Метод замены переменной – это такой способ решения, при котором в уравнение (или неравенство) вводится новая переменная, в результате чего оно становится более простым.
Этот метод один из самых популярных при решении сложных заданий, в частности, в ЕГЭ и ОГЭ.
У нас довольно сложное уравнение. А если раскрыть скобки, оно станет еще сложнее. Что делать? Давайте попробуем заменить переменную.
Заменим выражение \(x+\frac<1>\) буквой \(t\).
Получилось обычное квадратное уравнение! Решив его, найдем чему равно \(t\), после чего, сделав обратную замену, вычислим \(x\).
Когда не стоит вводить новую переменную? Когда это не сделает уравнение проще. Например, если старая переменная остается, несмотря на замену:
Попробуем сделать замену здесь.
Заменим выражение \(\sin x\) буквой \(t\).
Видим, что в этой замене нет никакого смысла – она не упростила уравнение, даже наоборот, усложнила его, потому что теперь у нас в уравнении две переменные.
Примеры использования метода замены переменной
Заметим, что \(x^4=(x^2 )^2\) (см. свойства степеней ). Тогда наше уравнение приобретает следующий вид.
Теперь используем метод замены.
Вводим новую переменную, заменяя \(x^2\) на \(t\).
Мы нашли чему равно \(t\), но найти-то надо иксы! Поэтому делаем обратную замену.
Ответ: \(±1\); \(±\) \(\frac<1><2>\) .
Весьма частая ошибка при использовании этого метода: забыть «вернуться к иксам», то есть не сделать обратную замену. Помните – нам нужно найти \(x\), а не \(t\)! Поэтому возврат к \(x\) — строго обязателен!
Раскладываем левую часть неравенства на множители .
Теперь нужно вернуться к исходной переменной – иксу. Для этого перейдем к совокупности , имеющей такое же решение, и сделаем обратную замену.
Источник
Замена переменной в неопределенном интеграле
Замена переменной в неопределенном интеграле используется при нахождении интегралов, в которых одна из функций является производной другой функции. Пусть есть интеграл $ \int f(x) dx $, сделаем замену $ x=\phi(t) $. Отметим, что функция $ \phi(t) $ является дифференцируемой, поэтому можно найти $ dx = \phi'(t) dt $.
Теперь подставляем $ \begin x = \phi(t) \\ dx = \phi'(t) dt \end $ в интеграл и получаем, что:
Эта и есть формула замены переменной в неопределенном интеграле.
Алгоритм метода замены переменной
Таким образом, если в задаче задан интеграл вида: $$ \int f(\phi(x)) \cdot \phi'(x) dx $$ Целесообразно выполнить замену переменной на новую: $$ t = \phi(x) $$ $$ dt = \phi'(t) dt $$
После этого интеграл будет представлен в виде, который легко взять основными методами интегрирования: $$ \int f(\phi(x)) \cdot \phi'(x) dx = \int f(t)dt $$
Не нужно забывать также вернуть замененную переменную назад к $ x $.
Примеры решений
Найти неопределенный интеграл методом замены переменной: $$ \int e^ <3x>dx $$
Выполняем замену переменной в интеграле на $ t = 3x, dt = 3dx $:
$$ \int e^ <3x>dx = \int e^t \frac
<3>= \frac<1> <3>\int e^t dt = $$
Интеграл экспоненты всё такой же по таблице интегрирования, хоть вместо $ x $ написано $ t $:
Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!
Ответ
$$ \int e^ <3x>dx = \frac<1> <3>e^ <3x>+ C $$
Пример 2
Найти неопределенный интеграл методом замены переменной:
$$ \int \sin^5 x \cos x dx $$
Замечаем, что $ (\sin x)’ = \cos x $, поэтому выгодно сделать замену переменной $$ t = \sin x, dt = \cos x dx $$
Тогда после подставления её в интеграл будем иметь:
$$ \int t^5 dt = \frac <6>+ C = \frac<1> <6>\sin x + C $$
В самом конце очень важно не забывать возвращать замену назад, чтобы получить окончательный ответ.
