- Метод замены плоскостей проекций
- Замена одной плоскости проекции
- Замена двух плоскостей проекций
- Использование метода замены при решении задач
- Определение расстояния между параллельными плоскостями
- Способ замены плоскостей проекций позволяет определить
- Замена фронтальной плоскости проекций (преобразование системы П2/П1 в систему П4/П1)
- Замена горизонтальной плоскости проекций (преобразование системы П2/П1 в систему П2/П4)
- Основные задачи, решаемые способом замены плоскостей проекций
Метод замены плоскостей проекций
Для решения целого ряда задач начертательной геометрии наиболее рациональным является метод замены плоскостей проекций. Например, с его помощью можно определить натуральную величину плоской фигуры, расстояние между параллельными прямыми, опорные точки пересечения поверхностей.
Замена одной плоскости проекции
Сущность метода заключается в замене одной из плоскостей проекций на дополнительную плоскость, выбранную так, чтобы в новой системе плоскостей решение поставленной задачи значительно упрощалось. Положение фигур в пространстве при этом не меняется.
Рассмотрим на примере точек A и B, как осуществляются построения на комплексном чертеже. Изначально точка A находится в системе плоскостей П1, П2. Введем дополнительную горизонтальную пл. П4. Она будет перпендикулярна фронтальной плоскости проекций П2 и пересечет её по оси x1. Эту ось необходимо провести на комплексном чертеже с учётом цели построения. Здесь мы расположили её произвольно.
В новой системе плоскостей положение точки A» не изменится. Чтобы найти точку A’1, которая является проекцией т. А на плоскость П4, проведем из A» перпендикуляр к оси x1. На этом перпендикуляре от точки его пересечения с осью x1 отложим отрезок Ax1А’1, равный отрезку AxA’.
Данные построения основаны на равенстве ординат точек A’ и А’1. Действительно, в системе плоскостей П1, П2 и в системе П2, П4 точка A удалена от фронтальной плоскости проекций П2 на одно и то же расстояние.
Теперь осуществим перевод точки B в новую систему плоскостей П1, П4 (рис. ниже). Для этого введем произвольную фронтальную пл. П4, которая будет перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций П1 и пересечет её по оси x1.
В системе П1, П4 положение точки B’ останется неизменным. Чтобы найти точку B»1, проведем из B’ перпендикуляр к оси x1. На этом перпендикуляре от точки его пересечения с осью x1 отложим отрезок Bx1B»1 равный отрезку BxB». Описанные построения основаны на равенстве аппликат точек B» и B»1.
Замена двух плоскостей проекций
Иногда для решения поставленной задачи требуется замена двух плоскостей проекций (рис. ниже). Пусть A’ и A» – исходные проекции точки A, находящейся в системе пл. П1, П2. Введем первую дополнительную плоскость П4 и определим новую горизонтальную проекцию A’1 точки A, как это было описано ранее.
Для осуществления второй замены плоскости проекций будем рассматривать систему пл. П2, П4 в качестве исходной. Введем новую фронтальную плоскость П5 перпендикулярно горизонтальной пл. П4. Для этого на произвольном месте чертежа проведем ось x2 = П4 ∩ П5. Из точки A’1, положение которой останется неизменным, восстановим перпендикуляр к оси x2. На нем от точки Ax2 отложим отрезок Ax2A»1 равный отрезку A»Ax1.
Использование метода замены при решении задач
Владея методом замены применительно к одной точке, можно построить дополнительные проекции любых фигур, поскольку они представляют собой множество точек. На рисунке ниже показан перевод отрезка AB в частное положение. Новая плоскость П4 проведена параллельно AB, поэтому отрезок проецируется на неё в натуральную величину.
На следующем рисунке показана плоскость общего положения α, заданная следами. Переведем её в новую систему плоскостей П1, П4 так, чтобы α занимала проецирующее положение. Для этого перпендикулярно горизонтальному следу h0α введем дополнительную фронтальную плоскость П4.
