Методика введения понятия «функция»
Слово «функция» происходит от латинского глагола fungi – выполнять, выражать, осуществлять. Различают два направления определения понятия «функция»: 1) с использованием понятия величины; 2) не используя этого понятия. В первом направлении выделяют два подхода: 1) функция как переменная величина, числовое значение которой меняется в зависимости от числового значения другой величины; 2) функция – это закон по которому значение независимой переменной соответствует значению зависимой переменной. Во втором направлении выделяют три подхода: 1) определяется не функция а ситуация; 2) определяют функцию как закон; 3) с помощью соответствия. Третий подход как принцип (каждому элементу области отправления соответственно равно один элемент области прибытия) положен в основу современного школьного понятия функции.
В процессе формирования понятия «функция» можно выделить несколько уровней:
1. Пропедевтический – начальная школа. На этом уровне не даются ни какие определения, однако материл начального курса математики содержит много примеров на которых можно разъяснить зависимость значения одной величины от значения другой. например можно показать как зависит сумма от каждого слагаемого, разность от уменьшаемого и вычитаемого и т.д. При этом используют так называемый язык «с пустыми местами» например 3 + …; 7 – …; … * 2 и т.д.
2. Пропедевтический – он отличается от первого тем, что составляется таблица значений, наглядно представляющие зависимость. Например: в пятом классе в теме «Буквенные выражения» и в дальнейшем учащимся предлагаются такие значения: отцу — х лет, сыну – у лет, отец старше сына на 30 лет – заполните пустые места в таблице, на этом уровне не даются не какие определения.
3. Пропедевтический курс алгебры 7 кл. начинается с изучения темы «Выражения в переменными». Решая задачу, учащиеся получают выражения с переменной: задача: двигаясь со скоростью 60 км/ч автомобиль пройдет за 2 часа – 60*2 км, за 3 – 60*3 км, за t часов – 60*t км. Выражение 60*t позволяет находить путь пройденный автомобилем за разные промежутки времени t. Букву t называют переменной, 60*t называют выражением с переменной.
Введение понятия функция начинается с решения задачи. Задача: расстояние между станцией и турбазой 60 км, с турбазы на станцию отправляется велосипедист со скоростью 12 км/ч. На каком расстоянии от станции он будет находиться через х часов. За х часов он пройдет 12*х км; (60-12х) км – расстояние на котором будет находиться через х часов велосипедист от станции. Обозначим расстояние буквой у, тогда у=60-12х. Мы получили формулу, выражающую зависимость расстояния у от времени движения х, по формуле у=60-12х для каждого значения х можно найти соответствующее значение у. Значение у зависит от значения х, причем каждому значению х соответствует единственное значение у. Такие зависимости одной переменной от другой называют функциональными зависимостями (функциями). Дается определение:
Зависимость переменной у от переменной х называет функцией, если каждому значению х соответствует (каждое) единственное значение у (аргумент). Переменную у называют зависимой переменной, область определение функции – это все значения, которые принимает независимая переменная. Затем необходимо вспомнить с учащимися примеры функциональных зависимостей рассмотренных ранее. (зависимость периметра квадрата от его стороны; зависимость скорости; пропорциональные и обратно пропорциональные переменные). Что бы задать ф-ию нужно указать способ с помощь которого для каждого значения аргумента можно найти соответствующее значение ф-ии.
Опр: графиком ф-ии называют множество всех точек, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты – соответствующим значениям ф-ий. Даже учащиеся выясняют, что является графиком прямой пропорциональности у=kx, обратной пропорциональности y=k/x(7 кл.)
Источник
Статья Введение понятий функция и квадратичная функция в школьном курсе математики. Автор: Боровец Антон Аедреевич
Автор: Боровец Антон Аедреевич
В статье приведены примеры заданий, которые необходимо применять на практике при введении понятия функция. Рассмотрены методики введения общего понятия функции в школьном курсе математики.
Автор: Боровец Антон Аедреевич
Введение понятий функция и квадратичная функция в школьном курсе математики
Боровец Антон Андреевич
Педагогический институт Тихоокеанского государственного университета
Ключников Анатолий Егорович
Педагогический институт Тихоокеанского государственного университета
Рассмотрение обратной пропорциональности и квадратичной функции для школьного курса математики. В статье приведены примеры заданий, которые необходимо применять на практике при введении понятия функция. Рассмотрены методик и введения общего понятия функции в школьном курсе математики.
Ключевые слова: квадратичная функция, методика изучения в школе, обратная пропорциональность , введению понятия функции .
Introduction of the concepts of function and quadratic function in the school course of mathematics .
Borovets Anton Andreevich
Pedagogical Institute of Pacific national University
Kliuchnikov Anatoly Yegorovich
Pedagogical Institute of Pacific national University
Consideration of inverse proportionality and quadratic function for the school course of mathematics. The article provides examples of tasks that must be applied in practice when introducing the concept of a function. The methods of introducing the general concept of function in a school course of mathematics are considered.