Ответ
$$ \int \sin^5 x \cos x dx =\frac<1><6>\sin x + C $$
Пример 3
Найти интеграл с помощью замены переменной: $$ \int \frac<\cos \sqrt><\sqrt> dx $$
Решение
Как обычно анализируем интеграл и замечаем, что в интеграле есть функция и её производная. А именно этой функцией является $ \sqrt $ и её производная $ \frac<1><2\sqrt> $. Поэтому замену переменной сделаем такой: $$ t = \sqrt, dt = \frac<2\sqrt> $$
Подставляем в интеграл и решаем:
$$ \int \frac<\cos \sqrt><\sqrt> dx = 2\int \cos t = 2\sin t + C = $$
Источник
Интегрирование методом замены переменной
Метод замены переменной
С помощью замены переменной можно вычислить простые интегралы и, в некоторых случаях, упростить вычисление более сложных.
Метод замены переменной заключается в том, что мы от исходной переменной интегрирования, пусть это будет x , переходим к другой переменной, которую обозначим как t . При этом мы считаем, что переменные x и t связаны некоторым соотношением x = x ( t ) , или t = t ( x ) . Например, x = ln t , x = sin t , t = 2 x + 1 , и т.п. Нашей задачей является подобрать такую зависимость между x и t , чтобы исходный интеграл либо свелся к табличному, либо стал более простым.
Основная формула замены переменной
Рассмотрим выражение, которое стоит под знаком интеграла. Оно состоит из произведения подынтегральной функции, которую мы обозначим как f ( x ) и дифференциала dx : . Пусть мы переходим к новой переменной t , выбрав некоторое соотношение x = x ( t ) . Тогда мы должны выразить функцию f ( x ) и дифференциал dx через переменную t .
Чтобы выразить подынтегральную функцию f ( x ) через переменную t , нужно просто подставить вместо переменной x выбранное соотношение x = x ( t ) .
Преобразование дифференциала выполняется так: . То есть дифференциал dx равен произведению производной x по t на дифференциал dt .
На практике, чаще всего встречается случай, в котором мы выполняем замену, выбирая новую переменную как функцию от старой: t = t ( x ) . Если мы догадались, что подынтегральную функцию можно представить в виде , где t′ ( x ) – это производная t по x , то .
Итак, основную формулу замены переменной можно представить в двух видах. (1) , где x – это функция от t . (2) , где t – это функция от x .
Важное замечание
В таблицах интегралов переменная интегрирования, чаще всего, обозначается как x . Однако стоит учесть, что переменная интегрирования может обозначаться любой буквой. И более того, в качестве переменной интегрирования может быть какое-либо выражение.
В качестве примера рассмотрим табличный интеграл .
Здесь x можно заменить любой другой переменной или функцией от переменной. Вот примеры возможных вариантов: ; ; .
В последнем примере нужно учитывать, что при переходе к переменной интегрирования x , дифференциал преобразуется следующим образом: . Тогда .
В этом примере заключена суть интегрирования подстановкой. То есть мы должны догадаться, что . После чего интеграл сводится к табличному. .
Можно вычислить этот интеграл с помощью замены переменной, применяя формулу (2). Положим t = x 2 + x . Тогда ; ;
.
Примеры интегрирования заменой переменной
1) Вычислим интеграл . Замечаем, что (sin x )′ = cos x . Тогда
. Здесь мы применили подстановку t = sin x .
2) Вычислим интеграл . Замечаем, что . Тогда
. Здесь мы выполнили интегрирование заменой переменной t = arctg x .
3) Проинтегрируем . Замечаем, что . Тогда
. Здесь, при интегрировании, произведена замена переменной t = x 2 + 1 .
Линейные подстановки
Пожалуй, самыми распространенными являются линейные подстановки. Это замена переменной вида t = ax + b , где a и b – постоянные. При такой замене дифференциалы связаны соотношением .
Примеры интегрирования линейными подстановками
B) Найти интеграл . Решение. Воспользуемся свойствами показательной функции. . ln 2 – это постоянная. Вычисляем интеграл.
.
C) Вычислить интеграл . Решение. Приведем квадратный многочлен в знаменателе дроби к сумме квадратов. . Вычисляем интеграл.
.
D) Найти интеграл . Решение. Преобразуем многочлен под корнем.
. Интегрируем, применяя метод замены переменной .
. Ранее мы получили формулу . Отсюда . Подставив это выражение, получим окончательный ответ.
Использованная литература: Н.М. Гюнтер, Р.О. Кузьмин, Сборник задач по высшей математике, «Лань», 2003.
Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 06-09-2015
Источник
Интегрирование заменой переменной
Суть данного метода заключается в том, что в рассмотрение вводится новая переменная интегрирования или, что тоже самое, делается подстановка. После этого заданный в условии интеграл сводится либо к табличному интегралу, либо к нему сводящемуся.
