Как доказать, что треугольник прямоугольный
Здравствуйте! Я к Вам снова с просьбой в помощи доказательства. В данном случае — я не могу понять как доказать, что треугольник прямоугольный. Даже дана задачка на эту тему. В треугольнике FCH проведена медиана HE , HE=FE=EC.Доказать что треугольник прямоугольный.
Здравствуйте.
Давайте сначала вспомним, какой треугольник называется прямоугольным. Так вот прямоугольным называется тот треугольник, угол которого равен 
.
Чтоб понять, как доказать, что треугольник прямоугольный, надо знать, каким свойствами он обладает. Ведь одного знания про угол бывает недостаточно. так как про это не всегда скажется в условии.
Так вот, прямоугольный треугольник обладает такими свойствами:
- Сумма квадратов катетов прямоугольного треугольника равна квадрату его гипотенузы
- Медиана прямоугольного треугольника равна половины гипотенузы
- сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90 градусов
- Сумма всех углов в треугольнике равна 180 градусов
- прямой угол всегда равен 90 градусов
- катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30 градусов, равен половине гипотенузы
- Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30 градусам
Давайте разберёмся с Вашей задачкой. Так как нам не сказано, какой это треугольник, то попробуем это доказать. Единственное, что мы знаем, так это то, что его медиана равна половине стороны. Теперь вспоминаем свойство прямоугольного треугольника, в котором проведена медиана. И мы знаем, что именно в прямоугольном треугольнике, медиана проведённая к гипотенузе равна половине гипотенузы. Так вот, это свойство у нас с вами выполняется и выходит, что сторона 
— гипотенуза, которую медиана 
делить пополам.
Так что, вот мы с Вами и доказали, что наш треугольник прямоугольный.
Источник
Прямоугольный треугольник: Признаки Равенства и Подобия
Определение
Прямоугольный треугольник — это треугольник, в котором один из углов прямой.
Гипотенуза в прямоугольном треугольнике — это сторона напротив прямого угла.
Катет в прямоугольном треугольнике — это две стороны прилежащие к прямому углу.
Свойства прямоугольного треугольника
В прямоугольном треугольнике:
- Сумма острых углов 90˚.
- Катет, противолежащий углу в 30˚, равен половине гипотенузы.
- Медиана, проведенная к гипотенузе, равна ее половине.
- Центр описанной окружности — середина гипотенузы.
Формулы:
- Площадь прямоугольного треугольника равна
половине произведения катетов: - Радиус описанной окружности около прямоугольного
треугольника равен половине гипотенузы: - Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник
выражается следующим образом: - Квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:
Признаки равенства прямоугольных треугольников
С помощью признаков равенства прямоугольных треугольников
можно доказать что прямоугольные треугольники равны.
- По двум катетам:
Если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно
равны двум катетам другого прямоугольного треугольника,
то такие треугольники равны. - По катету и гипотенузе:
Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника соответственно
равны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника,
то такие треугольники равны. - По гипотенузе и острому углу:
Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно
равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника,
то такие треугольникиравны. - По катету и острому углу:
Если катет и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно
равны катету и острому углу другого прямоугольного треугольника,
то такие треугольники равны.
Признаки прямоугольного треугольника
С помощью признаков прямоугольного треугольника можно
доказать, что треугольник прямоугольный.
- По теореме Пифагора:
Если квадрат стороны равен сумме квадратов двух других сторон,
то треугольник прямоугольный. - По центру описанной окружности:
Если центр описанной окружности лежит на стороне треугольника,
то треугольник прямоугольный. - По медиане:
Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена,
то треугольник прямоугольный. - По площади:
Если площадь треугольника равна половине произведения двух его сторон,
то треугольник прямоугольный. - По радиусу описанной окружности:
Если радиус описанной окружности равен половине,
то треугольник прямоугольный.
Признаки подобия прямоугольных треугольников
С помощью признаков подобия прямоугольных треугольников можно
доказать, что прямоугольные треугольники подобны.
Источник
Геометрия. 7 класс
Конспект урока
Перечень рассматриваемых вопросов:
- Виды треугольников.
- Прямоугольный треугольник.
- Свойства прямоугольного треугольника.
- Признаки равенства прямоугольных треугольников.
Остроугольный треугольник – треугольник, у которого все углы острые.
Тупоугольный треугольник – треугольник, у которого два угла острые, а третий – тупой.
Прямоугольный треугольник – треугольник, у которого один угол – прямой, т.е. равный 90°. Сторона прямоугольного треугольника, лежащая напротив прямого угла, называется гипотенузой, а две другие стороны – катетами.
Внешним углом треугольника называется угол, смежный любому углу треугольника. Его градусная мера равна сумме двух углов треугольника, не смежных с ним.
- Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.
- Атанасян Л. С. Геометрия: Методические рекомендации 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А. и др. – М.: Просвещение, 2019. – 95 с.
