Способы арифметического решения задач

Текстовые задачи и их решение арифметическим способом

Решить задачу арифметическим способом — это значит найти ответ на требование задачи посредством выполнения арифметических действий над данными в задаче числами.

Текстовые задачи — это

• задачи на движение;
• задачи на применение действий сложения и вычитания натуральных чисел;
• задачи, приводящие к делению, умножению натуральных чисел;
• задачи на отработку отношений «на какое-то число больше», «на какое-то число меньше», «в какое-то число раз больше», «в какое-то число раз меньше», «всего»;
• задачи на части;
• задачи на совместную работу;
• задачи на предполагаемое и фактически выполненное;
• задачи с использованием рисунков, диаграмм.

Выполняя решение задачи, нужно провести анализ текста задачи и последовательно ответить на вопросы:

1. какие величины надо знать, чтобы ответить на вопрос задачи?
2. Какая из величин известна, а какая нет?
3. Что нужно знать, чтобы найти эту величину?
4. Как это узнать, исходя из условия задачи?

Задача #1. Два велосипедиста выехали одновременно навстречу друг другу с одинаковой скоростью. Через какое время они встретятся, если расстояние между ними — 72 км, а скорость — 12 км/ч?»

Решение:

1. Cкорость сближения велосипедистов: 12 + 12 = 24 км/ч.
2. Время через которое велосипедисты встретятся: 72 : 24 = 3 ч.

Ответ: велосипедисты встретятся через 3 часа.

Задача #2. В первый день продали 25 кг яблок, во второй — 40 кг, а в третий день продали 55 кг яблок. Сколько всего яблок продали за три дня?

Решение:

25 + 40 + 55 = 120 кг.

Ответ: всего яблок продали за три дня 120 кг.

Задача #3. В одном куске — 150 м проволоки, а в другом — на 35 м меньше. Сколько метров проволоки в двух кусках вместе?

Решение:

1. во втором куске проволки: 150 − 35 = 115 м.
2. Проволоки в двух кусках вместе: 150 + 115 = 265 м.
Ответ: проволоки в двух кусках вместе — 265 м.

Задача #4. В фермерском хозяйстве 2 га заняты усадьбой и постройками, под посевами — 379 га, под сенокосом — 319 га, под лесом — 40 га и под выгоном — 120 га. Сколько всего земли в пользовании у фермера?

Решение

2 + 379 + 319 + 40 + 120 = 860 га.
Ответ: в пользовании у фермера всего 860 га земли.

Задача #5. Часы спешат на 12 мин. и 34 с. и показывают 8 ч. 23 мин. 13 с. Запиши правильное время.

Для определения правильного времени нужно отнять время, на которое спешат часы, от показываемого на часах времени.

Получим:
8 ч. 23мин. 13с. − 12мин. 34с. = 8ч. 22мин. 73с. − 12мин. 34с. = 8ч. 10мин. 39с.

Ответ: правильное время: 8 ч. 10 мин. 39 с.

1. скорость моторной лодки по течению реки: 48 : 2 = 24 км/ч.

2. скорость течения реки, или скорость плота: 48 : 24 = 2 км/ч.

3. Собственная скорость лодки: 24 − 2 = 22 км/ч.

4. Скорость моторной лодки при движении против течения реки: 22 − 2 = 20 км/ч.

Ответ: скорость моторной лодки при движении против течения реки равна 20 км/ч.

Задача #7. В магазине имеется два бочонка сельди одного сорта. Стоимость сельди в одном бочонке равна 1820 р., а во втором — 2345 р., причём во втором бочонке сельди на 15 кг больше, чем в первом. Определи массу сельди в каждом бочонке.

1. стоимость сельди во втором бочонке больше по сравнению с первым на: 2345 − 1820 = 525 руб.

2. Один килограмм сельди стоит: 525 : 15 = 35 руб.

3. Масса сельди в первом бочонке: 1820 : 35 = 52 кг.

4. Масса сельди во втором бочонке: 2345 : 35 = 67 кг.

Ответ: масса сельди в первом бочонке равна 52 кг, а масса сельди во втором бочонке равна 67 кг.

1. Какова прибыль магазина от продажи лыж за первую неделю?
2. Какова прибыль магазина от продажи лыж за вторую неделю?
3. Как изменилась прибыль магазина за вторую неделю по сравнению с первой неделей?

1. на какую сумму были проданы лыжи за первую неделю?
4722⋅18 = 84996 руб.

2. Какую сумму заплатили за это количество пар лыж при закупке товара?
3710⋅18 = 66780 руб.

