Способ вычисления суммы ряда

Сумма ряда

Определение

Пусть задан числовой ряд $ \sum_^\infty a_n $.

Сумма ряда равна пределу частичных сумм:

В данной формуле частичная сумма $ S_n $ расчитывается следующим образом:

$$ S_n = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + . + a_n $$

Замечание

Если предел частичных сумм является конечным, то ряд является сходящимся. В противном случае ряд расходящийся.

Как найти?

Чтобы найти сумму ряда нужно выполнить несколько операций над общим членом ряда:

1. Составить частичную сумму $ S_n $
2. Найти предел $ \lim_ S_n = S $

Если получено конечное число $ S $, то оно и есть сумма ряда!

Типы общего члена ряда в задачах:

• Ряд задан бесконечной убывающей геометрической прогрессией $ \sum_^\infty q^n $, $ |q| \lt 1 $
  В этом случае сумма вычисляется по формуле $ S = \frac<1-q>$, где $ b_1 $ — первый член прогрессии, а $ q $ — её основание
• Ряд задан в виде рациональной дроби $ \frac$
  Здесь нужно воспользоваться методом неопределенных коэффициентов для разложения дроби на сумму элементарных дробей. Затем составить частичную сумму $ S_n $ и найти её предел, который будем искомой суммой

Примеры решений

Так как ряд представляет собой бесконечною убывающую геометрическую прогрессию, то воспользуемся формулой: $$ S = \frac <1-q>$$

Первый член прогрессии при $ n = 1 $ равен: $$ b_1 = \frac<1> <9>$$ Основанием является: $$ q = \frac<1> <3>$$

Подставляя всё это в формулу для вычисления суммы получаем:

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Пример 1

Найти сумму ряда: $ \sum_^\infty \frac<1><3^> $

Решение

Ответ

$$ S = \frac<1> <6>$$

Общий член ряда представляе собой рациональную дробь. Выполним разложение дроби на простейшие с помощью метода неопределенных коэффициентов:

Приравниваем числитель последней дроби к числителю первой дроби:

$$ 2An + 3A + 2Bn + B = 1 $$

Теперь определяем находим неизвестные коэффициенты:

После разложения общий член ряда записывается следующим образом:

Далее составим частичную сумму ряда: $$ S_n = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + . + a_n $$

Пример 2

Найти сумму ряда $ \sum_^\infty \frac<1> <(2n+1)(2n+3)>$

Решение

Достаточно часто читатели нам присылают просьбы найти суммы своих рядов по причине того, что они не понимают, откуда получается $ a_ $.

Обратите внимание, чтобы составить $ a_ $ необходимо подставить в $ a_n $ вместо буковки $ n $ выражение $ n-1 $. После выполнить раскрытие скобок.

Выносим дробь одну вторую $ \frac<1> <2>$ за скобки:

Замечаем, что в скобках есть подобные слагаемые, которые взаимно уничтожаются. Остаются только лишь два из них:

Теперь осталось вычислить предел частичной суммы $ S_n $. Если он существует и конечен, то он является суммой ряда, а сам ряд сходится:

Замечание

Ответ

$$ S = \frac<1> <6>$$

В статье было рассказано: как найти сумму ряда, примеры решений, определение и формулы для двух типов числовых рядов.

Источник

Нахождение суммы числового ряда. Первая часть.

В теме про основные понятия числовых рядов было указано определение суммы ряда. Вот оно:

Если понятие «частичная сумма» вызывает вопросы, то советую посмотреть раздел про частичную сумму ряда, обратив внимание на пример №4. В этом примере подробно раскрывается суть частичной суммы и остатка.

В данной теме нас будет интересовать вопрос нахождения сумм числовых рядов по определению. Определение суммы ряда опирается на значение $\lim_S_n$, поэтому для нахождения суммы нам нужно выполнить два шага:

1. Составить n-ю частичную сумму $S_n$;
2. Найти $\lim_S_n$ (если он существует).

