Способы быстрого вычитания чисел

Способы быстрых вычислений

Способы быстрого сложения и вычитания (для быстрого сложения и вычитания используется «прием округления», который применяется, если хотя бы один из компонентов является числом, близким к круглым десяткам, сотням, тысячам и т.д.)

1. Если одно из слагаемых увеличить на несколько единиц, то из полученной суммы надо вычесть столько же единиц.

Примеры: 274 + 97 = 274 + (97 + 3) — 3 = 274 + 100 – 3 = 374 – 3 = 371; 1996 + 759 = (1996 + 4) – 4 + 759 = 2000 + 759 – 4 = 2759 – 4 = 2755.

2. Если одно из слагаемых увеличить на несколько единиц, а второе уменьшить на столько же единиц, то сумма не изменится. На основании этого выполняется округление одного слагаемого за счет другого.

Пример: 998 + 1526 = 1000 + 1524 = 2524.

3. Если вычитаемое, увеличить на несколько единиц, то, чтобы разность не изменилась, надо и уменьшаемое увеличить на столько же единиц.

Пример: 5431 – 3996 = 5435 – 4000 = 1435.

4. Если уменьшаемое уменьшить на несколько единиц, то к полученной разности надо прибавить столько же единиц.

Пример: 10013 – 9775 = 10000 — 9775 + 13 = 225 + 13 = 238.

Способы быстрого умножения и деления

1. Умножение на 9, 99, 999 и т.д.

Чтобы умножить любое число на число, написанное девятками, надо к первому множителю приписать справа столько нулей, сколько девяток во втором множителе, и из результата вычесть первый множитель.

Примеры: 167 · 9 = 1670 – 167 = 1503; 26 · 99 = 2600 – 26 = 2574.

2. Умножение на число, близкое к единице какого-нибудь разряда.

Примеры: 615 · 98 = 615 · (100 – 2) = 615 · 100 – 615 · 2 = 61500 – 1210 = 60290; 5015 · 1002 = 5015 · (1000 + 2) = 5015 · 1000 + 5015 · 2 = 5015000 + 10030 = 5025030.

3. Умножение двузначного числа на 11.

Чтобы умножить двузначное число, сумма цифр которого меньше 10, на 11, надо между цифрами числа написать сумму его цифр

Пример: 63 · 11 = 693.

Чтобы умножить на 11 двузначное число, сумма цифр которого больше или равна 10, надо между цифрой десятков, увеличенной на 1, и цифрой единиц написать разность между суммой цифр числа и числом 10.

Пример: 86 · 11 = 946.

4. Умножение на 5, 25, 125.

Чтобы умножить число на 5, 25, 125, достаточно разделить его соответственно на 2, 4, 8 и умножить на 10, 100, 1000.

Примеры: 1246 · 5 = 6230, так как 1246 : 2 = 623; 6428 · 25 = 160700, так как 6428 : 4 = 1607; 8032 · 125 = 1004000, так как 8032 : 8 = 1004.

5. Деление на 5, 25, 125.

Чтобы разделить число на 5, 25, 125, достаточно умножить его соответственно на 2, 4, 8 и разделить на 10, 100, 1000.

Примеры: 315 : 5 = 63, так как 315 · 2 = 630; 2025 : 25 = 81, так как 2025 · 4 = 8100; 10125 : 125 = 81, так как 10125 · 8 = 81000.

6. Возведение в квадрат чисел, в записи которых есть цифра 5.

Чтобы возвести в квадрат число, оканчивающееся цифрой 5, надо число его десятков умножить на число, увеличенное на единицу, и справа дописать 25.

Пример: Вычислить 35 2 . Решение (выполняется устно). 3 · 4 = 12, дописав справа 25, получаем результат: 35 2 = 1225.

Чтобы возвести в квадрат двузначное число, имеющее 5 десятков, надо к числу 25 прибавить число единиц и к результату дописать справа квадрат числа единиц так, чтобы получилось четырехзначное число.

Источник

Приемы быстрых вычислений

«Лучше усваиваются те знания,

которые поглощаются с аппетитом»

Анатоль Франс, французский писатель

Приемы быстрых вычислений

В самом обыкновенном устном счете, как и во многом другом, можно видеть много интересного, необычного и чудесного.