3. Какова прибыль магазина за первую неделю от продажи лыж?
84996−66780 = 18216 руб.

4. Какова новая цена одной пары лыж?
4722−350 = 4372 руб.

5. Сколько пар лыж продали на второй неделе?
18+13 = 31 п.

6. На какую сумму было продано это количество пар лыж за вторую неделю?
4372⋅31 = 135532 руб.

7. Какую сумму заплатили за это количество пар лыж при закупке товара?
3710⋅31 = 115010 руб.

8. Какова прибыль магазина за вторую неделю от продажи лыж?
135532−115010 = 20522 руб.

9. Как изменилась прибыль магазина за вторую неделю по сравнению с первой неделей?
Она стала больше на 20522−18216 = 2306 руб.

Ответ:
1. Прибыль магазина за первую неделю — 18216 р.
2. Прибыль магазина за вторую неделю — 20522 р.
3. Прибыль магазина за вторую неделю по сравнению с первой неделей увеличилась.

Задача #9. Из пунктов A и B, расстояние между которыми 696 км, одновременно навстречу друг другу выехали автомобилист и мотоциклист. Скорость автомобиля равна 98 км/ч, а скорость мотоцикла равна 76 км/ч. Узнай, через какое время после начала движения автомобилист и мотоциклист могут встретиться?

2. Через какое время после начала движения автомобилист и мотоциклист могут встретиться?
696 км:174 км/ч=4 ч.

Правильный ответ: автомобилист и мотоциклист могут встретиться через 4 часа после начала движения.

Задача #10. Летом Наташа отдыхала на даче и помогала родителям ухаживать за участком. В подарок своей подруге она привезла в город варенье. Клубничного варенья было 750 г, вишнёвого — в 2 раза больше, а варенья из сливы — на 350 г больше, чем клубничного. Найди массу варенья, которое Наташа привезла в подарок.

2. Какова масса варенья из сливы?
750+350 = 1100 г.

3. Какова масса варенья, которое Наташа привезла в подарок?
750+1500+1100 = 3350 г.

Правильный ответ: масса варенья, которое Наташа привезла в подарок — 3350 г.

Задача #11. Двигаясь против течения реки, теплоход за 3 ч. прошёл расстояние в 69 км. Вычисли скорость течения реки, если собственная скорость теплохода — 28 км/ч.

1. какова скорость теплохода против течения реки?
69:3=23 км/ч.

2. Какова скорость течения реки?
28−23=5 км/ч.

Правильный ответ: скорость течения реки равна 5 км/ч.

Задача #12. Работая один, насос может откачать 1512 л воды за 72 ч., а работая вместе с другим насосом — за 18 ч.
За какое время может откачать это количество воды второй насос?

2. Сколько литров воды могут откачать два насоса, работая совместно, за один час?
1512:18=84 л.

3. Сколько литров воды может откачать второй насос, работая один, за один час?
84−21 = 63 л.

4. За какое время может откачать это количество воды второй насос?
1512:63=24 ч.

Правильный ответ: второй насос может откачать это количество воды за 24 ч.

Источник

Решение текстовых задач арифметическим способом

Разделы: Математика

Обучение решению текстовых задач играет важную роль в формировании математических знаний. Текстовые задачи дают большой простор для развития мышления учащихся. Обучение решению задач – это не только обучение технике получения правильных ответов в некоторых типичных ситуациях, сколько обучение творческому подходу к поиску решения, накопление опыта мыслительной деятельности и демонстрация учащимися возможностей математики в решении разнообразных задач. Однако при решении текстовых задач в 5-6 классах чаще всего используется уравнение. Но мышление пятиклассников еще не готово к формальным процедурам, выполняемым при решении уравнений. Арифметический способ решения задач имеют ряд преимуществ по сравнению с алгебраическим потому, что результат каждого шага по действиям нагляднее и конкретнее, не выходит за рамки опыта пятиклассников. Школьники лучше и быстрее решают задачи по действиям, чем с помощью уравнений. Детское мышление конкретно, и развивать его надо на конкретных предметах и величинах, затем постепенно переходить к оперированию абстрактными образами.

Работа над задачей предусматривает внимательное прочтение текста условия, вникания в смысл каждого слова. Приведу примеры задач, которые легко и просто можно решить арифметическим способом.

Задача 1. Для приготовления варенья на две части малины берут три части сахара. Сколько килограммов сахара нужно взять на 2 кг 600 г малины?

При решении задачи на “части” надо приучить наглядно представлять условие задачи, т.е. лучше опираться на рисунок.