Если конечный $\lim_S_n$ существует, то его значение и будет суммой рассматриваемого ряда, а сам ряд будет именоваться сходящимся. Если же $\lim_S_n=\infty$ или $\lim_S_n$ не существует, то ряд будет расходиться. Есть несколько стандартных приёмов, которые применяются для нахождения суммы числовых рядов. Например, для нахождения суммы ряда, общий член которого имеет вид рациональной дроби $u_n=\frac$, вполне подходит такой алгоритм:

1. Разложить дробь $\frac$ на элементарные дроби (процедура разложения описана тут).
2. Записать выражение для частичной суммы $S_n$, используя результаты предыдущего пункта.
3. Перегруппировать слагаемые в выражении для $S_n$, приведя их к удобному для сокращения виду.
4. Используя результат предыдущего пункта, найти $\lim_S_n$.

Для нахождения суммы ряда нередко удобно использовать и такое свойство:

Запишем частичную сумму ряда $\sum\limits_^<\infty>u_n$. Так как $u_n=b_-b_n$, то будем иметь:

Как видите, выражения под знаком сумм одинаковы. Сделаем одинаковыми и пределы суммирования. Прибавляя и вычитая $b_1$, для первой суммы получим:

Аналогично, прибавляя и вычитая $b_$ для второй суммы получим:

Вернёмся к сумме $S_n$:

Так как $\lim_b_n=b$, то и $\lim_b_=b$. Тогда $\lim_S_n$ будет таким:

Во всех изложенных ниже примерах члены рядов будем обозначать буквами $u_1$ (первый член ряда), $u_2$ (второй член ряда) и так далее. Запись $u_n$ будет обозначать общий член ряда.

Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=(-1)^$. Составим n-ю частичную сумму ряда, т.е. просуммируем первые $n$ членов числового ряда:

Вопрос в следующем: чему равна эта сумма? Если в частичных суммах мы станем брать чётное количество слагаемых, они попарно сократятся:

Итак, частичная сумма, содержащая чётное количество слагаемых, равна 0. Т.е. если $n$ – чётное число, то $S_n=0$. Фразу «n – чётное число» можно записать так: $n=2k$, $k\in N$. В самом деле, подставляя вместо $k$ значения 1, 2, 3, 4 будем получать $n=2\cdot 1=2$, $n=2\cdot 2=4$, $n=2\cdot 3=6$, $n=2\cdot 4=8$ и так далее. Итак, $S_<2k>=0$.

Если мы станем брать нечётное количество слагаемых (1, 3, 5 и т.д.), то сумма станет равна 1:

Таким образом, если $n$ – нечётное число, то $S_n=1$. Фразу «n – нечётное число» можно записать так: $n=2k-1$, $k\in N$. В самом деле, подставляя вместо $k$ значения 1, 2, 3, 4 будем получать $n=2\cdot 1-1=1$, $n=2\cdot 2-1=3$, $n=2\cdot 3-1=5$, $n=2\cdot 4-1=7$ и так далее. Итак, $S_<2k-1>=1$.

Формально равенство $S_<2k-1>=1$ можно доказать с помощью формулы $S_<2k>=S_<2k-1>+u_<2k>$. Так как $S_<2k>=0$, то $S_<2k-1>+u_<2k>=0$, т.е. $S_<2k-1>=-u_<2k>$. Так как $u_<2k>=(-1)^<2k+1>=\left((-1)^2\right)^k\cdot (-1)^1=-1$, то $S_<2k-1>=-(-1)=1$.

Возникает вопрос: как быть с пределом $\lim_S_n$? Ведь если $n$ – чётное число, т.е. $n=2k$, то:

С другой стороны, если $n$ – нечётное число, то:

Что мы получили? А получили мы следующее: последовательность частичных сумм $\$ имеет две подпоследовательности: $\\>$ и $\\>$, пределы которых различны. Следовательно, последовательность $\$ не имеет предела. Вывод: ряд не имеет суммы, т.е. расходится.

