Развертка поверхности. Способы построения разверток
Цель лекции: изучение свойств развертки и способов построения разверток многогранников и поверхностей вращения
· Развертка поверхностей. Общие понятия.
· Способы построения разверток: методы триангуляции, нормального сечения и раскатки.
· Построение разверток гранных поверхностей и поверхностей вращения.
Развертка поверхностей. Общие понятия
| Развертка | плоская фигура, полученная при совмещении поверхности геометрического тела с плоскостью (без наложения граней или иных элементов поверхности друг на друга). Развертку можно рассматривать как гибкую, нерастяжимую пленку. Некоторые из представленных таким образом поверхностей можно путем изгибания совместить с плоскостью. При этом, если отсек поверхности может быть совмещен с плоскостью без разрывов и склеивания, то такую поверхность называют развертывающейся, а полученную плоскую фигуру – ее разверткой. |
| Основные свойства развертки | 1 Длины двух соответствующих линий поверхности и ее развертки равны между собой; 2 Угол между линиями на поверхности равен углу между соответствующими им линиями на развертке; 3 Прямой на поверхности соответствует также прямая на развертке; 4 Параллельным прямым на поверхности соответствуют также параллельные прямые на развертке; 5 Если линии, принадлежащей поверхности и соединяющей две точки поверхности, соответствует прямая на развертке, то эта линия является геодезической. |
Методы триангуляции, нормального сечения и раскатки
Построение разверток гранных поверхностей и поверхностей вращения
| Существует три способа построения развертки многогранных поверхностей: | ||
| 1-й способ | 2-й способ | 3-й способ |
| Способ триангуляции (треугольника) | Способ нормального сечения | Способ раскатки |
а) Развертка поверхности многогранника.
Разверткой многогранной поверхности называется плоская фигура, получаемая последовательным совмещением всех граней поверхности с плоскостью.
Так как все грани многогранной поверхности изображаются на развертке в натуральную величину, построение ее сводится к определению величины отдельных граней поверхности – плоских многоугольников.
Метод триангуляции
Пример 1. Развертка пирамиды (рисунок 13.1).
При построении развертки пирамиды применяется способ треугольника. Развертка боковой поверхности пирамиды представляет собой плоскую фигуру, состоящую из треугольников – граней пирамиды и многоугольника — основания. Поэтому построение развертки пирамиды сводится к определению натуральной величины основания и граней пирамиды. Грани пирамиды можно построить по трем сторонам треугольников, их образующих.
Рисунок 13.1. Пирамида и её развертка
Для этого необходимо знать натуральную величину ребер и сторон основания. Алгоритм построения можно сформулировать следующим образом (рисунок 13.2):
| 1 Определяют натуральную величину основания пирамиды (например, методом замены плоскостей проекций) |
| 2 Определяют истинную величину всех ребер пирамиды любым из известных способов (в данном примере натуральная величина всех ребер пирамиды определена методом вращения вокруг оси перпендикулярной горизонтальной плоскости проекций и проходящей через вершину пирамиды S) |
| 3 Строят основание пирамиды и по найденным трем сторонам строят какую-либо из боковых граней, пристраивая к ней следующие (рисунок 13.3). |
Рисунок 13.2. Определение истинной величины
основания и ребер пирамиды
Точки, расположенные внутри контура развертки, находят во взаимно однозначном соответствии с точками поверхности многогранника. Но каждой точке тех ребер, по которым многогранник разрезан, на развертке соответствуют две точки, принадлежащие контуру развертки. Примером первой точки на рисунках служит точка К0 и КÎSАD, а иллюстрацией второго случая являются точки М0 и М0 * . Для определения точки К0 на развертке пришлось по ее ортогональным проекциям найти длины отрезков АМ (метод замены плоскостей проекций) и SК (метод вращения). Эти отрезки были использованы затем при построении на развертке сначала прямой S0М0 и, наконец, точки К0.
Рисунок 13.3. Построение развертки пирамиды
Способ нормального сечения
В общем случае развертка призмы выполняется следующим образом. Преобразуют эпюр так, чтобы ребра призмы стали параллельны новой плоскости проекций. Тогда на эту плоскость ребра проецируются в натуральную величину.