1. 2600:2=1300 (г) — приходится на одну часть варенья;
2. 1300*3= 3900 (г) — сахара нужно взять.

Задача 2. На первой полке стояло в 3 раза больше книг, чем на второй. На двух полках вместе стояло 120 книг. Сколько книг стояло на каждой полке?

1) 1+3=4 (части) — приходится на все книги;

2) 120:4=30 (книг) — приходится на одну часть ( книги на второй полке);

3) 30*3=90 (книг)- стояло на первой полке.

Задача 3. В клетке сидят фазаны и кролики. Всего в ней 27 голов и 74 ноги. Узнать число фазанов и число кроликов в клетке.

Представим, что на крышку клетки, в которой сидят фазаны и кролики, мы положили морковку. Тогда все кролики встанут на задние лапки, чтобы дотянуться до нее. Тогда:

1. 27*2=54 (ноги) — будут стоять на полу;
2. 74-54=20 (ног) — будут наверху;
3. 20:2=10 (кроликов);
4. 27-10=17 (фазанов).

Задача 4. В нашем классе 30 учащихся. На экскурсию в музей ходили 23 человека, а в кино – 21, а 5 человек не ходили ни на экскурсию, ни в кино. Сколько человек ходили и на экскурсию, и в кино?

Для анализа условия и выбора плана решения можно использовать “круги Эйлера”.

1. 30-5=25 (человек) – ходили или в кино, или на экскурсию,
2. 25-23=2 (человек) – ходили только в кино;
3. 21-2=19 ( человек) – ходили и в кино, и на экскурсию.

Задача 5. Три утенка и четыре гусенка весят 2 кг 500 г, а четыре утенка и три гусенка весят 2кг 400г. Сколько весит один гусенок?

1. 2500+2400=2900 (г) – весят семь утят и семь гусят;
2. 4900:7=700 (г) – вес одного утенка и одного гусенка;
3. 700*3=2100 (г) – вес 3 утят и 3 гусят;
4. 2500-2100=400 (г) – вес гусенка.

Задача 6. Для детского сада купили 20 пирамид: больших и маленьких – по 7 и по 5 колец. У всех пирамид 128 колец. Сколько было больших пирамид?

Представим, что со всех больших пирамид мы сняли по два кольца. Тогда:

1) 20*5=100 (колец) – осталось;

2) 128-100-28 (колец) – мы сняли;

3) 28:2=14 (больших пирамид).

Задача 7. Арбуз массой 20кг содержал 99% воды. Когда он немного усох, содержание воды в нем уменьшилось до 98%. Определите массу арбуза.

Для удобства решение будет сопровождаться иллюстрацией прямоугольников.

99% вода	1% сухое вещество
98% вода	2% сухое вещество

При этом желательно рисовать прямоугольники “сухого вещества” равными, потому что масса “сухого вещества” в арбузе остается неизменной.

1) 20:100=0,2 (кг) – масса “сухого вещества”;

2) 0,2:2=0,1 (кг) – приходится на 1% усохшего арбуза;

3) 0,1*100=10 (кг) – масса арбуза.

Задача 8. Гости спросили: сколько лет исполнилось каждой из трех сестер? Вера ответила, что ей и Наде вместе 28 лет, Наде и Любе вместе 23 года, а всем троим 38 лет. Сколько лет каждой из сестер?

1. 38-28=10 (лет) – Любе;
2. 23-10=13 (лет) – Наде;
3. 28-13=15 (лет) – Вере.

Арифметический способ решения текстовых задач учит ребенка действовать осознанно, логически правильно, потому что при решении таким способом усиливается внимание к вопросу “почему” и имеется большой развивающий потенциал. Это способствует развитию учащихся, формированию у них интереса к решению задач и к самой науке математике.

Чтобы сделать обучение посильным, увлекательным и поучительным, надо очень внимательно отнестись к выбору текстовых задач, рассматривать различные способы их решения, выбирая оптимальные из них, развивать логическое мышление, что в дальнейшем необходимо при решении геометрических задач.

Научиться решать задачи школьники смогут, лишь решая их. “Если вы хотите научиться плавать, то смело входите в воду, а, если хотите научиться решать задачи, то решайте их”,- пишет Д.Пойа в книге “ Математическое открытие”.

