эти выражения определены.

Следовательно, правая часть равенства равна левой, при любых значениях букв, при которых определены обе части равенства, что и требовалось доказать.

Для любых значений букв, при которых определены обе части равенства (кроме a = 0 и b = 0), имеем:

Следовательно, правая часть равенства равна левой при любых значениях букв, при которых определены обе части равенства, что и требовалось доказать.

Тождество – это верное числовое равенство, а также равенство, которое будет верным при всех допустимых значениях переменных, которые входят в его состав.

Разбор решения заданий тренировочного модуля.

Источник

Конспект урока на тему «Тождества» (7 класс)

Тема: « Тождественные преобразования. Тождественное равенство целых выражений. »

Тип урока: ознакомление с новым материалом

Цель урока: ввести понятие тождественного равенства целых выражений; научить доказывать тождества.

Предметные: ознакомить и первично закрепить понятия «тождественно равные выражения», «тождество», «тождественные преобразования»; рассмотреть способы доказательства тождеств, способствовать выработке навыков доказательства тождеств .

Личностные: формировать ответственное отношение к обучению, готовность к саморазвитию и самообразованию на основе мотивации к обучению и познанию; формировать навык самостоятельной работы, анализа своей работы и объективной оценки своего труда.

Метапредметные: способствовать развитию наблюдательности, умения анализировать, сравнивать, делать выводы; развивать навыки самоконтроля при выполнении заданий на применение правила вынесения за скобки общего множителя.

Предметные: доказывают тождества, используя преобразования многочленов .

Личностные: дают позитивную самооценку образовательной деятельности, понимают причины успеха в образовательной деятельности, проявляют познавательный интерес к изучению предмета, к способам решения новых учебных задач.

Регулятивные – формируют целевые установки учебной деятельности, выстраивают последовательность необходимых операций (алгоритм действий).

Познавательные – учатся устанавливать аналогии .

Коммуникативные – умеют оформлять свои мысли в устной и письменной речи с учетом речевых ситуаций.

Оборудование: мультимедийный проектор, компьютер, интерактивная доска, карточки

Методы обучения: фронтальный опрос, практическая тренировка, беседа, частично поисковый.

Источник