Пример 2. Развертка призмы (рисунок 13.4).
Пересекая призму вспомогательной плоскостью α, перпендикулярной ее боковым ребрам (способ нормального сечения), строят проекции фигуры нормального сечения – треугольника 1, 2, 3, а затем определяют истинную величину этого сечения. На примере она найдена методом вращения.
В дальнейшем строям отрезок 10-10 * , равный периметру нормального сечения. Через точки 10, 20, 30 и 10 * проводят прямые, перпендикулярные 10-10 * , на которых откладывают соответствующие отрезки боковых ребер призмы, беря их с новой фронтальной проекции. Так, на перпендикуляре, проходящем через точку 10, отложены отрезки 10D0=14D4 и 10А0=14А4.. Соединив концы отложенных отрезков, получают развертку боковой поверхности призмы. Затем достраивают основание.
Способ раскатки
Пример 3. Развертка призмы, частный случай, когда основание призмы на одну из плоскостей проекций проецируется в натуральную величину (рисунок 13.5).
Развертка боковой поверхности такой призмы осуществляется способом раскатки. Этот способ заключается в следующем. Сначала, как и в предыдущем примере, преобразуют эпюр так, чтобы боковые ребра призмы стали параллельны одной из плоскостей проекций.
Рисунок 13.4. Развертка призмы способом нормального сечения
Рисунок 13.5. Развертка призмы способом раскатки
Затем новую проекцию призмы вращают вокруг ребра С4F4 до тех пор пока грань ACDF не станет параллельной плоскости П4.
При этом положение ребра С4F4 остается неизменным, а точки принадлежащие ребру AD перемещаются по окружностям, радиус которых определяется натуральной величиной отрезков AC и DF (так как основания призмы параллельны П1 то на эту плоскость проекций они проецируются без искажения, т.е. R=A1C1=D1F1), расположенных в плоскостях, перпендикулярных ребру С4F4.
Таким образом, траектории движения точек A и D на плоскость П4 проецируются в прямые, перпендикулярные ребру С4F4.
Когда грань ACDFстанет параллельна плоскости П4, она проецируется на неё без искажения т.е. вершины A и D окажутся удаленными от неподвижных вершин C и F на расстояние, равное натуральной величине отрезков AC и DF. Таким образом, засекая перпендикуляры, по которым перемещаются точки A4 и D4 дугой радиуса R=A1C1=D1F1, можно получить искомое положение точек развертки A0 и D0.
Следующую грань АBDE вращают вокруг ребра AD. На перпендикулярах, по которым перемещаются точки B4и E4 делают засечки из точек A0 и D0 дугой радиуса R=A1B1=D1E1. Аналогично строится развертка последней боковой грани призмы.
Процесс последовательного нахождения граней призмы вращением вокруг ребер можно представить как раскатку призмы на плоскость параллельную П4 и проходящую через ребро С4F4.
Построение на развертке точки К, принадлежащей боковой грани АBDE, ясно из рисунка. Предварительно через эту точку по грани провели прямую NМ, параллельную боковым ребрам, которая затем построена на развертке.
б) Развертка цилиндрической поверхности.
Развертка цилиндрической поверхности выполняется аналогично развертке призмы. Предварительно в заданный цилиндр вписывают n-угольную призму (рисунок 13.6). Чем больше углов в призме, тем точнее развертка (при n →призма преобразуется в цилиндр).
в) Развертка конической поверхности
Развертка конической поверхности выполняется аналогично развертке пирамиды, предварительно вписав в конус n-угольную пирамиду (рисунок 13.6).
Если задана поверхность прямого конуса, то развертка его боковой поверхности представляет круговой сектор, радиус которого равен длине образующей конической поверхности l, а центральный угол φ=360 о r / l, где r – радиус окружности основания конуса.