Если в неопределенном интеграле $\int f(x) d x$ сделать подстановку $x=\phi(t)$, где функция $\phi(t)$ — функция с непрерывной первой производной, то тогда $d x=d(\phi(t))=\phi^<\prime>(t) d t$ и согласно свойству 6 неопределенного интеграла имеем, что:
$\int f(x) d x=\int f(\phi(t)) \phi^<\prime>(t) d t$
Эта формула называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.
После нахождения интеграла по новой переменной $t$ необходимо вернуться к первоначальной переменной $x$.
В некоторых случаях целесообразно делать подстановку $t=g(x)$, тогда
$\int f(g(x)) g^<\prime>(x) d x=\int f(t) d t$
Примеры решения интегралов данным методом
Задание. Найти интеграл $\int x e^> d x$
Решение. Сделаем замену переменной: $x^<2>=t$, далее приведем интеграл к табличному виду и решим его. В конце решения делаем обратную замену.
$$\begin& x^<2>=t & \\ & d\left(x^<2>\right)=d t & \\ \int x e^> d x=\int e^> \cdot x d x & 2 x d x=d t & =\int e^ \cdot \frac<2>= \\ & x d x=\frac <2>\end$$
Ответ. $\int x e^> d x=\frac>><2>+C$
Интегрирование заменой переменной не по зубам? Тебе ответит эксперт через 10 минут!
Задание. Найти интеграл $\int \frac+x \ln x>> d x$
Решение. Упростим подынтегральную функцию, а потом сделаем замену переменной: $\ln x=t$
$$=\int d x+\int \frac<\ln x> d x\left\|\begin\ln x=t \\ \frac=d t \end\right\|=x+\int t d t=x+\frac><2>+C=$$
Ответ. $\int \frac+x \ln x>> d x=x+\frac <\ln ^<2>x><2>+C$
Следствия из метода интегрирования заменой переменной
Используя метод подстановки, можно получить следующие соотношения для некоторых интегралов, которые рационально использовать уже в конечном виде, а не каждый раз производить вычисления:
Аналогично можно показать, что
$\int \cos (k x+b) d x=\frac<1> \sin (k x+b)+C$
$\int \sin (k x+b) d x=-\frac<1> \cos (k x+b)+C$
Подобные соотношения можно было вывести и с использованием метода внесения под дифференциал.
Источник
Замена переменных в уравнениях (ЕГЭ 2022)
Метод замены переменных… Что это за зверь?
Это хитрый способ сначала сделать сложное уравнение простым (с помощью замены переменных) и потом быстро с ним разделаться.
Есть три способа замены переменной.
Читай эту статью — ты все поймешь!
Замена переменных — коротко о главном
Определение:
Замена переменных – метод решения сложных уравнений и неравенств, который позволяет упростить исходное выражение и привести его к стандартному виду.
Замена переменных – это введение нового неизвестного, относительно которого уравнение или неравенство имеет более простой вид.
Виды замены переменной:
Степенная замена: за \( \displaystyle t\) принимается какое-то неизвестное, возведенное в степень: \( \displaystyle t=<^>\).
_>\left( x \right)\) или \( \displaystyle t=\sqrt<<
_>\left( x \right)>\), где \( \displaystyle <
_>\left( x \right)
\) – многочлен степени \( \displaystyle n\).
Обратная замена:
После решения упрощенного уравнения/неравенства, необходимо произвести обратную замену.
Степенная замена \( \displaystyle y=<^>\)
Решение примера №1
Допустим, у нас есть выражение: \( \displaystyle <^<4>>-5<^<2>>-36=0\).
Подумай, к какому виду мы можем его привести, чтобы при расчетах легко найти корни? Правильно, данное уравнение необходимо привести к квадратному виду.
Введем новую переменную \( \displaystyle t=<^<2>>\).
Метод замены переменной подразумевает, чтобы старой переменной \( \displaystyle x\) не оставалось – в выражении должна остаться только одна переменная – \( \displaystyle t\).
Нашли ли мы корни исходного уравнения? Правильно, нет.
На этом шаге не следует забывать, что нам необходимо найти значения переменной \( \displaystyle x\), а мы нашли только \( \displaystyle t\).
