Способ запоминания формул приведения

Формулы приведения

Таблица формул приведения

Два правила формул приведения

1. при 90 0 и при 270 0 (в виде (π/2 ±a) или (3*π/2 ±a)) — функция меняется на кофункцию (sin на cos либо в обратную сторону, tg на ctg либо в обратную).
2. при 180 0 и при 360 0 (в виде (π ±a) или (2*π ±a)) — функция НЕ изменяется.

2 способа запоминания формул приведения

1. «Правило лошади»:

• Если мы откладываем угол от вертикальной оси, лошадь говорит «да» (киваем головой вдоль оси OY) и приводимая функция меняет свое название: синус на косинус, косинус на синус, тангенс на котангенс, котангенс на тангенс.

• Если мы откладываем угол от горизонтальной оси, лошадь говорит «нет» (киваем головой вдоль оси OХ) и приводимая функция не меняет свое название.

• Знак правой части равенства совпадает со знаком приводимой функции, стоящей в левой части равенства.

2. Использование четности и периодичности.

Тригонометрические функции (синус, косинус, тангенс, котангенс) являются периодическими:

• sin α, cos α — периодические функции с наименьшим положительным периодом 2π: sin(α+2kπ) = sin α,cos(α+2kπ) = cos α, k ∈ Z.
• tg α, ctg α — периодические функции с наименьшим положительным периодом π: tg(α+kπ) = tgα, ctg(α+kπ) = ctg α, k ∈ Z.

Формулы приведения в виде списка

sin

• sin(90 0 — α) = cos α
• sin (90 0 + α) = cos α
• sin (180 0 — α) = sin α
• sin (180 0 + α) = -sin α
• sin (270 0 — α) = -cos α
• sin (270 0 + α) = -cos α
• sin (360 0 — α) = -sin α
• sin (360 0 + α) = sin α

cos

• cos (90 0 — α) = sin α
• cos (90 0 + α) = -sin α
• cos (180 0 — α) = -cos α
• cos (180 0 + α) = -cos α
• cos (270 0 — α) = -sin α
• cos (270 0 + α) = sin α
• cos (360 0 — α) = cos α
• cos (360 0 + α) = cos α

tg

• tg(90 0 — α) = ctg α
• tg (90 0 + α) = -ctg α
• tg (180 0 — α) = -tg α
• tg (180 0 + α) = tg α
• tg (270 0 — α) = ctg α
• tg (270 0 + α) = -ctg α
• tg (360 0 — α) = -tg α
• tg (360 0 + α) = tg α

ctg

• ctg (90 0 — α) = tg α
• ctg (90 0 + α) = -tg α
• ctg (180 0 — α) = -ctg α
• ctg (180 0 + α) = ctg α
• ctg (270 0 — α) = tg α
• ctg (270 0 + α) = -tg α
• ctg (360 0 — α) = -ctg α
• ctg (360 0 + α) = ctg α

Угол альфа α находится в интервале 0 — 90°.

Знаки основных тригонометрических функций в зависимости от четверти

Дополнительный материал: Формулы тригонометрии

Источник

Формулы приведения. Как быстро получить любую формулу приведения

Формулы приведения разработаны для углов, представленных в одном из следующих видов: \(\frac<\pi><2>+a\), \(\frac<\pi><2>-a\), \(π+a\), \(π-a\), \(\frac<3\pi><2>+a\), \(\frac<3\pi><2>-a\), \(2π+a\) и \(2π-a\). Аналогично их можно использовать для углов представленных в градусах: \(90^°+a\), \(90^°-a\), \(180^°+a\), \(180^°-a\), \(270^°+a\), \(270^°-a\), \(180^°+a\), \(180^°-a\). К счастью, учить наизусть формулы привидения вам не придется, потому что есть легкий и надежный способ вывести нужную за пару секунд.

Как быстро получить любую формулу приведения

Для начала обратите внимание, что все формулы имеют похожий вид:

Здесь нужно пояснить термин «кофункция» — это та же самая функция с добавлением или убиранием приставки «ко-». То есть, для синуса кофункцией будет косинус, а для косинуса – синус. С тангенсом и котангенсом – аналогично.

Таким образом, например, синус при применении этих формул никогда не поменяется на тангенс или котангенс , он либо останется синусом, либо превратиться в косинус . А котангенс никогда не станет синусом или косинусом, он либо останется котангенсом, либо станет тангенсом. И так далее.

