Округление при сложении
Сумма не изменится если к одному из слагаемых прибавить несколько единиц, а из другого слагаемого столько же единиц отнять.
Рассмотрим пример вычисления суммы чисел 29 + 18. Увеличив слагаемое 29 на 1 единицу, то есть округлив его до 30, получим выражение:
Но так как от увеличения одного из слагаемых на несколько единиц общая сумма меняется на столько же единиц, то для вычисления суммы чисел 29 и 18, надо из 18 вычесть 1 единицу:
Теперь у нас получилось выражение:
Все эти действия можно произвести в одном выражении или выполнить устно:
29 + 18 = (29 + 1) + (18 — 1) = 30 + 17 = 47
29 + 18 = (30 + 18) — 1 = 48 — 1 = 47.
Это же выражение можно решить иначе: округлить второе слагаемое, а из первого вычесть нужное количество единиц — результат от этого не изменится:
29 + 18 = (29 — 2) + (18 + 2) = 27 + 20 = 47
29 + 18 = (29 + 20) — 2 = 49 — 2 = 47.
Округление слагаемых
Приём округления при сложении чаще всего применяется при устных вычислениях, для упрощения нахождения суммы двух и более чисел.
Пример 1. Вычислить сумму 48 + 27.
Решение: Искомую сумму можно быстро найти, если первое слагаемое округлить до 50 (увеличив его на 2 единицы), а из второго слагаемого отнять 2 единицы — результат от этого не изменится:
(48 + 2) + (27 — 2) = 50 + 25 = 75
(50 + 27) — 2 = 77 — 2 = 75.
Пример 2. Найти значение выражения 36 + 17 + 28.
Решение: Округлим первые два слагаемых, а из третьего слагаемого вычтем столько единиц, сколько добавилось к первым двум:
36 + 17 + 28 = (40 + 20) + (28 — 7) = 60 + 21 = 81.
В этом выражении можно округлить и каждое слагаемое суммы. Чтобы дополнить 36 до 40, нужно добавить 4 единицы, чтобы дополнить 17 до 20, нужно добавить 3 единицы, а чтобы дополнить 28 до 30, нужно 2 единицы.
Чтобы сумма не изменилась, нужно из полученного результата 40 + 20 + 30 = 90 вычесть добавленные единицы. Их будет 4 + 3 + 2 = 9 единиц. В результате получим: 90 — 9 = 81.
36 + 17 + 28 = 40 + 20 + 30 — (4 + 3 + 2) = 90 — 9 = 81.
Источник
Научно-исследовательский проект «Приемы устных вычислений»
 (41.6 Kb) | 12.10.2018, 09:49 | ||||
| Автор: Карчашкина Валентина, ученица 6 класса МКОУ «Новоперуновская СОШ» с. Новоперуново | |||||
| Сергеева Елена Леонидовна | |||||
| —> учитель математики —>МКОУ «Новоперуновская СОШ» | |||||
| Вложение | Размер |
|---|---|
| priemy_bystrogo_scheta_manukyan.docx | 39.2 КБ |
| manukyan_hitrye_priemy.pptx | 2.04 МБ |
Предварительный просмотр:
Государственное бюджетное общеобразовательное учреждение «Гимназия 1636 НИКА г. Москвы»
«Хитрые приемы быстрого счёта»
Выполнила : Манукян Милена
Обучающаяся 5 В класса
2.1. Приемы быстрого сложения и вычитания……………………………5
2.2. Приемы быстрого умножения………………………………………….7
2.3. Приемы быстрого деления………………………………………………9
Введение
В наш век, век новых технологий и развития компьютерной техники, разговор о быстром счете может показаться неуместным, однако и по сей день гибкость ума является предметом гордости людей, а способность, производить быстрые вычисления вызывает откровенное удивление.
Тема моей исследовательской работы – «Хитрые приемы быстрого счета». Я выбрала ее, так как считаю, что умение быстро считать повысит не только интерес к урокам математики, но и пригодится в жизни.
В данной работе я рассмотрела некоторые способы быстрых вычислений, которые могут пригодиться на уроках математики в школе и не только. «Каждому ученику необходимы приемы быстрого счета, их знание значительно облегчит учебу. Быстрота счета возникнет в результате длительных упражнений» — уверена наша учительница математики. Поэтому, каждый урок начинается с устного счета.