Здесь стоит обратить внимание вот на что: следует различать случаи, когда предел равен бесконечности (см. следующий пример №2), и когда предела попросту не существует. Хотя и в том и в другом случаях ряд будет расходиться.

Ответ: ряд расходится.

Найти сумму ряда $\sum\limits_^<\infty>(3n+1)$.

Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=3n+1$. Составим n-ю частичную сумму ряда, т.е. просуммируем первые $n$ членов заданного числового ряда:

Эту сумму можно записать в более коротком виде. Дело в том, что последовательность 4, 7, 10, 13 и т.д. есть арифметическая прогрессия, первый член которой равен 4, а разность равна 3. Сумма первых n членов этой прогрессии такова:

Так как $\lim_S_n=+\infty$, то ряд расходится.

Если немного выйти за рамки данной темы, то стоит отметить, что расходимость этого ряда легко доказывается с помощью необходимого признака сходимости.

Ответ: ряд расходится.

Так как нижний предел суммирования равен 1, то общий член ряда записан под знаком суммы: $u_n=\frac<2><(2n+1)(2n+3)>$. Составим n-ю частичную сумму ряда, т.е. просуммируем первые $n$ членов заданного числового ряда:

Почему я пишу именно $\frac<2><3\cdot 5>$, а не $\frac<2><15>$, будет ясно из дальнейшего повествования. Однако запись частичной суммы ни на йоту не приблизила нас к цели. Нам ведь нужно найти $\lim_S_n$, но если мы просто запишем:

то эта запись, совершенно верная по форме, ничего нам не даст по сути. Чтобы найти предел, выражение частичной суммы предварительно нужно упростить.

Для этого есть стандартное преобразование, состоящее в разложении дроби $\frac<2><(2n+1)(2n+3)>$, которая представляет общий член ряда, на элементарные дроби. Вопросу разложения рациональных дробей на элементарные посвящена отдельная тема (см., например, пример №3 на этой странице). Раскладывая дробь $\frac<2><(2n+1)(2n+3)>$ на элементарные дроби, будем иметь:

Приравниваем числители дробей в левой и правой частях полученного равенства:

Чтобы найти значения $A$ и $B$ есть два пути. Можно раскрыть скобки и перегруппировать слагаемые, а можно просто подставить вместо $n$ некие подходящие значения. Сугубо для разнообразия в этом примере пойдём первым путём, а следующем – будем подставлять частные значения $n$. Раскрывая скобки и перегруппировывая слагаемые, получим:

В левой части равенства перед $n$ стоит ноль. Если угодно, левую часть равенства для наглядности можно представить как $0\cdot n+ 2$. Так как в левой части равенства перед $n$ стоит ноль, а в правой части равества перед $n$ стоит $2A+2B$, то имеем первое уравнение: $2A+2B=0$. Сразу разделим обе части этого уравнения на 2, получив после этого $A+B=0$.

Так как в левой части равенства свободный член равен 2, а в правой части равенства свободный член равен $3A+B$, то $3A+B=2$. Итак, имеем систему:

Можно решать эту систему методом Крамера, методом Гаусса или с помощью обратной матрицы. Однако проще всего банально выразить из первого уравнения $A=-B$ и подставить во второе:

Так как $B=-1$, то $A=-B=1$. Подставляя найденные значения $A=1$ и $B=-1$ в формулу $\frac<2><(2n+1)(2n+3)>=\frac<2n+1>+\frac<2n+3>$, будем иметь:

Итак, $u_n=\frac<1><2n+1>-\frac<1><2n+3>$. Используем полученное разложение для того, чтобы упростить формулу частичной суммы ряда. Покажу сначала решение стандартным путём, принятым в большинстве решебников и методичек.

Первый способ упрощения формулы для частичной суммы.