Едем дальше. Так как исходная функция и ее аргумент нам обычно даны, то весь вывод нужной формулы сводится к двум вопросам:
— как определить знак перед конечной функцией (плюс или минус)?
— как определить меняется ли функция на кофункцию или нет?

Как определить знак перед конечной функцией (плюс или минус)?

Какой знак был у исходной функции в исходной четверти, такой знак и нужно ставить перед конечной функцией.

Например, выводим формулу приведения для \(⁡cos⁡(\frac<3\pi><2>-a) =. \) С исходной функцией понятно – косинус, а исходная четверт ь ?

Для того, чтобы ответить на этот вопрос, представим, что \(a\) – угол от \(0\) до \(\frac<\pi><2>\), т.е. лежит в пределах \(0°…90^°\) (хотя это может быть не так, но для определения знака данная условность необходима). В какой четверти тригонометрической окружности при таком условии будет находиться точка, обозначающая угол \(\frac<3\pi><2>-a\)?
Чтобы ответить на вопрос, надо от точки, обозначающей \(\frac<3\pi><2>\), повернуть в отрицательную сторону на угол \(a\).

В какой четверти мы окажемся? В третьей. А какой же знак имеет косинус в третьей четверти? Минус. Поэтому перед итоговой функцией будет стоят минус: \(cos(\frac<3\pi><2>-a)=-. \)

Источник

Формулы приведения тригонометрических функций

Формулы приведения — это соотношения, которые позволяют перейти от тригонометрических функций синус, косинус, тангенс и котангенс с углами `\frac <\pi>2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac <3\pi>2 \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` к этим же функциям угла `\alpha`, который находится в первой четверти единичной окружности. Таким образом, формулы приведения «приводят» нас к работе с углами в пределе от 0 до 90 градусов, что очень удобно.

Формулы приведения: список и таблицы

Всех вместе формул приведения есть 32 штуки. Они несомненно пригодятся на ЕГЭ, экзаменах, зачетах. Но сразу предупредим, что заучивать наизусть их нет необходимости! Нужно потратить немного времени и понять алгоритм их применения, тогда для вас не составит труда в нужный момент вывести необходимое равенство.

Сначала запишем все формулы приведения:

Для угла (`\frac <\pi>2 \pm \alpha`) или (`90^\circ \pm \alpha`):

`sin(\frac <\pi>2 — \alpha)=cos \ \alpha;` ` sin(\frac <\pi>2 + \alpha)=cos \ \alpha`
`cos(\frac <\pi>2 — \alpha)=sin \ \alpha;` ` cos(\frac <\pi>2 + \alpha)=-sin \ \alpha`
`tg(\frac <\pi>2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac <\pi>2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac <\pi>2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac <\pi>2 + \alpha)=-tg \ \alpha`

Для угла (`\pi \pm \alpha`) или (`180^\circ \pm \alpha`):

`sin(\pi — \alpha)=sin \ \alpha;` ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(\pi — \alpha)=-cos \ \alpha;` ` cos(\pi + \alpha)=-cos \ \alpha`
`tg(\pi — \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(\pi — \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`

Для угла (`\frac <3\pi>2 \pm \alpha`) или (`270^\circ \pm \alpha`):

`sin(\frac <3\pi>2 — \alpha)=-cos \ \alpha;` ` sin(\frac <3\pi>2 + \alpha)=-cos \ \alpha`
`cos(\frac <3\pi>2 — \alpha)=-sin \ \alpha;` ` cos(\frac <3\pi>2 + \alpha)=sin \ \alpha`
`tg(\frac <3\pi>2 — \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac <3\pi>2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac <3\pi>2 — \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac <3\pi>2 + \alpha)=-tg \ \alpha`

Для угла (`2\pi \pm \alpha`) или (`360^\circ \pm \alpha`):

`sin(2\pi — \alpha)=-sin \ \alpha;` ` sin(2\pi + \alpha)=sin \ \alpha`
`cos(2\pi — \alpha)=cos \ \alpha;` ` cos(2\pi + \alpha)=cos \ \alpha`
`tg(2\pi — \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(2\pi — \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`

Часто можно встретить формулы приведения в виде таблицы, где углы записаны в радианах:

Чтобы воспользоваться ею, нужно выбрать строку с нужной нам функцией, и столбец с нужным аргументом. Например, чтобы узнать с помощью таблицы, чему будет равно ` sin(\pi + \alpha)`, достаточно найти ответ на пересечении строки ` sin \beta` и столбца ` \pi + \alpha`. Получим ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`.