Работа состоит из :
- Теоретической части, которая включает в себя основные приемы быстрого устного счета
- Практической части, которая демонстрирует эксперимент по изучению приемов устного счета
- Заключения
- Источников.
Найти методы быстрого счета и показать результативность их использования для повышения вычислительных навыков обучающихся 5 классов.
- Изучение хитрых приемов быстрого счета;
- Подбор материалов для тренинга;
- Проведение диагностики, изучение результатов исследования;
- Сделать выводы по использованию данных видов устных упражнений.
Объект исследования: учащиеся 5 «в» класса;
Предмет исследования: приемы быстрого счета.
Гипотеза исследования: может ли человек быстро выполнять вычисления без калькулятора?
4) Сравнительный анализ.
Навыки быстрого счета помогут человеку в учебе, в быту, в профессиональной деятельности. Кроме того, быстрый счет — настоящая гимнастика для ума, приучающая в самых сложных жизненных ситуациях находить в кратчайшее время хорошие и нестандартные решения.
Практическая значимость. Умение быстро считать в уме является неоспоримым преимуществом и достоинством того, кто таковым умением обладает. Человек, легко оперирующий цифрами, никогда не окажется обманутым при расчетах. Но самое главное, способности к вычислениям постоянно будут поддерживать в хорошей форме и развивать его умственные способности, что особенно важно в период обучения. Я считаю, что необходимо знать технику быстрых вычислений и уметь применять их в практической деятельности. В данной работе я описываю краткую историю искусства счета; разбираю нестандартные приемы вычислений. Приёмы быстрого счета развивают память. Это касается не только математики, но и других предметов, которые изучаются в школе. Приемы устного счета нужно повторять систематически. Нижеперечисленные способы быстрого устного счета рассчитаны на ум «обычного» человека и не требуют уникальных способностей. Главное — более или менее продолжительная тренировка. Производя математические вычисления в уме, человек пользуется теми же правилами, что и при письменных вычислениях. Несколько простых правил, а главное – постоянная тренировка в устном счете, помогут научиться хорошо, считать. Бывают люди, которые быстро множат и делят в уме четырех и пятизначные числа. Достичь такого искусства трудно, надо помнить много правил, очень долго и утомительно тренироваться. Наша задача – научиться работать с двузначными, а иногда и – с трехзначными числами. Этого для экономии времени достаточно.
Наши далекие предки постоянно сталкивались с необходимостью делить и обменивать вещи, продукты, делать запасы. Так человек постепенно учился считать. Для счета использовали пальцы рук, ног, камешки и другие предметы. Позже появились изображения чисел. Одним из первых способов «записи» чисел, сохранившемся и поныне, были зарубки на палке. В Древнем Вавилоне записывали числа, выдавливая значки палочкой на глиняной дощечке. Сейчас мы пользуемся арабскими цифрами, нам это привычно. Люди научились складывать и вычитать, умножать и делить, причем способы вычислений не всегда были удобны и понятны. В древней литературе упоминаются такие способы умножения, как «загибанием», «ладьей», «решеткой», «задом наперед», «ромбом», «треугольником» и многие другие.
Разработкой приемов быстрого счета занимались многие ученые: Яков Исидорович Перельман, Георгий Берман, Я. Трахтенберг и другие.
2.1 Приемы быстрого сложения и вычитания
Способы быстрого сложения чисел
Поразрядное сложение чисел
К разрядам первого слагаемого прибавляют разряды второго слагаемого, начиная с высших (сотни, десятки и т.д.):
Прибавление к одному числу отдельных разрядов другого числа, всегда начиная с высших
К разрядам первого слагаемого прибавляют разряды другого слагаемого:
Сложение путем округления
Если слагаемые близки к круглым числам, то их заменяют разностью или суммой между круглым числом и дополнением:
Сложение с использованием свойств действий с числами
Слагаемые разбивают на такие группы, которые в сумме дают круглые числа:
Если одно слагаемое близко к круглому числу, то его заменяют разностью и дополнением между круглым числом:
Если оба слагаемых близки к круглому числу, то они заменяются разностью между круглым числом и дополнением:
Способы быстрого вычитания чисел
Если число единиц какого-либо разряда вычитаемого больше числа единиц того же разряда уменьшаемого, то последнее число единиц увеличивается на 10 путем заимствования одной единицы следующего высшего разряда уменьшаемого:
Вычитание с использованием свойств действий с числами
Вычитание путем уравнивания числа единиц последних разрядов уменьшаемого
Вычитание путем округления уменьшаемого или вычитаемого или одновременно обоих
Если уменьшаемое и/или вычитаемое близки к круглому числу, то их заменяют разностью или суммой между круглым числом и дополнением:
2.2 Приемы быстрого умножения
Способы быстрого умножения чисел
Умножение на 4, 8,16 и т.д.