Источник

Способы решения арифметических задач в 5–6-х классах

Разделы: Математика

Обучение математике на протяжении всех лет сопровождается решением задач. Каждый учитель математики знает, что с помощью решения арифметических задач формируются различные математические понятия, осмысливаются различные операции с числами. Задачи часто служат основой для выводов некоторых теоретических положений, содействуют обогащению и развитию правильной речи ученика, являются звеном, связующим теорию с практикой, сближают обучение с жизнью. Велика роль задач и в развитии логического мышления учащихся, в выработке умения устанавливать зависимость между величинами, делать правильные заключения.

Добиться этого можно лишь решая, большое количество задач на уроках математики в 5-6 классах. И основная задача учителя показать как можно больше разных способов решения одной задачи. Особенно это важно для преподавания в профильных классах. Тогда читая задачу, дети могут выбрать наиболее рациональный способ решения.

К сожалению, не все известные способы решения мы используем на уроках. Причиной тому отсутствие времени на качественную подготовку к уроку. Именно поэтому я решила поделиться с коллегами своими материалами.

Рассмотрим приемы решения арифметических задач

1. Задачи на нахождение двух чисел по их сумме и отношению.

Задача 1: Который теперь час, если оставшаяся часть суток в раза меньше прошедшей?

Основной прием решения — введение условной единицы. Оставшаяся часть суток — 1 часть. Прошедшая часть суток — части.

Пусть оставшаяся часть суток х частей, тогда прошедшая часть суток х. Составим уравнение:

Задача 2: Сумма двух чисел равна 51. Найти эти числа, если первого числа составляют второго.

Примем второе число за единицу. Тогда первого числа будут равны единицы. Первое число равно:

При помощи графической иллюстрации учащиеся устанавливают, что I число во столько раз больше II, во сколько раз больше .

Обозначим II число через х, тогда I число равно х.

В 6 классе решение сводится к пропорциональному делению. Исходя из равенства , записывается отношение:

2. Задачи на нахождение двух чисел по их сумме и разности.

Задача 1: Лодка шла по течению со скоростью км/ч, против течения — со скоростью 12 км/ч. Какова скорость лодки в стоячей воде и какова скорость течения?

Для решения этой задачи необходимо установить, что скорость лодки по течению равна сумме скорости лодки в стоячей воде и скорости течения, а скорость лодки против течения равна разности скорости лодки в стоячей воде и скорости течения.

Усвоению условия помогает следующая графическая иллюстрация условия задачи:

Изобразив сумму скоростей по течению и против течения на одном отрезке, учащиеся видят, что она равна удвоенной скорости в стоячей воде. Таким образом:

Обозначим скорость лодки в стоячей воде через х км/ч, а скорость течения через а км/ч. Тогда скорость лодки по течению равна (х+а) км/ч или км/ч, скорость лодки против течения равна (х-а) км/ч или 12 км/ч.

х + а = ; (1).

Сложим почленно (1) и (2) равенства, получим, что:

3. Задачи на движение в одном направлении.

Задача 1: По шоссе едут два велосипедиста в одну сторону. Расстояние между ними 9 км. Первый едет со скоростью 15 км/ч, второй догоняет его со скоростью 18 км/ч. Через сколько часов второй догонит первого?

1. 18 — 15 = 3 (км) — приближается второй велосипедист к первому за каждый час;
2. 9:3 = 3 (ч) — второй велосипедист догонит первого.

Если предположить, что через х часов второй велосипедист догонит первого, то:

Задача 2: Шофер выехал на автомобиле из города А в город В. Если он будет ехать со скоростью 35 км/ч, то опоздает на 2 ч, если же он поедет со скоростью 50 км/ч, то приедет на 1 ч раньше срока. За какое время нужно проехать этот путь, чтобы прибыть в город В вовремя?

Выполним рисунок к задаче:

1. 35 × 2 = 70 (км) — шофер не доедет до города В, если будет ехать со скоростью 35 км/ч;
2. на 50 км он будет дальше от города В, если будет ехать со скоростью 50 км/ч;
3. 70 + 50 = 120 (км) — проедет больше во второй раз, чем в первый;
4. 50 — 35 = 15 (км/ч) — скорость во второй раз больше, чем в первый;
5. 120 : 15 = 8 (ч) — нужно затратить на весь путь.

Обозначим через х часов необходимое время, тогда, двигаясь со скоростью 35 км/ч, шофер проедет расстояние от А до В за (х + а) часов, а со скоростью 50 км/ч — за (х — 1) час. Составим уравнение:

35х + 70 = 50х – 50;

4. Задачи, решаемые исключением одного из неизвестных способом его замены.

Задача 1: Путешественник проехал 696 км за часа, из которых он ехал поездом, а остальное время — пароходом. С какой скоростью он ехал поездом, с какой — пароходом, если пароход проходил в час на км меньше, чем поезд?

