Способом вращения вокруг оси перпендикулярной плоскости проекций

Метод вращения вокруг оси

Одним из наиболее эффективных методов определения метрических характеристик плоских фигур является вращение вокруг оси, в качестве которой обычно используют линию уровня или проецирующую прямую.

Способ вращения вокруг проецирующей прямой

Перемещение точки при её вращении вокруг проецирующей прямой является частным случаем параллельного перемещения и подчиняется следующим правилам.

1. Траектория движения точки – дуга окружности с центром, расположенным на оси вращения. Радиус окружности равен расстоянию между точкой и осью вращения.
2. При вращении точки вокруг прямой, перпендикулярной фронтальной плоскости проекции, фронтальная проекция точки перемещается по дуге окружности, а горизонтальная – параллельно оси X.
3. При вращении точки вокруг прямой, перпендикулярной горизонтальной плоскости проекции, горизонтальная проекция точки перемещается по дуге окружности, а фронтальная – параллельно оси X.

Руководствуясь рассмотренными правилами, повернем отрезок CD в положение, параллельное фронтальной плоскости проекции. В качестве оси вращения i будем использовать горизонтально проецирующую прямую, проведенную через точку D.

При повороте отрезка положение точки D не изменится, поскольку она лежит на оси i. Точку C’ переместим по дуге окружности радиусом C’D’ в положение C’₁ так, чтобы выполнялось условие C’₁D’₁ || X. Для нахождения точки C»₁ из C» проведем прямую, параллельную оси X, до пересечения её с линией связи, восстановленной из т. C’₁.

На следующем рисунке показан способ перевода отрезка в горизонтально проецирующее положение. Построения выполнены в два этапа и описаны ниже.

Сначала вращением вокруг оси i₁ CD перемещают в положение C₁D₁, параллельное фронтальной плоскости проекции. После этого вращением вокруг оси i₂ отрезок переводится в искомое положение C₂D₂, где он перпендикулярен горизонтальной плоскости проекции.

Расположение осей вращения выбирают исходя из удобства дальнейших построений. В нашей задаче горизонтально проецирующая прямая i₁ проходит через точку D, а проекция i»₂ фронтально проецирующей прямой i₂ лежит на продолжении отрезка C»₁D»₁.

Способ вращения вокруг линии уровня

Действенным и наиболее рациональным приемом решения задач, в которых требуется определить натуральную величину угла, является способ вращения вокруг линии уровня.

Основные правила построения

1. Радиус вращения точки равен расстоянию между точкой и линией уровня, выполняющей роль оси. Натуральную величину радиуса определяют методом прямоугольного треугольника.
2. При вращении вокруг горизонтали h точка перемещается по окружности, которая проецируется на горизонтальную плоскость в отрезок прямой, перпендикулярный горизонтальной проекции горизонтали h’. На фронтальную плоскость окружность, по которой движется точка, проецируется в эллипс. Строить его нет необходимости.
3. При вращении вокруг фронтали f точка перемещается по окружности, которая проецируется на фронтальную плоскость в отрезок прямой, перпендикулярный фронтальной проекции фронтали f». Вместе с тем горизонтальная проекция линии перемещения представляет собой эллипс, строить который не обязательно.

Рассмотрим, как определить действительную величину угла между прямыми a и b, пересекающимися в точке A. Построения представлены на рисунке и выполнены согласно алгоритму, который описан ниже.

1. Проводим фронтальную проекцию h» горизонтали h. Она пересекает прямые a» и b» в точках 1» и 2». Определяем горизонтальные проекции 1′ и 2′ и через них проводим h’.
2. Находим центр вращения O. Его горизонтальная проекция O’ лежит на пересечении прямой h’ с перпендикуляром, проведенным из A’ к h’.
3. Определяем натуральную величину радиуса вращения R = O’A’₀. Для этого строим прямоугольный треугольник O’A’A’₀, катет которого A’A’₀ равен расстоянию от A» до h».
4. Проводим дугу окружности радиусом R до пересечения её с прямой O’A’ в точке A’₁. Соединяем A’₁ с точками 1′ и 2′. Искомый угол ϕ построен.