Чтобы число умножить на 4, 8, 16 его последовательно удваивают:
Умножение на 5, 50, 0,5
Чтобы умножить число на 5, нужно умножить его на 10 и разделить на 2:
Чтобы умножить число на 50, нужно умножить его на 100 и полученное произведение разделить на 2:
Умножение на 25
Чтобы умножить число на 25, нужно умножить его на 100 и полученное произведение разделить на 4:
Умножение на 125
Чтобы умножить число на 125, нужно умножить его на 1000 и разделить на 8:
Умножение на 15
Чтобы умножить число на 15, нужно исходное число умножить на 10 и прибавить половину полученного произведения:
Умножение на 11
1 способ. Чтобы число умножить на 11 , к нему приписывают ноль и прибавляют исходное число:
2 способ . Следует “раздвинуть” цифры числа, умножаемого на 11, и в образовавшийся промежуток вписать сумму этих цифр, причем если эта сумма больше 9, то, как при обычном сложении, следует единицу перенести в старший разряд:
34*11=374, т.к. 3+4=7, семерку помещаем между тройкой и четверкой,
68*11=748, т.к. 6+8=14, четверку помещаем между семеркой (шестерка плюс перенесенная единица) и восьмеркой.
Умножение двузначного числа на 101 и на 10101
Самое простое правило: «припишите ваше число к самому себе». При умножении на число 101, 1001, 10101, число надо повторить дважды/трижды:
Умножение на 9, 99 и 999
К первому множителю приписать столько нулей, сколько девяток во втором множителе, и из результата вычесть первый множитель:
Применение распределительного закона умножения относительно сложения и вычитания ко множителям, один из которых представлен в виде суммы или разности
2.3 Приемы быстрого деления.
Если делитель является составным числом, то разлагаем его на два или большее число множителей, а потом выполняем последовательное деление:
Деление на 5, 50 и 500
Чтобы число разделить на 5; 50 или 500, надо это число разделить на 10;100; 1000 соответственно, и затем результат умножить на 2:
Чтобы число разделить на 25, надо это число разделить на 100 и умножить на 4:
Чтобы число разделить на 125, надо это число умножить на 8 и разделить на 1000
3. Практическая часть
Практическая часть включает в себя изучение динамики развития вычислительных навыков у обучающихся 5 В класса.
Была выдвинута следующая гипотеза: с помощью приемов быстрого счета можно улучшить вычислительные навыки.
Объекты исследования: учащиеся 5В класса.
1. Изучить известные способы быстрого устного счета;
2. Подобрать материал для проведения тренинга;
3. Провести диагностику;
4. Сделать анализ проведенных исследований.
Для диагностики был составлен ряд однотипных упражнений, на сложение, вычитание, деление и умножение, которые нужно было выполнить.
Диагностика проводилась в несколько этапов:
∙ Проверка имеющихся навыков счета;
∙ Изучение способов сложения и вычитания;
∙ Ознакомление с новыми приемами умножения;
∙ Изучение способов деления.
Обработка результатов показала: На 1 этапе решили: письменно решено –5 заданий, время-5мин 20сек.,
После изучения способов облегченных вычислений, на втором этапе решено 7 заданий, время-5мин 10сек.
После непродолжительной тренировки (неделя), в третьем контрольном замере : решено полностью все задания, время-4мин , От замера к замеру количество нерешенных заданий уменьшается, а решенных увеличивается, растет и число заданий, выполненных устно. На примере группы учеников 5«В» класса, уверенно прослеживается динамика развития вычислительных навыков приемов устного быстрого счета.
Значит, принимаем гипотезу о том, что приемы быстрого счета существуют и с их помощью можно улучшить вычислительные навыки. Многие не представляют свою жизнь без калькулятора. Очень зря, ученые доказали, что люди, регулярно считающие в уме, застрахованы от старческого маразма и раннего слабоумия. Так что вывод следует такой — практикуйтесь чаще. Способность считать быстро в уме надо развивать, независимо от его математических способностей, хотя бы, для того чтобы не стать жертвой обмана на рынке или в магазине.
Источник