При решении определяется расстояние, которое проехал бы путешественник, если бы использовал только пароход, то есть скорость движения поезда заменяется скоростью парохода. Благодаря указанной замене длина всего пути уменьшается на расстояние, равное км, т.к.

— путь, который путешественник проехал бы за ч. пароходом. Можно найти скорость парохода:

Тогда скорость поезда равна:

Задача 2: На платформы погружено 196 сосновых и еловых бревен, общий вес которых 58,8 т. Сколько в отдельности погружено тех и других бревен, если одно сосновое бревно весило 0,28 т., а еловое — 0,35 т.?

Решение: Предположим, что на платформы погружены только сосновые бревна.

Тогда, чтобы получить вес всех бревен, надо 0,28 т. умножить на 196. Получим:

0,28 × 196 = 54,88 (т).

Предполагаемый вес всех бревен меньше веса, данного в условии задачи. Найдем разность этих весов. Получим:

58,8 — 54,88 = 3,92 (т).

Эта разность в весе получилась вследствие замены еловых бревен сосновыми. Найдем разность в весе одного соснового и одного елового бревна. Получим:

0,35 — 0,28 = 0,07 (т).

Так как, заменяя каждое еловое бревно сосновым, мы уменьшаем вес бревна на 0,07 т., а общий вес на 3,92 т., то число еловых бревен равно:

3,92 : 0,07 = 56 (бревен).

Число сосновых бревен равно:

196 — 56 = 140 (бревен).

5. Задачи на правило ложного положения.

Сущность метода «ложного положения» в том, что неизвестной величине дают произвольное значение, пользуясь которым вычисляют значение одной из данных величин, устанавливают ошибку. Так как в задачах, решаемых этим способом, данная величина, значение которой определяется через значение неизвестной, есть линейная функция неизвестной, то приращение этой величины пропорционально приращению неизвестной. Пользуясь этим, исправляют значение неизвестной.

Способ ложного положения — древний способ, применявшийся при решении задач, приводящихся к уравнениям первой степени, еще египтянами в древности. Этот способ рассматривался и в старинном русском учебнике Л.Ф. Магницкого под названием «Фальшивое правило».

Этот способ полезно знать, он дает возможность решить арифметически многие задачи.

Задача 1: Из города А в город В, расстояние до которого 48 км, отправились одновременно мальчик на лошади со скоростью 7 км/ч и почтальон на велосипеде со скоростью 13 км/ч. Через сколько часов остаток пути до города В для почтальона будет в 3 раза меньше, чем остаток пути до города В для мальчика?

Решение: Предположим, что через 1ч. (можно дать и другое значение) остаток пути до города В для почтальона будет в 3 раза меньше, чем для мальчика. Тогда, приняв остаток пути для почтальона за 1 часть, получим, что остаток пути для мальчика составляет 3 части; разность остатков пути равна 2 частям и равна разности скоростей:

Остаток пути для почтальона равен 3 км, а весь предполагаемый путь:

В действительности весь путь равен 48 км, то есть в 3 раза больше. Следовательно, искомое число часов должно быть в 3 раз больше, то есть через 3 часа остаток пути до города В для почтальона будет в 3 раза меньше, чем остаток пути для мальчика.

Решение этой задачи приводится к решению уравнения:

48 — 7х = 3(48 — 13х), откуда 48 = 16х.

Имеет место прямая пропорциональная зависимость длины пути от искомого времени.

6. Задачи, решаемые способом уравнивания данных.

Следует учитывать, что некоторые задачи могут быть решены несколькими способами, а поэтому их можно отнести к различным типам. Примером могут служить задачи на правило ложного положения, которые могут быть отнесены также к типу задач на пропорциональное деление.

Задача: Имеются 90-процентная и 70-процентная кислоты. Сколько надо взять той и другой кислоты, чтобы получить 1кг 82-процентной кислоты?

При решении можно провести следующие рассуждения.

При смешивании и 90-процентная и 70-процентная кислоты заменяются 82-процентной. При замене 90-процентной кислоты 82-процентной в таком же количестве теряет 8% этого количества чистой кислоты (90% — 82% = 8%). При замене же 70-прцентной кислоты таким же количеством 82-процентной кислоты приобретается 12% этого количества чистой кислоты (82% — 70% = 12%). Так как в результате при смешивании избыток должен был покрыть недостаток, то 8% количества 90-процентной кислоты (x₁) должны равняться 12% количества 70-процентной кислоты (x₂).

Источник