Мы получили разложение общего члена ряда на две дроби: $u_n=\frac<1><2n+1>-\frac<1><2n+3>$. Чтобы этот результат был более наглядным, я распишу несколько первых членов ряда по этой формуле:

Давайте распишем частичную сумму, учитывая полученное разложение каждого элемента:

Как видите, все слагаемые этой суммы сокращаются, – кроме первого и последнего:

Итак, $S_n=\frac<1><3>-\frac<1><2n+3>$. Этот способ упрощения формулы для частичной суммы имеет простую суть: разложить общий член ряда на элементарные дроби, а потом сократить слагаемые.

Однако можно ли считать вышеуказанные рассуждения строгим доказательством? Полагаю, что в общем случае нет, и поясню почему. Дело в том, что мы должны «увидеть» (как любят писать некоторые авторы – «легко увидеть»), что слагаемые сокращаются. А если мы «увидим» не все слагаемые, которые останутся после сокращения? Где гарантии, что мы сократим именно то, что нужно? Нет гарантий. Понятно, что в случае рассматриваемой конкретной задачи всё тривиально и очевидно, но далеко не все частичные суммы рядов имеют такую простую структуру.

Формулу $S_n=\frac<1><3>-\frac<1><2n+3>$ можно принять в качестве гипотезы, которую ещё нужно доказать. Доказательство удобнее всего проводить методом математической индукции. Так как доказательством заинтересуются не все читатели, то я его скрыл под примечание.

Доказательство будем проводить методом математической индукции. На первом шаге нужно проверить, выполнено ли доказываемое равенство $S_n=\frac<1><3>-\frac<1><2n+3>$ при $n=1$. Мы знаем, что $S_1=u_1=\frac<2><15>$, но даст ли выражение $\frac<1><3>-\frac<1><2n+3>$ значение $\frac<2><15>$, если подставить в него $n=1$? Проверим:

Итак, при $n=1$ равенство $S_n=\frac<1><3>-\frac<1><2n+3>$ выполнено. На этом первый шаг метода математической индукции закончен.

Предположим, что при $n=k$ равенство выполнено, т.е. $S_k=\frac<1><3>-\frac<1><2k+3>$. Докажем, что это же равенство будет выполнено при $n=k+1$. Для этого рассмотрим $S_$:

Так как $u_n=\frac<1><2n+1>-\frac<1><2n+3>$, то $u_=\frac<1><2(k+1)+1>-\frac<1><2(k+1)+3>=\frac<1><2k+3>-\frac<1><2(k+1)+3>$. Согласно сделанному выше предположению $S_k=\frac<1><3>-\frac<1><2k+3>$, поэтому формула $S_=S_k+u_$ примет вид:

Вывод: формула $S_n=\frac<1><3>-\frac<1><2n+3>$ верна при $n=k+1$. Следовательно, согласно методу математической индукции, формула $S_n=\frac<1><3>-\frac<1><2n+3>$ верна при любом $n\in N$. Равенство доказано.

В стандартном курсе высшей математики обычно довольствуются «вычёркиванием» сокращающихся слагаемых, не требуя никаких доказательств. Итак, мы получили выражение для n-й частичной суммы: $S_n=\frac<1><3>-\frac<1><2n+3>$. Найдём значение $\lim_S_n$:

Вывод: заданный ряд сходится и сумма его $S=\frac<1><3>$.

Второй способ упрощения формулы для частичной суммы.

Этот способ основан на свойстве, записанном в начале страницы. По сути, он схож с предыдущим, – разница лишь в применении уже готовой теоремы, доказанной нами ранее. Вернёмся к записи общего члена ряда:

Обозначим $b_n=\frac<-1><2n+1>$, тогда $b_=\frac<-1><2(n+1)+1>=\frac<-1><2n+3>$. Таким образом, $u_=b_-b_$. При этом $\lim_b_n=0$. Согласно упомянутому свойству, ряд $\sum\limits_^<\infty>u_n$ сходится. При этом его сумма равна $S=0-b_1=\frac<1><3>$. Если есть необходимость, можно записать и частичную сумму ряда:

Третий способ упрощения формулы для частичной суммы.