Новый фронтальный след f0α1 строится по двум точкам. Одна из них, Xα1, лежит на пересечении h0α с осью x1. Дополнительно возьмем точку N, принадлежащую α, и укажем её фронтальную проекцию N»1 на плоскости П4.
Определение расстояния между параллельными плоскостями
Параллельные плоскости α и β расположены так, как показано на рисунке. Чтобы найти расстояние между ними, необходимо из произвольной точки A, взятой на пл. α, опустить перпендикуляр AB на пл. β и определить его настоящую длину.
Для уменьшения количества геометрических построений α и β предварительно переводятся в проецирующее положение с помощью метода замены плоскостей проекций. Вспомогательная точка M используется для определения направления следов f0β1 и f0α1, параллельных друг другу.
Источник
Способ замены плоскостей проекций позволяет определить
ОБЩИЕ ПОЛОЖЕНИЯ
Во многих случаях трудоемкость решения задачи зависит не столько от сложности ее условия, сколько от положения заданных геометрических фигур относительно плоскостей проекций. Во всех случаях, когда заданные геометрические фигуры являются проецирующими, решение задачи, как правило, упрощается, Такое положение геометрических фигур относительно плоскостей проекций, при котором мы непосредственно по чертежу получаем ответ на поставленный в задаче вопрос, называется наивыгоднейшим. Например, по рис. 3.1, б можно сразу определить расстояние между параллельными прямыми а и б, а по рис. 3.1, а, этого сделать нельзя.
Рис. 3.1
Рис. 3.1 Таким образом, при решении той или иной задачи бывает целесообразно преобразовать чертеж так, чтобы заданные геометрические фигуры оказались бы в наивыгоднейшем положении относительно плоскостей проекций. Для этого существуют различные способы преобразования комплексного чертежа. Каждый из них основан на одном из следующих принципов:
Сущность способа состоит в том, что одну из заданных плоскостей проекций (П1 или П2) заменяют новой плоскостью П4. При этом положение второй плоскости проекций и заданных геометрических фигур остается неизменным. Новая плоскость проекций П4 выбирается с таким расчетом, чтобы она занимала частное положение по отношению к рассматриваемой геометрической фигуре и была при этом перпендикулярной к незаменяемой плоскости проекций. Таким образом, исходная (старая) система плоскостей проекций П2/П1 может быть преобразована в новую систему П2/ П4 при замене плоскости П1 плоскостью П4 
П2 или в систему П4/П1 при замене плоскости П2 плоскостью П4П1. Каждая из этих полученных систем может быть преобразована в новую путем замены плоскости проекций, не заменявшейся в предыдущем преобразовании. Таким образом, система П2/ П4 может быть преобразована в систему П5/П4 при замене плоскости П2 плоскостью П5 П4, а система П4/П1 — в систему П4/П5 — при замене плоскости П1 плоскостью
П5П4 и т. д.
Такое последовательное преобразование исходной системы плоскостей проекций позволяет получить новую систему, в которой рассматриваемые геометрические фигуры окажутся в наивыгоднейшем положении относительно плоскостей проекций. Большинство задач решается с применением одного или двух последовательных преобразований исходной системы плоскостей проекций. Одновременно можно заменять только одну плоскость проекций П1 (или П2), другая плоскость П2 (или П1) должна оставаться неизменной.
Все свойства геометрических фигур и их изображений, ранее рассмотренные в исходной П2/П1 системе, справедливы и для новой системы плоскостей проекций.
Каждая новая плоскость проекций П4, П5, . условно называется так же, как та из основных, которую она заменяет. Так, например, плоскость П4, заменяющая горизонтальную плоскость П1, условно называется также «горизонтальной», хотя она не занимает горизонтального положения в пространстве.
Рассмотрим инварианты преобразования, позволяющие по чертежу объекта, выполненному в старой системе, построить чертеж в новой системе плоскостей проекций.
Замена фронтальной плоскости проекций
(преобразование системы П2/П1 в систему П4/П1)
Заменим фронтальную плоскость проекций П2, новой плоскостью П4 (которую условно будем называть тоже фронтальной), перпендикулярной к П1, и образующей с плоскостью П2 некоторый угол (в случае проецирования точки этот угол произволен). В результате получим новую систему плоскостей проекций П4/П1. Плоскость П1 является общей для старой и новой систем плоскостей проекций.