Математика – это инструмент для изучения других наук и различных сфер жизни, это не просто «сухие» цифры, формулы, а как сказал Аристотель: «Математика… выявляет порядок, симметрию, определенность, а это – важнейшие виды прекрасного».

Вряд ли кто-нибудь будет оспаривать необходимость вычислительной культуры современного человека.

Не потеряли своей актуальности слова М.В. Ломоносова о том, что арифметику за тем уже изучать стоит, что она ум в порядок приводит.

С приходом в нашу жизнь и школу калькуляторов, современные школьники перестали использовать устные формы вычислений. Между тем устный счет в их развитии нельзя заменить никакими калькуляторами.

Необходимо находить время на уроках для знакомства с приемами устного счета, тогда школьники не будут пользоваться калькуляторами.

В предлагаемой статье рассмотрены некоторые приемы быстрых вычислений, которые могут пригодиться не только на уроках математики, но и в повседневной жизни.

Способы быстрого сложения чисел

Способы быстрого сложения чисел:

порядковое сложение чисел 15+39+26=(10+30+20)+(5=9+6)=60+20=80.

Прибавление к одному числу отдельных, разрядов другого числа, всегда начиная с высших:

Сложение с использованием свойств действий с числами

При выполнении быстрого сложения чисел самым простым, на мой взгляд, является прибавление к одному числу отдельных разрядов другого числа, всегда начиная с высших

Способы быстрого вычитания чисел

Способы быстрого вычитания:

Вычитание с использованием свойств действий с числами

Ученики чаще принимают метод с использованием свойств действий с числами.

Способы быстрого вычитания чисел

Вычитание путем уравнивания числа единиц последних разрядов уменьшаемого

Вычитание путем округления уменьшаемого или вычитаемого, или одновременно обоих.

Если уменьшаемое или вычитаемое близки, то их заменяют разностью или суммой между круглым числом и дополнением:

Удобно выполнять вычитание путем округления уменьшаемого или вычитаемого, или одновременно обоих:

Способы быстрого умножения чисел

Чтобы умножить число на однозначный множитель, умножают сначала десятки, затем единицы и оба результата складывают:

Умножение на двухзначное число.

Если оба множителя двухзначные числа, то разбиваем один из них на десятки и единицы. Разбивать надо множитель, у которого десятки и единицы выражены меньшими числами:

Индийская тайна быстрого умножения

Необходимо умножить два числа близкие к 100: 98х96

Найдем дополнения каждого множителя за 100 – соответственно 2 и 4.

Вычтем из 1-го множителя дополнения второго:

98-4=94 (или наоборот)

Это первые цифры произведения

Перемножим дополнения 2х4=8 (08) – это последние цифры произведения : 98х96=9408.

Умножение на 2 слева направо

При умножении на 2 запоминаем единицу, если цифра больше четырех, поэтому правило следующее: умножаем очередную цифру на 2 и произведение увеличиваем на единицу, когда последующая цифра больше 4, и записываем только цифру единицу результата, если это не первая цифра множителя; для первой цифры записываем полностью значение результата.

4286х2=8572, потому что 4х2=8 и пишем 8, так как последующая цифра не больше 4.

Далее: 2х2=4, следующая цифра больше 4, последнее произведение увеличиваем на единицу, и записываем 5.

Затем 8х2=16, но с учетом значения последней цифры, пишем 2: 5619х2=11238.

Действительно, 5х2=10, но следующая цифра больше 4, поэтому

Далее, 6х2=12, пишем только 2, так как последующая цифра меньше 4.

Далее, 1х2=2, но последующая цифра больше 4, поэтому пишем 3.

И наконец, 9х2=18, пишем 8.

Чтобы ускорить нахождение произведения, можно первый множитель разбить на грани, но несколько цифр в каждой последовательности умножаем числа каждой грани, записываем для первой грани полностью результат с учетом значения первой цифры следующей грани, для остальных граней записываем значение полученного результата, отбрасывая первую цифру, если число цифр результата больше числа цифр грани:

Разбиваем первый множитель на грани:

Далее, 32х2=64, но с учетом первой цифры следующей грани записываем 65. Затем 96х2=192 (количество цифр произведения 3, а грань состоит из двух цифр), первая цифра следующей грани не больше 4, поэтому записываем 92, затем записываем 90=45х2.

Способы быстрого умножения чисел.