- Зив Б. Г. Геометрия: Дидактические материалы 7 класс. // Зив Б. Г., Мейлер В. М. – М.: Просвещение, 2019. – 127 с.
- Мищенко Т. М. Дидактические материалы и методические рекомендации для учителя по геометрии 7 класс. // Мищенко Т. М., – М.: Просвещение, 2019. – 160 с.
- Атанасян Л. С. Геометрия: Рабочая тетрадь 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А., Юдина И. И. – М.: Просвещение, 2019. – 158 с.
- Иченская М. А. Геометрия: Самостоятельные и контрольные работы 7–9классы. // Иченская М. А. – М.: Просвещение, 2019. – 144 с.
Теоретический материал для самостоятельного изучения.
Давайте рассмотрим виды треугольников. Существуют следующие виды:
- Остроугольный треугольник – треугольник, у которого все углы острые.
- Тупоугольный треугольник – треугольник, у которого два угла острые, а третий – тупой.
- Прямоугольный треугольник – треугольник, у которого два угла острые, а один – прямой, т.е. равный 90°. Сторона прямоугольного треугольника, лежащая напротив прямого угла, называется гипотенузой, а две другие стороны – катетами.
Обратите внимание, на рисунке изображён треугольник АВС с прямым углом С, в прямоугольном треугольнике гипотенуза всегда является самой большой стороной.
Рассмотрим свойства прямоугольного треугольника:
- Сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
Сумма всех углов треугольника равна 180°, прямой угол равен 90 0 , следовательно, сумма двух острых углов прямоугольного треугольника равна 90°.
- Катет прямоугольного треугольника, лежащий напротив угла 30 0 , равен половине гипотенузы.
Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС, в котором ∠А – прямой, ∠В = 30° и, значит, ∠С = 60°.
Докажем, что FC = ½ BC
Достроим к треугольнику АВС равный ему треугольник ABD так, как у нас показано на рисунке. Получим треугольник ВСD, в котором ∠В = ∠D = 60°, поэтому DC = BC (по признаку равнобедренного треугольника). Но АС = ½ DC. Следовательно, АС = ½BC, что и требовалось доказать.
- Если катет прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы, то угол, лежащий против этого катета, равен 30°.
Рассмотрим прямоугольный треугольник АВС, у которого катет АС равен половине гипотенузы ВС. Докажем, что ∠АВС = 30°.
Достроим к треугольнику АВС равный ему треугольник ABD так, как у нас показано на рисунке. Получим равносторонний треугольник BCD. Углы равностороннего треугольника равны друг другу (т.к. сумма углов треугольника равна 180°, а в равностороннем треугольнике все углы равны, следовательно, 180° : 3= 60° – каждый угол равностороннего треугольника). В частности, ∠DВС = 60°. Но ∠DВС= 2∠АВС. Следовательно, ∠АВС = 30°, что и требовалось доказать.
Признаки равенства прямоугольных треугольников.
Так как в прямоугольном треугольнике угол между двумя катетами прямой, а любые два прямых угла равны, то из первого признака равенства треугольников следует:
если катеты одного прямоугольного треугольника соответственно равны катетам другого, то такие треугольники равны.
Далее из второго признака равенства треугольников следует:
если катет и прилежащий к нему острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и прилежащему к нему другого, то такие треугольники равны.
Рассмотрим ещё два признака равенства прямоугольных треугольников.
Теорема. Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого, то такие треугольники равны.
Дано: ∆АВС и ∆НМХ, ∠С = ∠Х = 90°, АВ = НМ, ∠А = ∠Н.
Доказать: ∆АВС и ∆НМХ
Доказательство. Из первого свойства прямоугольных треугольников мы можем сделать вывод, что в таких треугольниках два других острых угла также равны, поэтому треугольники равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам). Теорема доказана.
Разбор заданий тренировочного модуля.
№ 1.Найдите острые углы прямоугольного равнобедренного треугольника.
Объяснение. Мы знаем, что сумма двух острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°, а в равнобедренном треугольнике углы при основании равны, следовательно, можно вычислить градусную меру острого угла прямоугольного равнобедренного треугольника: 90° : 2= 45°.
Ответ: острый угол прямоугольного равнобедренного треугольника равен 45°.
№ 2.Опираясь на рисунок, укажите, по какому признаку равны треугольники.
- по катету и прилежащему к нему острому углу;
- по гипотенузе и прилежащему к ней острому углу;
- по катету и прямому углу;
- двум катетам.
Объяснение. На рисунке указано равенство катетов МС и ВС, углы МСН и ВСА вертикальны, значит, они равны. Следовательно, треугольники АВС и НСМ равны по катету и прилежащему к нему острому углу, подходит ответ 1.
Ответ: 1. по катету и прилежащему к нему острому углу.
Источник
