Использование метода кругов Эйлера (диаграмм Эйлера–Венна) при решении задач в курсе информатики и ИКТ
В курсе Информатики и ИКТ основной и старшей школы рассматриваются такие важные темы как “Основы логики” и “Поиск информации в Интернет”. При решении определенного типа задач удобно использовать круги Эйлера (диаграммы Эйлера-Венна).
Математическая справка. Диаграммы Эйлера-Венна используются прежде всего в теории множеств как схематичное изображение всех возможных пересечений нескольких множеств. В общем случае они изображают все 2 n комбинаций n свойств. Например, при n=3 диаграмма Эйлера-Венна обычно изображается в виде трех кругов с центрами в вершинах равностороннего треугольника и одинаковым радиусом, приблизительно равным длине стороны треугольника.
2. Представление логических связок в поисковых запросах
При изучении темы “Поиск информации в Интернет” рассматриваются примеры поисковых запросов с использованием логических связок, аналогичным по смыслу союзам “и”, “или” русского языка. Смысл логических связок становится более понятным, если проиллюстрировать их с помощью графической схемы – кругов Эйлера (диаграмм Эйлера-Венна).
| Логическая связка | Пример запроса | Пояснение | Круги Эйлера |
| & — “И” | Париж & университет | Будут отобраны все страницы, где упоминаются оба слова: Париж и университет | Рис.1 |
3. Связь логических операций с теорией множеств
С помощью диаграмм Эйлера-Венна можно наглядно представить связь логических операций с теорией множеств. Для демонстрации можно воспользоваться слайдами в Приложение 1.
Логические операции задаются своими таблицами истинности. В Приложении 2 подробно рассматриваются графические иллюстрации логических операций вместе с их таблицами истинности. Поясним принцип построения диаграммы в общем случае. На диаграмме – область круга с именем А отображает истинность высказывания А (в теории множеств круг А – обозначение всех элементов, входящих в данное множество). Соответственно, область вне круга отображает значение “ложь” соответствующего высказывания. Что бы понять какая область диаграммы будет отображением логической операции нужно заштриховать только те области, в которых значения логической операции на наборах A и B равны “истина”.
Например, значение импликации равно “истина” в трех случаях (00, 01 и 11). Заштрихуем последовательно: 1) область вне двух пересекающихся кругов, которая соответствует значениям А=0, В=0; 2) область, относящуюся только к кругу В (полумесяц), которая соответствует значениям А=0, В=1; 3) область, относящуюся и к кругу А и к кругу В (пересечение) – соответствует значениям А=1, В=1. Объединение этих трех областей и будет графическим представлением логической операции импликации.
4. Использование кругов Эйлера при доказательстве логических равенств (законов)
Для того, чтобы доказать логические равенства можно применить метод диаграмм Эйлера-Венна. Докажем следующее равенство ¬(АvВ) = ¬А&¬В (закон де Моргана).
Для наглядного представления левой части равенства выполним последовательно: заштрихуем оба круга (применим дизъюнкцию) серым цветом, затем для отображения инверсии заштрихуем область за пределами кругов черным цветом:
Рис.3 
Рис.4 
Для визуального представления правой части равенства выполним последовательно: заштрихуем область для отображения инверсии (¬А) серым цветом и аналогично область ¬В также серым цветом; затем для отображения конъюнкции нужно взять пересечение этих серых областей (результат наложения представлен черным цветом):
Рис.5 
Рис.6 
Рис.7 
Видим, что области для отображения левой и правой части равны. Что и требовалось доказать.
5. Задачи в формате ГИА и ЕГЭ по теме: “Поиск информации в Интернет”
Задача №18 из демо-версии ГИА 2013.
В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Для каждого запроса указан его код – соответствующая буква от А до Г. Расположите коды запросов слева направо в порядке убывания количества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу.
| Код | Запрос |
| А | (Муха & Денежка) | Самовар |
| Б | Муха & Денежка & Базар & Самовар |
| В | Муха | Денежка | Самовар |
| Г | Муха & Денежка & Самовар |
Для каждого запроса построим диаграмму Эйлера-Венна:
Задача В12 из демо-версии ЕГЭ-2013.
В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети Интернет.
| Запрос | Найдено страниц (в тысяч) |
| Фрегат | Эсминец | 3400 |
| Фрегат & Эсминец | 900 |
| Фрегат | 2100 |
Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу Эсминец?