Умножение на 4 и на 8

Чтобы число умножить на 4; 8, его последовательно удваивают:

Так как 5= 10/2, поэтому, чтобы умножить число на 5, нужно умножить его на 10 и разделить на 2, то есть к числу приписывают нуль и делят десять пополам:

Умножение на 0,5

Так как 0,5=1/2, поэтому чтобы умножить число на 0,5, его нужно разделить пополам:

Умножение на 1,5 и 15

Чтобы умножить число на 1,5, нужно к исходному числу прибавить его половину:

Чтобы число умножить на 15, нужно исходное число умножить на 10 и прибавить половину полученного произведения:

Часто в повседневной жизни нам приходится умножать число на 1,5 или на 15.

Это легко сделать так: 48х1,5=48+24=72;

Умножение на 15

Можно использовать соотношение 15=30/2, получаем, что ах15=ах30/2.

Предварительно представляем а, если оно нечетное, в виде суммы или разности нечетного числа и единицы:

Умножение на 11

Прием умножения на 11 поражает своей красотой.

36х11, для этого достаточно подписать 36 по 36, но сдвинув его на одну цифру вперед, вот так ₃₆

А затем выполнить сложение в столбик.

Эту операцию можно проводить с любыми цифрами, будь то трехзначное или четырехзначное число.

Умножить на 11 можно и другим способом. Достаточно «раздвинуть» числа, умножаемого на 11, и в образовавшийся промежуток вписать сумму этих цифр, причем, если эта сумма больше 9, как при обычном сложении, следует единицу перенести в старший разряд.

На 11 умножить можно и так: приписать к умножаемому числу 0, а затем прибавить его:

Умножение на 25, 50, 75, 125

Принимая во внимание, что

Соответствующим образом преобразовываем второй множитель:

Приемы сокращенного умножения

На 5: 46х5=46/2х10=230;

На 25: 83х25=80/4х100+3х25=2075;

На 125: 48х125=48/8х1000=6000;

На 155: ах155=100а+50а+5а

Умножение двух чисел, «близких» к 100

Когда каждый из множителей меньше 100, тогда:

(100-а)(100- b )=100х100-100а-100 b +а b =(100-а- b )х100+ ab .

(100+а)(100+ b )=100(100+ a + b )+а b

Подсчитаем число сотен произведения 100-(а+ b )=100-11=89

Возведение в квадрат чисел,

цифра единиц которых равна пять

а5ха5=(10а+5)(10а+5)=100а 2 +2х10х5а+25=100(а 2 +а)+25=100ха(а+1)+25==(а(а+1))25.

Получаем правило: для умножения числа, которое заканчивается цифрой пять на само себя, необходимо число десятков умножить на последующее число и к полученному произведению приписать произведение цифр единиц, то есть 25.

Аналогичным образом находится произведение двух чисел, которых количество десятков одинаковое, а сумма цифр единиц равна десяти.

35х35=1225, так как 3х4=12;

125х125=15625, так как 12х13=156;

42х48=2016, так как 4х5=20 и 2х8=16.при возведении в квадрат любых чисел можно воспользоваться свойством:

а 2 =а 2 — b 2 + b 2 =(а- b )(а+ b )+ b 2

Обычно в качестве b выбираем такое число, чтобы а+ b и a — b было круглым числом.

76 2 =(76+4)(76-4)+4 2 =80х72+4 2 =5760+16=5760 ( b=4) ;

76 2 =(76+6)(76-6)+6 2 =82х70+36=5740+36=5776 ( b =6).

34 2 =(34+6)(34-6)+6 2 =40х28+36=1156;

987 2 =(987+13)(987-13)+13 2 =1000х974+169=974169.

Способы быстрого деления чисел.

Если делитель является составным числом, то разлагаем его на два или большее число множителей, а потом выполняем последовательное деление:

Нахождение частного, когда делитель равен 15, осуществляется по схеме:

Устный счет – это практическое явление, необходимое для развития вычислительных навыков и как следствие устной сдачи экзаменов.

Устное вычисление прекрасно стимулируют развитие памяти у детей и взрослых, увеличивают скорость мышления и улучшают сообразительность, тренируют внимание.

Школьники, развивающие навыки устного счета, очень быстро обгоняют по интеллекту своих одноклассников, полагающихся на калькуляторы.

Гибкость ума является предметом гордости людей, а способности производить быстрые вычисления в уме вызывают удивление.

Источник