И вторая, аналогичная таблица, где углы записаны в градусах:

Мнемоническое правило формул приведения или как их запомнить

Как мы уже упоминали, заучивать все вышеприведенные соотношения не нужно. Если вы внимательно на них посмотрели, то наверняка заметили некоторые закономерности. Они позволяют нам сформулировать мнемоническое правило (мнемоника — запоминать), с помощью которого легко можно получить любую с формул приведения.

Сразу отметим, что для применения этого правила нужно хорошо уметь определять (или запомнить) знаки тригонометрических функций в разных четвертях единичной окружности.Само привило содержит 3 этапа:

1. 1. Аргумент функции должен быть представлен в виде `\frac <\pi>2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac <3\pi>2 \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha`, причем `\alpha` — обязательно острый угол (от 0 до 90 градусов).
   2. Для аргументов `\frac <\pi>2 \pm \alpha`, `\frac <3\pi>2 \pm \alpha` тригонометрическая функция преобразуемого выражения меняется на кофункцию, то есть противоположную (синус на косинус, тангенс на котангенс и наоборот). Для аргументов `\pi \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha` функция не меняется.
   3. Определяется знак исходной функции. Полученная функция в правой части будет иметь такой же знак.

Чтобы посмотреть, как на практике можно применить это правило, преобразим несколько выражений:

1. ` cos(\pi + \alpha)`.

Функция на противоположную не меняется. Угол ` \pi + \alpha` находится в III четверти, косинус в этой четверти имеет знак «-» , поэтому преобразованная функция будет также со знаком «-» .

Ответ: ` cos(\pi + \alpha)= — cos \alpha`

2. `sin(\frac <3\pi>2 — \alpha)`.

Согласно мнемоническому правилу функция изменится на противоположную. Угол `\frac <3\pi>2 — \alpha` находится в III четверти, синус здесь имеет знак «-» , поэтому результат также будет со знаком «-» .

Ответ: `sin(\frac <3\pi>2 — \alpha)= — cos \alpha`

3. `cos(\frac <7\pi>2 — \alpha)`.

`cos(\frac <7\pi>2 — \alpha)=cos(\frac <6\pi>2+\frac <\pi>2-\alpha)=cos (3\pi+(\frac<\pi>2-\alpha))`. Представим `3\pi` как `2\pi+\pi`. `2\pi` — период функции.

Важно: Функции `cos \alpha` и `sin \alpha` имеют период `2\pi` или `360^\circ`, их значения не изменятся, если на эти величины увеличить или уменьшить аргумент.

Исходя из этого, наше выражение можно записать следующим образом: `cos (\pi+(\frac<\pi>2-\alpha)`. Применив два раза мнемоническое правило, получим: `cos (\pi+(\frac<\pi>2-\alpha)= — cos (\frac<\pi>2-\alpha)= — sin \alpha`.

Ответ: `cos(\frac <7\pi>2 — \alpha)=- sin \alpha`.

Лошадиное правило

Второй пункт вышеописанного мнемонического правила еще называют лошадиным правилом формул приведения. Интересно, почему лошадиным?

Итак, мы имеем функции с аргументами `\frac <\pi>2 \pm \alpha`, `\pi \pm \alpha`, `\frac <3\pi>2 \pm \alpha`, `2\pi \pm \alpha`, точки `\frac <\pi>2`, `\pi`, `\frac <3\pi>2`, `2\pi` — ключевые, они располагаются на осях координат. `\pi` и `2\pi` на горизонтальной оси абсцисс, а `\frac <\pi>2` и `\frac <3\pi>2` на вертикальной оси ординат.

Задаем себе вопрос: «Меняется ли функция на кофункцию?». Чтобы ответить на этот вопрос, нужно подвигать головой вдоль оси, на которой расположена ключевая точка.

То есть для аргументов с ключевыми точками, расположенными на горизонтальной оси, мы отвечаем «нет», мотая головой в стороны. А для углов с ключевыми точками, расположенными на вертикальной оси, мы отвечаем «да», кивая головой сверху вниз, как лошадь 🙂

Рекомендуем посмотреть видеоурок, в котором автор подробно объясняет, как запомнить формулы приведения без заучивания их наизусть.