Считается, что все запросы выполнялись практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов.
Ф – количество страниц (в тысячах) по запросу Фрегат;
Э – количество страниц (в тысячах) по запросу Эсминец;
Х – количество страниц (в тысячах) по запросу, в котором упоминается Фрегат и не упоминается Эсминец;
У – количество страниц (в тысячах) по запросу, в котором упоминается Эсминец и не упоминается Фрегат.
Построим диаграммы Эйлера-Венна для каждого запроса:
| Запрос | Диаграмма Эйлера-Венна | Количество страниц |
| Фрегат | Эсминец | Рис.12 |
Согласно диаграммам имеем:
- Х+900+У = Ф+У = 2100+У = 3400. Отсюда находим У = 3400-2100 = 1300.
- Э = 900+У = 900+1300= 2200.
6. Решение логических содержательных задач методом диаграмм Эйлера-Венна
В классе 36 человек. Ученики этого класса посещают математический, физический и химический кружки, причем математический кружок посещают 18 человек, физический — 14 человек, химический — 10. Кроме того, известно, что 2 человека посещают все три кружка, 8 человек — и математический и физический, 5 и математический и химический, 3 — и физический и химический.
Сколько учеников класса не посещают никаких кружков?
Для решения данной задачи очень удобным и наглядным является использование кругов Эйлера.
Самый большой круг – множество всех учеников класса. Внутри круга три пересекающихся множества: членов математического (М), физического (Ф), химического (Х) кружков.
Пусть МФХ – множество ребят, каждый из которых посещает все три кружка. МФ¬Х – множество ребят, каждый из которых посещает математический и физический кружки и не посещает химический. ¬М¬ФХ — множество ребят, каждый из которых посещает химический кружок и не посещает физический и математический кружки.
Аналогично введем множества: ¬МФХ, М¬ФХ, М¬Ф¬Х, ¬МФ¬Х, ¬М¬Ф¬Х.
Известно, что все три кружка посещают 2 человека, следовательно, в область МФХ впишем число 2. Т.к. 8 человек посещают и математический и физический кружки и среди них уже есть 2 человека, посещающих все три кружка, то в область МФ¬Х впишем 6 человек (8-2). Аналогично определим количество учащихся в остальных множествах:
| Круги Эйлера с названиями непересекающихся множеств: |
Например, количество человек, которые посещают физический кружок 2+6+1+5=14
Просуммируем количество человек по всем областям: 7+6+3+2+4+1+5=28. Следовательно, 28 человек из класса посещают кружки.
Значит, 36-28 = 8 учеников не посещают кружки.
После зимних каникул классный руководитель спросил, кто из ребят ходил в театр, кино или цирк. Оказалось, что из 36 учеников класса двое не были ни в кино. ни в театре, ни в цирке. В кино побывало 25 человек, в театре — 11, в цирке 17 человек; и в кино, и в театре — 6; и в кино и в цирке — 10; и в театре и в цирке — 4.
Сколько человек побывало и в кино, и в театре, и в цирке?
Пусть х – количество ребят, которые побывали и в кино, и в театре, и в цирке.
Тогда можно построить следующую диаграмму и посчитать количество ребят в каждой области:
Аналогично, только в кино и цирке (10-х) чел.
Только в театре и цирке (4-х) чел.
В кино побывало 25 чел., значит, из них только в кино были 25 — (10-х) – (6-х) – х = (9+х).
Аналогично, только в театре были (1+х) чел.
Только в цирке были (3+х) чел.
Не были в театре, кино и цирке – 2 чел.
Значит, 36-2=34 чел. побывали на мероприятиях.
С другой стороны можем просуммировать количество человек, которые были в театре, кино и цирке:
Отсюда следует, что только один человек побывал на всех трех мероприятиях.
Таким образом, круги Эйлера (диаграммы Эйлера-Венна) находят практическое применение при решении задач в формате ЕГЭ и ГИА и при решении содержательных логических задач.
Источник
Решение логических задач с помощью кругов Эйлера
Решение логических задач с помощью кругов Эйлера
Круги Эйлера – задачи на пересечение или объединение множеств Это новый тип задач, в которых требуется найти некоторое пересечение множеств или их объединение, соблюдая условия задачи.