Рисунок 13.6. Развертка цилиндрической поверхности
Рисунок 13.7. Развертка конической поверхности
| Запомните! Задание | Существует три способа построения развертки: способ нормального сечения, раскатки и треугольника.Дайтехарактеристику каждому из способов. Внимательно рассмотрите примеры, приведенные в лекции. Выполните построения по рисункам 13.1…13.7. |
Контрольные вопросы
1 Что называют разверткой поверхности?
2 Какие поверхности называют развертывающимися и какие – неразвертывающимися?
3 Укажите основные свойства разверток
4 Укажите последовательность графических построений разверток поверхностей конуса и цилиндра.
5 Какие способы построения разверток многогранников вы знаете?
Источник
Построение разверток развертываемых поверхностей
Развертка поверхностей
Развертка поверхностей.
Лекция № 10
1. Построение разверток развертываемых поверхностей: способом триангуляции, способом раскатки, способом нормального сечения.
2. Построение приближенной развертки неразвертываемых поверхностей.
3. Решение задач.
Разверткой поверхностиназывается плоская фигура, полученная путем совмещения элементов поверхности с плоскостью.
Если для поверхности можно построить её развертку точно без складок и разрывов, то поверхность называется развертываемой, в противном случае – неразвертываемой.
К развертываемым поверхностям относятся все гранные, а из линейчатых только – цилиндрические, конические и поверхности с ребром возврата.
Существуют следующие способы построения разверток развертываемых поверхностей:
1. Способ триангуляции (треугольников);
2. Способ раскатки;
3. Способ нормального сечения.
Способ триангуляции (треугольников)применяется для построения разверток пирамидальных и конических поверхностей. Они выполняются по одному принципу. Каждая грань пирамиды представляет треугольник и для построения развертки необходимо определить натуральные величины всех сторон треугольника. По найденным натуральным величинам сторон вычерчиваются последовательно треугольные грани. Коническая поверхность, заменяется вписанной в нее, пирамидальной и решение задачи ведется аналогично пирамиде.
Рассмотрим пример, построения развертки, конической поверхности (рис.1)
Для построения развертки в конус вписываем восьмигранную пирамиду. Т.к. по условию конус расположен симметрично относительно оси, построим половину развертки. Образующие конуса имеют разную длину, поэтому натуральную величину определяем вращением до положения параллельного фронтальной плоскости проекций. Только образующие S1 и S5, проецируются в натуральную величину. По полученным натуральным величинам образующих и размерам хорд окружности основания, между образующими, строим половину развертки, состоящую из четырех треугольников вписанной в конус пирамиды. Точки основания соединяем плавной кривой линией.
Способ раскаткиприменяется для построения разверток призматической и цилиндрической поверхности. И если поверхность цилиндрическая, то в нее вписывается призматическая поверхность. Поэтому принцип построения этих разверток одинаков.
Рассмотрим пример построения развертки наклонной треугольной призмы (рис. 2)
Развертку можно выполнять только в том случае, если боковые ребра призмы параллельны плоскости проекций, как на рис. 2. В противном случае сначала, выполняется преобразование (методом замены строим новую проекцию на плоскость параллельную ребрам). При выполнении развертки методом раскатки точки А2 , В2, С2 перемещаются по перпендикулярным к боковым ребрам призмы. А натуральные величины отрезков СВ, ВА, АС берутся из горизонтальной проекции, т.к. основание призмы параллельно плоскости П1 . Боковые ребра остаются на развертке параллельным, т.к. каждая грань призмы является параллелограммом.
Способ нормального сечения используется также, для построения разверток призматической и цилиндрической поверхностей.
Рассмотрим построение развертки призмы изображенной на рисунке 2. Для этого построим нормальное сечение – сечение перпендикулярное боковым ребрам призмы (∆1,2,3). Определим натуральную величину этого сечения, расположив его параллельно плоскости проекций П1 . Для построения развертки боковой поверхности призмы, строим периметр, треугольника нормального сечения (рис.3). Через точки сечения 1,2,3,1 проводим ребра перпендикулярно сечению и откладываем на них натуральную величину, которая берется из фронтальной проекции рис.2
Нам важно ваше мнение! Был ли полезен опубликованный материал? Да | Нет
Источник