Keywords:
quadratic function, methods of studying in school, inverse proportionality, the introduction of the concept of a function .
Сегодня в России образование переживает период адаптации перехода на ФГОС. Этот стандарт предъявляет повышенные требования к математиче ской и методической подготовке учителя математики. П еред педагогом стоит большой выбор новых школьных учебников по алгебре. Несмотря на большое количество учебного материала, методические рекомендации по изучению функциональной линии к большинству учебнико в не разработаны.
В школе учащиеся не просто знакомятся с понятием функция и ее графиками, а так же учатся применять полученные знания о функци ях к изучению разнообразных процессов и явлений.
Основное понятие и соответствующая терминология, которая используется в определении функции, в первую очередь должны быть понятны ученикам и не требовали предварительных громоздких рассмотрений на данном этапе изучения.
Та информация, которая содержится в определении, должна быть не только научной, но и отвечать возрастным особенностям учащихся. К примеру в учебнике Ю. Н. Макарычева 7-й класс эти возрастные особенности учащихся при трактовке понятия функции нарушались..
Учителю необходимо самому внимательно вчитаться в формулировку определения функции, а затем организовывать деятельность учащихся по усвоению опорных понятий, а затем и общего понятия функции. Важно обращать внимание на общий смысл математических терминов, происхождение и перевод с различных языков.
Остановимся на методике введения общего понятия функции по учебнику алгебры 7-го класса Ю. Н. Макарычева. В учебнике понятие «функция» трактуется как особого рода зависимость одной переменной от другой. Целесооб разно избирать метод беседы при введении понятия функции.
После подготовительной работы можно вводить термины «аргумент», «область определения функции», «значения аргумента и функции». Важно обратить внимание на то, что термин «функция» в учебнике употреб ляется как особого рода зависимость между двумя переменными, так и сама зависимая переменная. Для школьников должны быть привычными такие фразы как «площадь квадрата является функцией длины его стороны», «зависимость площади квадрата от длины его стороны я вляется функциональной» и т. п.
Необходимо дать учащимся представления о различных способах задания функции, а после сформулировать определение графика функции как множества всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты – соответствующим значениям функции. Учащиеся учатся находить значение функции по значению аргумента и решать обратную задачу, осуществлять переход от одного способа задания функции к другому.
На практике важно не допускать в речи учащихся такие ф разы: «функция y = 2x + 5», нужно говорит ь- «функция, заданная формулой y = 2x + 5». Учитель должен постоянно подчеркивать различие между этими понятиями. Стоит обращать внимание учащихся на то, что при задании функции формулой необходимо указывать область определения – множество значений независимой переменной. На этом этапе изучение темы будет строится по формированию умения читать и создавать графики реальных зависимостей и доказывать. В качестве примера можно обсудить вопрос о том, почему зависимость п ути от времени при равномерном движении ‒ функция.
Объяснить это можно следующим образом: зависимость пути от времени при равномерном движении является функцией в том смысле, что в один и тот же момент времени путь, пройденный телом, не может иметь двух з начений.
Подобный подход к раннему введению понятия функции принят и в учебниках алгебры 7-го класса Ш. А. Алимова и др.; К. С. Муравина и др. как одной из пары переменных функция x – y(x).
Буквенные выражения, с помощью которых задаются функции, не всег да имеют смысл, именно поэтому значение функции по К. С. Муравину включены слова «допустимое значение» для переменной x.
В других учебниках федерального списка формально-логическое определение функции дается в 8 или 9 классах. До 9 класса учащиеся уже поз накомились со множеством действительных чисел и поэтому с ними можно без опасений говорить об области определения функции, а так же строить графики в виде непрерывной линии.
В учебниках алгебры 9-го класса авторы подводят учащихся к появлению у них потреб ности в формальном определении функции, графика и свойств функции, обращаясь к истории развития математики. Здесь функция рассматривается на некотором числовом множестве, которое объявляется областью определения функции. А. Г. Мордкович в отличие от других авторов переменную –y- не называет функцией; из его определения следует, что функция обозначается y = f(x), где x ϵ X (X – область определения), акцент сделан на заданную, а не на естественную область определения функции (область допустимых значений выраж ения f(x)).
Учащиеся должны подчеркнуть, что функция не зависит от выбора обозначений для аргумента и способа описания правила для вычисления ее значений. В учебнике А. Г. Мордковича говорится, что в математике имеется достаточно много способов задания фу нкции. Кроме наиболее популярных (аналитический, графический, табличный) он знакомит учащихся со словесным (описательным) способом задания функции, когда правило соответствия описывается словами родного языка.
Говоря об изучении квадратичной функции, то это понятие расширяет представление учащихся о функции, ее свойствах и графике. Во время объяснения темы учитель на нескольких примерах может подвести учеников к пониманию таких понятий как прямая и обратная пропорциональная зависимость.