Практические примеры использования формул приведения

Применение формул приведения начинается еще в 9, 10 классе. Немало задач с их использованием вынесено на ЕГЭ. Вот некоторые из задач, где придется применять эти формулы:

• задачи на решение прямоугольного треугольника;
• преобразования числовых и буквенных тригонометрических выражений, вычисление их значений;
• стереометрические задачи.

Пример 1. Вычислите при помощи формул приведения а) `sin 600^\circ`, б) `tg 480^\circ`, в) `cos 330^\circ`, г) `sin 240^\circ`.

Решение: а) `sin 600^\circ=sin (2 \cdot 270^\circ+60^\circ)=-cos 60^\circ=-\frac 1 2`;

б) `tg 480^\circ=tg (2 \cdot 270^\circ-60^\circ)=ctg 60^\circ=\frac<\sqrt 3>3`;

в) `cos 330^\circ=cos (360^\circ-30^\circ)=cos 30^\circ=\frac<\sqrt 3>2`;

г) `sin 240^\circ=sin (270^\circ-30^\circ)=-cos 30^\circ=-\frac<\sqrt 3>2`.

Пример 2. Выразив косинус через синус по формулам приведения, сравнить числа: 1) `sin \frac <9\pi>8` и `cos \frac <9\pi>8`; 2) `sin \frac <\pi>8` и `cos \frac <3\pi>10`.

Решение: 1)`sin \frac <9\pi>8=sin (\pi+\frac <\pi>8)=-sin \frac <\pi>8`

`cos \frac <9\pi>8=cos (\pi+\frac <\pi>8)=-cos \frac <\pi>8=-sin \frac <3\pi>8`

`-sin \frac <\pi>8> -sin \frac <3\pi>8`

2) `cos \frac <3\pi>10=cos (\frac <\pi>2-\frac <\pi>5)=sin \frac <\pi>5`

`sin \frac <\pi>8 Доказательство формул приведения

Докажем сначала две формулы для синуса и косинуса аргумента `\frac <\pi>2 + \alpha`: ` sin(\frac <\pi>2 + \alpha)=cos \ \alpha` и` cos(\frac <\pi>2 + \alpha)=-sin \ \alpha`. Остальные выводятся из них.

Возьмем единичную окружность и на ней точку А с координатами (1,0). Пусть после поворота на угол `\alpha` она перейдет в точку `А_1(х, у)`, а после поворота на угол `\frac <\pi>2 + \alpha` в точку `А_2(-у,х)`. Опустив перпендикуляры с этих точек на прямую ОХ, увидим, что треугольники `OA_1H_1` и `OA_2H_2` равны, поскольку равны их гипотенузы и прилежащие углы. Тогда исходя из определений синуса и косинуса можно записать `sin \alpha=у`, `cos \alpha=х`, ` sin(\frac <\pi>2 + \alpha)=x`, ` cos(\frac <\pi>2 + \alpha)=-y`. Откуда можно записать, что ` sin(\frac <\pi>2 + \alpha)=cos \alpha` и ` cos(\frac <\pi>2 + \alpha)=-sin \alpha`, что доказывает формулы приведения для синуса и косинуса угла `\frac <\pi>2 + \alpha`.

Выходя из определения тангенса и котангенса, получим ` tg(\frac <\pi>2 + \alpha)=\frac 2 + \alpha)>2 + \alpha)>=\frac <-sin \alpha>=-ctg \alpha` и ` сtg(\frac <\pi>2 + \alpha)=\frac 2 + \alpha)>2 + \alpha)>=\frac <-sin \alpha>=-tg \alpha`, что доказывает формулы приведения для тангенса и котангенса угла `\frac <\pi>2 + \alpha`.

Чтобы доказать формулы с аргументом `\frac <\pi>2 — \alpha`, достаточно представить его, как `\frac <\pi>2 + (-\alpha)` и проделать тот же путь, что и выше. Например, `cos(\frac <\pi>2 — \alpha)=cos(\frac <\pi>2 + (-\alpha))=-sin(-\alpha)=sin(\alpha)`.

Углы `\pi + \alpha` и `\pi — \alpha` можно представить, как `\frac <\pi>2 +(\frac <\pi>2+\alpha)` и `\frac <\pi>2 +(\frac <\pi>2-\alpha)` соответственно.

А `\frac <3\pi>2 + \alpha` и `\frac <3\pi>2 — \alpha` как `\pi +(\frac <\pi>2+\alpha)` и `\pi +(\frac <\pi>2-\alpha)`.

Источник