В новой системе П4/П1 имеем: X14 = П1
П4 — новая ось проекций, А1 и А4 — ортогональные проекции точки А.
При переходе от старой системы П2/П1 к новой П4/П1 остаются неизменными (являются инвариантами преобразования):
На динамическом рисунке 3.3 показан механизм рассмотренного проекционного преобразования.
Рис. 3.3 (анимационный)
Выявленные инварианты преобразования позволяют построить по комплексному чертежу точки в старой системе плоскостей проекций ее комплексный чертеж в повой системе. Для этого на комплексном чертеже точки А (А1,А2) проводим новую ось проекций х14 (рис. 3.2), положение которой определяется положением новой фронтальной плоскости проекций П4. Из точки А1 проводим линию связи, перпендикулярную новой оси проекций х14. На линии связи от точки А14 откладываем отрезок
| А14А4 | = | А12А2 |. Полученная таким образом точка А4 является проекцией точки А на плоскость П4. В новой системе плоскостей проекций П4/П1 положение точки А определяется проекциями А1 и А4.
Замена горизонтальной плоскости проекций
(преобразование системы П2/П1 в систему П2/П4)
Заменим горизонтальную плоскость проекций П1, новой плоскостью П4 (которую условно будем называть тоже горизонтальной), перпендикулярной к П2, и образующей с плоскостью П1 некоторый угол (в случае проецирования точки величина угла произвольна). В результате получим новую систему плоскостей проекций
П2/П4. Плоскость П2, является общей для старой и новой систем плоскостей проекций. В новой системе П2/П4 имеем: X24 = П2П4 — новая ось проекций, А2 и А4 — ортогональные проекции точки А.
При переходе от старой системы П2/П1 к новой П2/П4 остаются неизменными (являются инвариантами преобразования):
Динамический рисунок 3.5 демонстрирует механизм рассмотренного проекционного преобразования.
Рис. 3.5 (анимационный)
Выявленные инварианты преобразования позволяют построить по комплексному чертежу точки в старой системе плоскостей проекций ее комплексный чертеж в повой системе. Для этого на комплексном чертеже точки А (А1,А2) проводим новую ось проекций х24 (рис. 3.4), положение которой определяется положением новой горизонтальной плоскости проекций П4. Из точки А2 проводим линию связи, перпендикулярную новой оси проекций х24. На линии связи от точки А24 откладываем отрезок | А24А4 | = | А12А1 |. Полученная точка А4 является проекцией точки А на плоскость П4. В новой системе плоскостей проекций П2/П4 положение точки А определяется проекциями А2 и А4.
При необходимости выполнить две последовательные замены плоскостей проекций преобразование выполняется так, как показано на рис. 3.6. Подумайте и выполните преобразование комплексного чертежа точки А в системе П2/П1 в комплексный чертеж в системе П2/П4, а затем в системе П4/П5. 
Рис. 3.6
При решении задач с применением способа замены плоскостей проекций удобнее исходный комплексный чертеж задавать в осной системе изображения. Если же исходный чертеж выполнен в безосной системе, то можно зафиксировать плоскости проекций П1 и П2 в каком-либо удобном положении. Эта пространственная операция отражается на комплексном чертеже проведением оси проекций между горизонтальной и фронтальной проекциями объекта.
Основные задачи, решаемые способом замены плоскостей проекций
Задача 1. Преобразовать прямую общего положения (рис. 3.7) в линию уровня (горизонталь или фронталь).
Ре ш е н и е. Для решения задачи необходимо заменить плоскость проекций П1, или П2 новой плоскостью проекций П4, параллельной прямой l и перпендикулярной к незаменяемой плоскости проекций. Для того чтобы прямая l в новой системе плоскостей проекций стала, например, фронталью, заменяем фронтальную плоскость проекций П2 новой плоскостью П4 П1 и параллельной прямой l. Динамика данного проекционного преобразования показана на рис. 3.8.