Источник

Способом вращения вокруг оси перпендикулярной плоскости проекций

Контрольные задания по теме: Рабочая тетрадь задача 50

Трудоемкость и точность графического решения задач часто зависит не только от сложности задач, но и от того, какое положение занимают геометрические фигуры по отношению к плоскостям проекций. Наиболее выгодными являются положения, параллельные плоскостям проекций или перпендикулярные им.

Переход от общего положения геометрической фигуры к частному можно осуществить двумя путями:

а) перемещением в пространстве проецируемой фигуры так, чтобы она заняла частное положение относительно плоскостей проекций, которые при этом не меняют своего положения;

б) выбором новой плоскости проекций, по отношению к которой фигура, не имеющая своего положения в пространстве, окажется в частном положении. Первый путь лежит в основе способа плоскопараллельного перемещения, а второй — в основе способа замены плоскостей проекций.

Существует несколько способов плоскопараллельного перемещения:

1. Способ параллельного перемещения. При этом плоскости, по которым двигаются точки фигуры, параллельны плоскости проекций. Траектория — произвольная плоская линия;

2. Способ вращения вокруг оси, перпендикулярной к плоскости проекций. Траектории перемещаемых точек — дуги окружностей, центры которых находятся на оси вращения;

3. Способ вращения вокруг оси параллельной плоскости проекций (вокруг линии уровня).

Это частный случай параллельного перемещения. За траекторию движения точки принимается не произвольная линия, а дуга окружности, центр которой находится на оси вращения, а радиус равен расстоянию между осью вращения и данной точкой.

При вращении точки вокруг оси перпендикулярной, П 2 , фронтальная проекция точки перемещается по окружности, а горизонтальная — по прямой, перпендикулярной оси вращения. Если же точка вращается вокруг оси, перпендикулярной П 1 , то в горизонтальной плоскости траекторией ее движения будет окружность, а во фронтальной – прямая, перпендикулярная оси вращения. На рисунке 32 показано построение новых проекций точек при помощи способа вращения. На рисунке 32 а – вращение вокруг фронтально-проецирующей оси, на рисунке 32 б – вокруг горизонтально-проецирующей оси.

Рисунок 32

Этим способом удобно находить натуральные величины отрезков и фигур, занимающих проецирующее положение.

На рисунке 33 показан пример определения натуральной величины треугольника АВС, плоскость которого перпендикулярна П 2 . За ось вращения необходимо взять фронтально-проецирующую прямую, проходящую через точку, принадлежащую этой плоскости. В данном случае выбрана точка А — вершина треугольника. Плоскость треугольника вращается во фронтальной плоскости вокруг оси до положения, параллельного горизонтальной плоскости. Во фронтальной плоскости точки С и В перемещаются по окружностям, радиус которых равен расстоянию от оси вращения до фронтальных проекций точек. В горизонтальной плоскости траектории движения точек – прямые, перпендикулярные оси. Полученная проекция треугольника А´В´С´, является его натуральной величиной.

Рисунок 33

Способ вращения наиболее часто применяется при определении натуральных величин сечений поверхностей плоскостями частного положения.

Сущность этого способа состоит в том, что положение фигуры в пространстве не меняется, а вводится новая система плоскостей проекций. Новая плоскость проекции выбирается перпендикулярно к одной из старых. При этом, проецируемая фигура по отношению к новой плоскости занимает частное положение, обеспечивая наиболее удобное решение задачи. Если замена одной плоскости не обеспечивает требуемый результат, то новую плоскость заменяют еще раз.

На рисунке 34 показано построение проекции точки А в новой системе плоскостей проекций при замене плоскости П 1 на П 4 . Плоскость П 4 перпендикулярна П 2 . Проекция точки А1 заменяется на А 4 . По линии связи откладывается расстояние от заменяемой проекции точки до новой оси.

Рисунок 34

На рисунке 35 дан пример определения натуральной величины отрезка общего положения. Новая плоскость П 4 выбирается параллельно одной из проекций отрезка. При этом проекция отрезка на эту плоскость будет являться его натуральной величиной.

Рисунок 35

В некоторых случаях требуется замена двух плоскостей проекции. Например, при определении расстояния от точки до прямой. При этом прямую необходимо спроецировать в точку. На рисунке 36 отрезок общего положения переведен в проецирующее положение по отношению к плоскости П₅.