При изучении темы « Квадратичная функция» можно выделить следующие этапы изучения:
I этап – «Повторение известных функций из курса 7-8 классов, их свойств, нахождение значений функции по значению аргумента и наоборот».
II этап – «Определения: функции, область определения, область значений».
III этап — «Разложение квадратного трехчлена на множители».
IV этап – «Введение функций y = ax 2 , ее график и свойства, функции y = ax 2 + n и y = a ( x — m ) 2
V этап – «построение графика квадратичной функции y = ax 2 + bx + c »
К изучению этой темы учащиеся 9 класса приступают, уже накопив определенный опыт, владея достаточно большим запасом алгебраических функций, их свойств, умением построения графиков функций (линейная функция, гипербола, кубическая парабола, квадратичная парабола, заданная формулой у=х 2 ). Основная цель –научить р аспознавать функциональную зависимость, находить область определения, область значений, выявлять элементарные свойства функций, строить график функции у=ах 2 + bx + c , где «а» не равно 0 с помощью параллельного переноса, определять возрастание, убывание, промеж утки знакопостоянства, формулировать и доказывать теорему о разложении на множители квадратного трехчлена, имеющего корни, применять ее при построении квадратичной функции.
В изучение этой темы включены:
1. Основные понятия (Функция, область определения функции, область значений функции, возрастание и убывание функции) ;
2. Обзор функций известных из курса 7-8 классов;
3 . Квадратный трехчлен ;
4. Формула корней квадратного уравнения ;
5 . Разложение квадратного трехч лена на множители;
6 . Формула для нахождения вершины параболы, ее ось симметрии;
7 . Простейшие преобразования графиков функции параллельным переносом вдоль осей.
Весь курс по теме строится в систематическом порядке. Причем система эта определяется как при нятыми математическими трактовками функциональных понятий, так и развертыванием последующих определений и доказательством теорем. Степень сложности упражнений и их решения постепенно усиливается. Каждый параграф содержит примеры с подробным описанием свойс тв функций, которые являются либо опорой для введения теоретического материала, либо образцами применения теории. А также есть условные обозначения в каждой теме для запоминания и материал, который важно знать.
Учителю важно использовать при введении понят ия функции специальные упражнения, требующие выяснения является ли данная зависимость функцией. В качестве примера рассмотрим соотношение между переменными x и y в виде уравнения 3x – 5y = 7 является неявным заданием функции, т. к. оно не разрешено относит ельно y. Такие упражнения используют знания учащихся по различным школьным дисциплинам: физика, химия, история, биология, география.
Если рассматривать постепенное введение в программу свойств функций, подлежащих изучению на различных уровнях, то поначалу изучаются простейшие функции (линейная, обратная пропорциональность, квадратичная и пр.)- это материал 7-8 классов, следует отказаться от формального определения функции и ограничиться описанием, не требующим заучивания. Определение функции в школе необх одимо ввести тогда, когда ученики накопят достаточный опыт в оперировании этим понятием. В программе это предусмотрено в начале 9 класса.
Перечислим те свойства функций, которые в 9 классе изучаются в школьном курсе: область определения функций, область значений функции, монотонность, промежутки закопостоянства, нули функции, наибольшее, наименьшее значение. Значительное место занимает программа развития речи поэтому полезно употребление школьниками начиная с 7 класса, таких терминов, как функция, наибо льшее и наименьшее значение функции, без знания строгих математических определений этих понятий и только в курсе алгебры 9 класса, после накопления соответствующего опыта, ввести понятия с четким определением.
В результате освоения предметного содержания курса математики, у учащихся формируются общие учебные умения и способы познавательной деятельности. Обучающиеся развивают логическое и математическое мышление, получают представление о математических моделях; овладевают математическими рассуждениями; учат ся применять математические знания при решении различных задач и оценивать полученные результаты; овладевают умениями решения учебных задач; развивают математическую интуицию.
Главное условие при усвоении понятия функции учащимися это приведение собственн ых примеров зависимостей, которые являются и не являются функциями. Само понятие функции сложное и успешно овладеть им учащиеся смогут только в результате длительного накопления конкретных представлений и фактов в курсе алгебры основной, а затем и старшей школы.
Алгебра 7 класса, авторов Макарычев, Миндюк, Нешков, Суворова. Издательство: Просвещение. 2016 год
Мордкович, А. Г. Алгебра. 7 – 9 класс: методическое пособие для учителя / А. Г. Мордкович, М. Мнемозина, 2000. С. 8 – 35,
47 – 55, 69 – 74, 110 – 119. ISBN 5-87441-170-4.
Методика обучения математике: функциональная содержательно-методическая линия: учебно-методическое пособие / В. П. Покровский; Владимирский гос. ун-т им. А. Г. и Н. Г. Столетовых – Владимир: Изд-во ВлГУ, 201
Методика преподавания математики в средней школе: частные методики: учебное пособие для студентов физ.-мат. факультета педагогических институтов / Ю. М. Колягин [и др.] М. : Просвещение, 1977. С.111 – 145, 285 – 369.
Источник