Круги Эйлера — геометрическая схема, с помощью которой можно изобразить отношения между подмножествами, для наглядного представления. Метод Эйлера является незаменимым при решении некоторых задач, а также упрощает рассуждения. Однако, прежде чем приступить к решению задачи, нужно проанализировать условие. Иногда с помощью арифметических действий решить задачу легче.
Задача 1. В классе 35 учеников. Из них 20 человек занимаются в математическом кружке, 11 — в биологическом, 10 ребят не посещают эти кружки. Сколько биологов увлекаются математикой?
Изобразим эти кружки на рисунке. Можем, например, начертить в школьном дворе большой круг, а в нем два поменьше. В левый круг, обозначенный буквой М, поместим всех математиков, а в правый, обозначенный буквой Б, всех биологов. Очевидно, в общей части кругов, обозначенной буквами МБ, окажутся те самые биологи-математики, которые нас интересуют. Остальных ребят класса, а их 10, попросим не выходить из внешнего круга, самого большого. Теперь посчитаем: всего внутри большого круга 35 ребят, внутри двух меньших 35 — 10 = 25 ребят. Внутри «математического» круга М находятся 20 ребят, значит, в той части «биологического» круга, которая расположена вне круга М, находятся 25 — 20 = 5 биологов, не посещающих математический кружок. Остальные биологи, их 11 — 5= = 6 человек, находятся в общей части кругов МБ. Таким образом, 6 биологов увлекаются математикой.
Задача 2. .В классе 38 человек. Из них 16 играют в баскетбол, 17 — в хоккей, 18 — в футбол. Увлекаются двумя видами спорта — баскетболом и хоккеем — четверо, баскетболом и футболом — трое, футболом и хоккеем — пятеро. Трое не увлекаются ни баскетболом, ни хоккеем, ни футболом.
 |
Сколько ребят увлекаются одновременно тремя видами спорта?
Сколько ребят увлекается лишь одним из этих видов спорта?
Решение. Воспользуемся кругами Эйлера. Пусть большой круг изображает всех учащихся класса, а три меньших круга Б, Х и Ф изображают соответственно баскетболистов, хоккеистов и футболистов. Тогда фигура Z, общая часть кругов Б, Х и Ф, изображает ребят, увлекающихся тремя видами спорта. Из рассмотрения кругов Эйлера видно, что одним лишь видом спорта — баскетболом занимаются 16 — (4 + z + 3) = 9 — z; одним лишь хоккеи 17 — (4 + z + 5) = 8 — z;
одним лишь футболом 18 — (3 + z + 5) = 10 — z.
Составляем уравнение, пользуясь тем, что класс разбился на отдельные группы ребят; количества ребят в каждой группе обведены на рисунке рамочкам:
3 + (9 — z) + (8 — z) + (10 — z) + 4 + 3 + 5 + z = 38,
Таким образом, двое ребят увлекаются всеми тремя видами спорта.
Складывая числа 9 — z, 8 — z и 10 — z, где z = 2, найдем количество ребят, увлекающихся лишь одним видом спорта: 21 человек.
Двое ребят увлекаются всеми тремя видами спорта человека.
Увлекающихся лишь одним видом спорта: 21 человек.
Задача 3. Некоторые ребята из нашего класса любят ходить в кино. Известно, что 15 ребят смотрели фильм «Обитаемый остров», 11 человек – фильм «Стиляги», из них 6 смотрели и «Обитаемый остров», и «Стиляги». Сколько человек смотрели только фильм «Стиляги»?
Чертим два множества таким образом:
6 человек, которые смотрели фильмы «Обитаемый остров» и «Стиляги», помещаем в пересечение множеств.
15 – 6 = 9 – человек, которые смотрели только «Обитаемый остров».
11 – 6 = 5 – человек, которые смотрели только «Стиляги».
Ответ. 5 человек смотрели только «Стиляги».
Задача 4. Среди школьников шестого класса проводилось анкетирование по любимым мультфильмам. Самыми популярными оказались три мультфильма: «Белоснежка и семь гномов», «Губка Боб Квадратные Штаны», «Волк и теленок». Всего в классе 38 человек. «Белоснежку и семь гномов» выбрали 21 ученик, среди которых трое назвали еще «Волк и теленок», шестеро – «Губка Боб Квадратные Штаны», а один написал все три мультфильма. Мультфильм «Волк и теленок» назвали 13 ребят, среди которых пятеро выбрали сразу два мультфильма. Сколько человек выбрали мультфильм «Губка Боб Квадратные Штаны»?