Рисунок 36

1. Назовите, какие вы знаете способы преобразования чертежа. Для чего они применяются?

2. Какие задачи можно решать при помощи способа вращения вокруг проецирующей оси?

3. По каким линиям перемещаются проекции точки при вращении вокруг горизонтально проецирующей оси?

4. Можно ли определить натуральную величину фигуры общего положения способом вращения вокруг проецирующей оси?

5. В чем суть способа замены плоскостей проекций?

6. Как построить проекцию точки в новой системе плоскостей проекций? Этапы построения.

7. Сколько замен нужно осуществить, чтобы перевести отрезок общего положения в проецирующее положение?

8. Как нужно выбрать новую плоскость, для того, чтобы сделать плоскость общего положения проецирующей?

© ФГБОУ ВПО Красноярский государственный аграрный университет

Источник

Способ вращения

Вращение вокруг оси, перпендикулярной плоскости проекции, является частным случаем параллельного перемещения. Отличие от параллельного перемещения состоит лишь в том, что за траекторию перемещения точки берется не произвольная линия, а дуга окружности, центр которой находится на оси вращения, а радиус равен расстоянию между точкой и осью вращения.

Способ вращения вокруг оси, перпендикулярной плоскости проекции, применим для перемещения отрезка прямой общего положения в частное.

Перевод прямой общего положения k в положение перпендикулярное горизонтальной плоскости проекции H.

Здесь необходимо дважды применить способ вращения вокруг осей, перпендикулярных к плоскостям проекции. Первым вращением отрезок переводится в положение, параллельное плоскости проекции V, и лишь после этого вращением вокруг оси перпендикулярной плоскости проекции V, перемещают отрезок в положение, перпендикулярное плоскости H .

Перевод плоскости общего положения в частное фронтально проецирующее положение.

Прямую, принадлежащую плоскости произвольно расположенной в пространстве, используя способ вращения переводим в положение перпендикулярное плоскости V. Используем для этого горизонталь плоскости, заданную точками 1 и 2 на рисунке.

Используем способ вращения напоследок, для придания плоскости положения параллельного плоскости проекции H, то есть положения плоскости уровня. Используем для этого ось вращения i₁.

Источник

4.2.Способ вращения вокруг оси, перпендикулярной к плоскости проекций

При вращении вокруг некоторой, неподвижной прямой i (ось вращения) каждая точка вращаемой фигуры перемещается в плоскости, перпендикулярной к оси вращения (плоскость вращения). При этом точка перемещается по окружности, центр которой находится в точке пересечения оси с плоскостью вращения (ценmр вращения). Радиус окружности равняется расстоянию от вращаемой точки до центра (это радиус вращения). Если какая-либо точка данной системы находится на оси вращения i, то при вращении системы эта точка считается неподвижной. Ось вращения может быть, задана и выбрана. Если ось вращения выбирается, то ее выгодно располагать перпендикулярно к одной из плоскостей проекций, так как при этом упрощаются построения.

4.2.1.Вращение вокруг заданной оси

Пусть точка А вращается вокруг оси i, перпендикулярной к плоскости Н (рис.4.9). При вращении точка А описывает окружность радиуса R, плоскость которой находится в плоскости  и перпендикулярна к плоскости V, а, следовательно, параллельна плоскости Н Величина радиуса R выражается длиной перпендикуляра, проведенного из точки А на ось вращения. Окружность, описанная в пространстве точкой А, проецируется на плоскость Н без искажения, Так как плоскость а перпендикулярна к V, то проекции точек окружности на плоскость V расположатся на v» , т.е. на прямой, перпендикулярной к фронтальной проекции

оси вращения. Нарис.4.9 справа: окружность, описанная точкой А при вращении ее вокруг оси i, спроецирована без искажения на плоскость Н. Из центра О проведена окружность радиуса R=OA. На плоскость V эта окружность спроецировалась в виде отрезка прямой, равного 2R,

На рис,4.10 изображено вращение точки А вокруг оси i, перпендикулярной к плоскости V. Окружность, описанная точкой А, спроецирована без искажения на плоскость V. Из точки О проведена окружность радиуса R==OA». На плоскости Н эта окружность изображена отрезком прямой, равным 2R.