Следовательно, нам необходимо вернуться к исходному выражению, то есть сделать обратную замену — вместо \( \displaystyle t\) ставим \( \displaystyle <^<2>>\).
Решаем два новых простых уравнения, не забывая область допустимых значений!
При \( \displaystyle <^<2>>=9\) у нас будет два корня:
А что у нас будет при \( \displaystyle <^<2>>=-4\)?
Правильно. Решений данного уравнения нет, так как квадрат любого числа – число положительное, а в нашем случае – отрицательное, соответственно, при \( \displaystyle <^<2>>=-4\) у нас будет пустое множество (решения нет).
В ответ следует записать необходимые нам корни, то есть \( \displaystyle x\), которые существуют:
Ответ: \( \displaystyle 3\);\( \displaystyle -3\)
Точно таким же образом необходимо действовать при решении неравенств.
Выполняя замену переменных, необходимо помнить два простых правила:
Замену переменных нужно делать сразу и при первой же возможности.
Уравнение (неравенство) относительно новой переменной необходимо решать до конца, и лишь затем возвращаться к старому неизвестному.
При возврате к изначальному неизвестному (да и вообще на протяжении всего решения), не забывай проверять корни на ОДЗ.
Решение примера №2
Попробуй самостоятельно применить метод замены переменной в уравнении \( \displaystyle 3<^<6>>-7<^<3>>+2=0\).
Подумай, к какому виду мы можем его привести, чтобы при расчетах легко найти корни?
Проверь свое решение:
Введем новую переменную \( \displaystyle t=<^<3>>\).
Например, с помощью замены \( \displaystyle t=<^<2>>\) биквадратное уравнение \( \displaystyle a<^<4>>+b<^<2>>+c=0,\text< >a\ne 0\) приводится к квадратному: \( \displaystyle a<^<2>>+bt+c=0\).
В неравенствах все аналогично.
Например, в неравенстве \( \displaystyle a<^<6>>+b<^<3>>+c\ge \text<0>\) сделаем замену \( \displaystyle t=<^<3>>\), и получим квадратное неравенство: \( \displaystyle a<^<2>>+bt+c\ge \text<0>\).
При этом необходимо помнить, что область допустимых значений (ОДЗ) данного уравнения \( \displaystyle <_>\left( x \right)\ne 0\) (так как на ноль делить нельзя).
Решение примера №3
Допустим, у нас есть уравнение:
Так как на ноль делить нельзя, то в данном случае ОДЗ будет: \( \displaystyle x\ne 0\)
Введем новую переменную \( \displaystyle t\).
Пусть \( \displaystyle t=x+\frac<3>\), тогда
Сравни, что дает возведение \( \displaystyle t\) в квадрат, с первой сгруппированной скобкой в нашем примере. Что ты видишь?
Правильно. Разница между тем, что у нас в примере, и тем, что дает нам возведение в квадрат, заключается в удвоенном произведении слагаемых.
Соответственно, его и следует вычесть, переписывая наш пример с переменной \( \displaystyle t\).
Как мы помним \( t\), не является конечным решением уравнения. Возвращаемся к изначальной переменной:
Приводя к общему знаменателю \( \displaystyle x\), мы приходим к совокупности 2-x квадратных уравнений:
Решим первое квадратное уравнение:
На этой стадии не забываем про ОДЗ.
Мы должны посмотреть, удовлетворяют ли найденные корни области допустимых значений? Если какой-то корень не удовлетворяет ОДЗ – он не включается в конечное решение уравнения.
Решим второе квадратное уравнение:
Снова смотрим, удовлетворяют ли полученные корни ОДЗ? Далее записываем конечный ответ.
Попробуй решить все с начала до конца самостоятельно.
Решение пример №4
Какой ответ у тебя получился? У меня \( \displaystyle 1\) и \( \displaystyle 3\).
Сравним ход решения:
Пусть \( \displaystyle t=\frac<1><<<\left( -2 \right)>^<2>>>\), тогда выражение приобретает вид:
Приведем слагаемые к общему знаменателю:
Не забываем про ОДЗ — \( \displaystyle t\ne 0\).
Решаем квадратное уравнение:
Как ты помнишь, \( \displaystyle t\) не является конечным решением уравнения. Возвращаемся к изначальной переменной:
Решим первое уравнение:
Решением первого уравнения являются корни \( \displaystyle 1\) и \( \displaystyle 3\).