В этой задаче 3 множества, из условий задачи видно, что все они пересекаются между собой. Получаем такой чертеж:
Учитывая условие, что среди ребят, которые назвали мультфильм «Волк и теленок» пятеро выбрали сразу два мультфильма, получаем:
21 – 3 – 6 – 1 = 11 – ребят выбрали только «Белоснежку и семь гномов».
13 – 3 – 1 – 2 = 7 – ребят смотрят только «Волк и теленок».
Получаем: 
38 – (11 + 3 + 1 + 6 + 2 + 7) = 8 – человек смотрят только «Губка Боб Квадратные Штаны».
Делаем вывод, что «Губка Боб Квадратные Штаны» выбрали 8 + 2 + 1 + 6 = 17 человек.
Ответ. 17 человек выбрали мультфильм «Губка Боб Квадратные Штаны».
Задача 5. В магазин «Мир музыки» пришло 35 покупателей. Из них 20 человек купили новый диск певицы Максим, 11 – диск Земфиры, 10 человек не купили ни одного диска. Сколько человек купили диски и Максим, и Земфиры?
Изобразим эти множества на кругах Эйлера.
Теперь посчитаем: Всего внутри большого круга 35 покупателей, внутри двух меньших 35–10=25 покупателей. По условию задачи 20 покупателей купили новый диск певицы Максим, следовательно, 25 – 20 = 5 покупателей купили только диск Земфиры. А в задаче сказано, что 11 покупателей купили диск Земфиры, значит 11 – 5 = 6 покупателей купили диски и Максим, и Земфиры:
Ответ: 6 покупателей купили диски и Максим, и Земфиры.
Задача 6. На полке стояло 26 волшебных книг по заклинаниям. Из них 4 прочитал и Гарри Поттер, и Рон. Гермиона прочитала 7 книг, которых не читали ни Гарри Поттер, ни Рон, и две книги, которые читал Гарри Поттер. прочитал 11 книг. Сколько книг прочитал Рон?
Учитывая условия задачи, чертеж будет таков:
Так как Гарри Поттер всего прочитал 11 книг, из них 4 книги читал Рон и 2 книги – Гермиона, то 11 – 4 – 2 = 5 – книг прочитал только Гарри. Следовательно,
26 – 7 – 2 – 5 – 4 = 8 – книг прочитал Рон.
Ответ. 8 книг прочитал Рон.
Задача 7. В пионерском лагере 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке? Сколько ребят заняты только спортом?
Изобразим множества следующим образом:
70 – (6 + 8 + 10 + 3 + 13 + 6 + 5) = 19 – ребят не поют, не увлекаются спортом, не занимаются в драмкружке. Только спортом заняты 5 человек.
Ответ. 5 человек заняты только спортом.
Задача 8. Из 100 ребят, отправляющихся в детский оздоровительный лагерь, кататься на сноуборде умеют 30 ребят, на скейтборде – 28, на роликах – 42. На скейтборде и на сноуборде умеют кататься 8 ребят, на скейтборде и на роликах – 10, на сноуборде и на роликах – 5, а на всех трех – 3. Сколько ребят не умеют кататься ни на сноуборде, ни на скейтборде, ни на роликах?
Всеми тремя спортивными снарядами владеют три человека, значит, в общей части кругов вписываем число 3. На скейтборде и на роликах умеют кататься 10 человек, а 3 из них катаются еще и на сноуборде. Следовательно, кататься только на скейтборде и на роликах умеют 10-3=7 ребят. Аналогично получаем, что только на скейтборде и на сноуборде умеют кататься 8-3=5 ребят, а только на сноуборде и на роликах 5-3=2 человека. Внесем эти данные в соответствующие части. Определим теперь, сколько человек умеют кататься только на одном спортивном снаряде. Кататься на сноуборде умеют 30 человек, но 5+3+2=10 из них владеют и другими снарядами, следовательно, только на сноуборде умеют кататься 20 ребят. Аналогично получаем, что только на скейтборде умеют кататься 13 ребят, а только на роликах – 30 ребят. По условию задачи всего 100 ребят. 20+13+30+5+7+2+3=80 – ребят умеют кататься хотя бы на одном спортивном снаряде. Следовательно, 20 человек не умеют кататься ни на одном спортивном снаряде.
Ответ. 20 человек не умеют кататься ни на одном спортивном снаряде.
Источник