Из этого следует, что при вращении точки вокруг оси, перпендикулярной к какой-нибудь из плоскостей проекций, одна из проекций вращаемой точки перемещается по прямой, перпендикулярной к проекции оси вращения.

4.2.2.Вращение вокруг выбранной оси

В ряде случаев ось вращения может быть выбрана. При этом, если ось вращения выбрать проходящей через один из концов отрезка, то построение упрощается, так как точка,, через которую проходит ось, будет неподвижной и для поворота отрезка необходимо будет построить новое положение проекции только одной точки — другого конца отрезка.

На рис. 4.11 необходимо определить натуральную величину отрезка АВ и угол наклона его к плоскости Н. Ось вращения i выбрана перпендикулярно к плоскости Н и проходит через точку А. Поворачивая отрезок АВ вокруг оси i переводим его в положение,

параллельное плоскости V (т.е. АВ становится фронталью). Величина А В равна натуральной величине отрезка АВ, а угол А // В // В // равен углу наклона отрезка АВ к плоскости Н.

Аналогично определяется натуральная величина отрезка CD и угол наклона его к плоскости V (рис.89). Ось вращения i выбрана перпендикулярно к плоскости V и проходит через точку С. Поворачивая отрезок CD вокруг оси i переводим его в положение, параллельное плоскости Н (т.е. CD становится горизонталью). Величина С D равна натуральной величине отрезка CD и угол С / D равен углу наклона отрезка CD к плоскости V.

На рис 4.13 необходимо определить натуральный вид треугольника АВС и угол наклона его к плоскости Н. Т.к.. плоскость треугольника АВС является плоскостью общего положения, то данную задачу решаем по схеме:

1 Вращением вокруг оси i , перпендикулярной к плоскости Н и проходящей через точку С, переводим треугольник АВС из общего положения в положение фронтально — проецирующей плоскости.

2.Вращением вокруг оси i₁, перпендикулярной к плоскости V и проходящей через точку А, переводим треугольник АВС из положения фронтально- проецирующей плоскости в положение плоскости, параллельной плоскости Н.

Для того, чтобы треугольник АВС перевести в положение фронтально- проецирующей плоскости, в плоскости треугольника АВС проводим горизонталь плоскости СК, Ее фронтальная проекция С // К // параллельна оси X. Горизонтальная проекция С / К / равна натуральной величине отрезка СК. Ось вращения i выбираем перпендикулярно Н и проводим через точку С, Плоскость АВС становится в положение фронтально- проецирующей плоскости, если горизонталь данного треугольника (СК) займет положение, перпендикулярное к плоскости V и, следовательно, отрезок СК станет перпендикулярен к оси X, а фронтальная проекция С // К // проецируется в точку. Из центра i / С / радиусом, равным С / К / , проводим дугу и строим новую проекцию К .Т.к. при вращении любой точки вокруг оси, перпендикулярной к плоскости проекций, траектория перемещения точки расположена в плоскости, перпендикулярной к оси вращения, то проекция К // расположена на прямой К // К // , параллельной оси X.

Методом засечек находим В / и А / . Фронтальная проекция В» лежит на прямой В // В // и параллельной оси X,фронтальная проекция А / лежит на прямой А / А / , параллельной оси X. В результате данного вращения плоскость АВС стала фронтально проецирующей и угол (р равен углу наклона плоскости АВС к плоскости Н.

Ось вращения i₁выбираем перпендикулярно V и проводим через точку А . Вращаем точку К и точку С радиусом А К , точку В радиусом А В до тех пор, пока плоскость АВС не займет положение, параллельное плоскости Н и, следовательно, отрезок А₁ // К₁ // В₁ // параллелен оси ОХ. Т.к. траектории перемещения точек С ,В и К при этом на горизонтальную плоскость Н с проецировалась в прямые, параллельные

С / лежит на прямой С / С / ,

В / ₁ лежит на прямой В / В / ₁,

К / ₁лежит на прямой К / К / _1.

Проекция A / B / C / определяет натуральный вид треугольника АВС.

Источник