Честно говоря, я сам предпочитаю большей частью именно этот способ 🙂 Давайте запишем частичную сумму в сокращённом варианте:

Мы получили ранее, что $u_k=\frac<1><2k+1>-\frac<1><2k+3>$, поэтому:

Сумма $S_n$ содержит конечное количество слагаемых, поэтому мы можем переставлять их так, как нам заблагорассудится. Я хочу сначала сложить все слагаемые вида $\frac<1><2k+1>$, а уж затем переходить к слагаемым вида $\frac<1><2k+3>$. Это означает, что частичную сумму мы представим в таком виде:

Конечно, развёрнутая запись крайне неудобна, поэтому представленное выше равенство оформим более компактно:

Теперь преобразуем выражения $\frac<1><2k+1>$ и $\frac<1><2k+3>$ к одному виду. Приведём, например, дробь $\frac<1><2k+3>$ к виду $\frac<1><2k+1>$. Выражение в знаменателе дроби $\frac<1><2k+3>$ я представлю в таком виде:

И сумму $\sum\limits_^\frac<1><2k+3>$ теперь можно записать так:

Если равенство $\sum\limits_^\frac<1><2k+3>=\sum\limits_^\frac<1><2k+1>$ не вызывает вопросов, то пойдём далее. Если же вопросы есть, то прошу развернуть примечание.

Как мы получили преобразованную сумму? показать\скрыть

У нас был ряд $\sum\limits_^\frac<1><2k+3>=\sum\limits_^\frac<1><2(k+1)+1>$. Давайте вместо $k+1$ введём новую переменную, – например, $t$. Итак, $t=k+1$.

Как изменялась старая переменная $k$? А изменялась она от 1 до $n$. Давайте выясним, как же будет изменяться новая переменная $t$. Если $k=1$, то $t=1+1=2$. Если же $k=n$, то $t=n+1$. Итак, выражение $\sum\limits_^\frac<1><2(k+1)+1>$ теперь стало таким: $\sum\limits_^\frac<1><2t+1>$.

У нас есть сумма $\sum\limits_^\frac<1><2t+1>$. Вопрос: а не всё ли равно, какую букву использовать в этой сумме? 🙂 Банально записывая букву $k$ вместо $t$, получим следующее:

Вот так и получается равенство $\sum\limits_^\frac<1><2(k+1)+1>=\sum\limits_^\frac<1><2k+1>$.

Таким образом, частичную сумму можно представить в следующем виде:

Заметьте, что суммы $\sum\limits_^\frac<1><2k+1>$ и $\sum\limits_^\frac<1><2k+1>$ отличаются лишь пределами суммирования. Сделаем эти пределы одинаковыми. Начнём с первой суммы.

Сделаем так, чтобы верхний предел суммирования стал равен $n+1$. Если $k=n+1$, то $\frac<1><2k+1>=\frac<1><2n+3>$. Прибавляя и вычитая из первой суммы $\frac<1><2n+3>$, получим:

Для второй суммы $\sum\limits_^\frac<1><2k+1>$ сделаем так, чтобы нижний предел суммирования был равен 1. Если $k=1$, то $\frac<1><2k+1>=\frac<1><3>$. Прибавляя и вычитая $\frac<1><3>$, получим:

С учётом полученных результатов, выражение для $S_n$ примет такой вид:

Если пропустить все пояснения, то процесс нахождения сокращённой формулы для n-й частичной суммы примет такой вид:

Напомню, что мы приводили дробь $\frac<1><2k+3>$ к виду $\frac<1><2k+1>$. Разумеется, можно поступить и наоборот, т.е. представить дробь $\frac<1><2k+1>$ в виде $\frac<1><2k+3>$. Конечное выражение для частичной суммы не изменится. Процесс нахождения частичной суммы в этом случае я скрою под примечание.

Как найти $S_n$, если приводить к виду иной дроби? показать\скрыть

Заданный ряд сходится и сумма его $S=\frac<1><3>$.

Продолжение темы нахождения суммы ряда будет рассмотрено во второй и третьей частях.

Источник

Читайте также:  Trimay anti hair loss clinic hair mask способ применения