Рис. 3.8 (анимационный)
Построение на комплексном чертеже (рис. 3.7).
1) проводим новую ось проекций х14 параллельно l1 на произвольном расстоянии от нее; такое положение оси х14 обусловливается тем, что П4 параллельна l. В частном случае, если плоскость П4 проведена непосредственно через прямую l,
ось х14 = l1;
2) выберем на прямой l две точки А(А1А2) и В(В1В2);
3) построим проекции точек А и В на плоскости П4;
4) прямая l4 (А4, В4) является проекцией прямой l на плоскость П4. Прямая l(A,B) в новой системе плоскостей проекций П1/П4 является фронталью.
Примечания:
— величина угла наклона прямой l к плоскости П1. Подумайте и решите задачу 1 в безосной системе изображения.
Преобразуйте прямую l так, чтобы она стала в новой системе плоскостей проекций горизонталью.
3адача 2. Преобразовать линию уровня в проецирующую прямую.
Для решения задачи заменяем плоскость П2 исходной системы П2/П1 плоскостью П4h, при этом плоскость П4 будет перпендикулярна П1
так как h 
П1 и образует с ней новую систему плоскостей проекций П1/П4.
Построения на комплексном чертеже:
h;Задайте самостоятельно комплексный чертеж фронтали f и преобразуйте ее в проецирющую прямую.
Подумайте и решите задачу 2 в безосной системе изображений.
Прямую общего положения преобразовать в проецирующую заменой только одной плоскости проекций нельзя, так как плоскость П4 перпендикулярная прямой, не будет перпендикулярна ни одной из старых плоскостей проекций, и, следовательно, не образует ни с одной из них прямоугольной системы плоскостей проекций. 
Рис. 3.10
Для того чтобы прямую общего положения преобразовать в проецирующую, необходимо выполнить две последовательные замены плоскостей проекций. Вначале прямую следует преобразовать в линию уровня, а затем линию уровня преобразовать в проецирующую. На рис. 3.10 показано преобразование прямой l общего положения в горизонтально проецирующую.
Прямую l общего положения преобразуйте во фронтально проецирующую (чертеж задайте самостоятельно).
3адача 3. Преобразовать плоскость общего положения в проецирующую (рис. 3.11)
На чертеже плоскость 
(АВС) преобразована во фронтально проецирующую (см. рис. 3.11) путем преобразования горизонтали h(h1,h2), принадлежащей плоскости , во фронтально проецирующую прямую (см, задачу 2). Все построения, выполненные на комплексном чертеже, cделаны на основе материала данного параграфа. В новой системе плоскостей проекций П1/П4 плоскость является фронтально проецирующей ( 4 (С4, А4, В4).
— величина угла наклона плоскости к плоскости П1.
Преобразуйте плоскость общего положения Г в горизонтально проецирующую (исходный чертеж задайте самостоятельно).
3адача 4. Преобразовать проецирующую плоскость Г в плоскость уровня.
Построения на комплексном чертеже:
(А2С2), если плоскость П4 совмещается с плоскостью Г(АВС);
Примечание.
Так как плоскость треугольника АВС параллельна плоскости П4, то А4В4С4
АВС. Преобразуйте горизонтально проецирующую плоскость
во фронтальную плоскость уровня (исходный чертеж задайте самостоятельно). Примечание.
Плоскость общего положения преобразовать в плоскость уровня заменой только одной плоскости проекций нельзя, так как плоскость П4, параллельная ей, не будет перпендикулярна ни одной из старых плоскостей проекций и, следовательно, не образует ни с одной из них прямоугольной системы плоскостей проекций.
Для того чтобы плоскость общего положения преобразовать в плоскость уровня, необходимо выполнить две последовательные замены плоскостей проекций.
Рис. 3.13 Вначале плоскость необходимо преобразовать в проецирующую, а затем проецирующую плоскость преобразовать в плоскость уровня. На рис. 3.13 показано преобразование плоскости 
(АВС) в горизонтальную плоскость уровня.
Преобразуйте плоскость общего положения во фронтальную плоскость уровня (исходный чертеж задайте самостоятельно).
Источник