Решим второе уравнение:
Решения не существует. Подумай, почему? Правильно! \( \displaystyle \frac<1><<<\left( -2 \right)>^<2>>>=-\frac<1><5>\) – число положительное, \( \displaystyle <<\left( -2 \right)>^<2>>\) — тоже всегда положительно, следовательно, при делении положительного числа на положительное никак не может получиться отрицательное!
Ответ: \( \displaystyle 1\); \( \displaystyle 3\)
Дробно-рациональная замена в общем виде
\( \displaystyle <
_>\left( x \right)\) и \( \displaystyle <_>\left( x \right)\) − многочлены степеней \( \displaystyle n\) и \( \displaystyle m\) соответственно.
Например, при решении возвратных уравнений, то есть уравнений вида
обычно используется замена \( \displaystyle t=x+\frac<1>\).
Сейчас покажу, как это работает.
Легко проверить, что \( \displaystyle x=0\) не является корнем этого уравнения: ведь если подставить \( \displaystyle x=0\) в уравнение, получим \( \displaystyle a=0\), что противоречит условию.
Разделим уравнение на \( \displaystyle <^<2>>\ne 0\):
Теперь делаем замену: \( \displaystyle t=x+\frac<1>\).
Прелесть ее в том, что при возведении в квадрат в удвоенном произведении слагаемых сокращается x:
_>\left( x \right)\) или \( \displaystyle t=\sqrt<<
_>\left( x \right)>\).
Здесь \( \displaystyle <
_>\left( x \right)\) − многочлен степени \( \displaystyle n\), т.е. выражение вида
(например, выражение \( \displaystyle 4<^<4>>+2<^<3>>-3x+1\) – многочлен степени \( \displaystyle 4\), то есть \( \displaystyle <
_<4>>\left( x \right)\)).
Чаще всего используется замена квадратного трехчлена: \( \displaystyle t=a<^<2>>+bx+c\) или \( \displaystyle t=\sqrt^<2>>+bx+c>\).
Подведем итоги
Метод замены переменной имеет \( \displaystyle 3\) основных типа замен переменных в уравнениях и неравенствах:
Степенная замена, когда за \( \displaystyle t\) мы принимаем какое-то неизвестное, возведенное в степень.
Замена многочлена, когда за \( \displaystyle t\) мы принимаем целое выражение, содержащее неизвестное.
Дробно-рациональная замена, когда за \( \displaystyle t\) мы принимаем какое-либо отношение, содержащее неизвестную переменную.
Важные советы при введении новой переменной
Замену переменных нужно делать сразу и при первой же возможности.
Уравнение (неравенство) относительно новой переменной необходимо решать до конца, и лишь затем возвращаться к старому неизвестному.
При возврате к изначальному неизвестному (да и вообще на протяжении всего решения), не забывай проверять корни на ОДЗ.
Новая переменная вводится аналогичным образом, как в уравнениях, так и в неравенствах.
Разбор 3 примеров на замену переменных
Пример 7. \( \displaystyle \left( <<>^<2>>-4+7 \right)\left( <<>^<2>>-4+6 \right)=12\)
Решение примера №6
Пусть \( \displaystyle \text=<<>^<3>>\), тогда выражение приобретает вид \( \displaystyle <^<2>>+7\text-8=0\).
Так как \( \displaystyle \text=<<>^<3>>\), то может быть как положительным, так и отрицательным.
Ответ: \( \displaystyle -2;\text< >1\)
Решение примера №7
Пусть \( \displaystyle \text=<<>^<2>>-4+7\), тогда выражение приобретает вид \( \displaystyle \text\cdot \left( \text-1 \right)=12\).
\( \displaystyle <<\text>_<2>>=-3\Rightarrow \) решения нет, так как \( \displaystyle D
Решение:
Это дробно-рациональное уравнение (повтори «Рациональные уравнения»), но решать его обычным методом (приведение к общему знаменателю) неудобно, так как мы получим уравнение \( \displaystyle 6\) степени, поэтому применяется замена переменных.
Все станет намного проще после замены: \( \displaystyle t=<^<3>>\). Тогда \( \displaystyle <^<6>>=<^<2>>\):
\( \displaystyle y 0\) при всех \( \displaystyle x\), так как \( \displaystyle D=64-4\cdot 4\cdot 7=-48 0\) при всех \( \displaystyle x\), так как \( \displaystyle D=81-4\cdot 4\cdot 7=-31 0\)
. 
